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广东省肇庆市2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题



广东省肇庆市 2012-2013 学年高一上学期期末考试数学试题 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题目指 定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {1,2,3,4} , B ? {1,3,5,7} ,则 A ? B ? A.{1,2,3,4,5,7} B.{2,4,5,7} C.{1,3} D.?

2.绘制频率分布直方图时,各个小长方形的面积等于相应各组的 A.频数 B.频率 C.组距 D.平均值

3.若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 A ? B ? A. {x | ?2 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | 1 ? x ? 2}

? 4.设有一个回归方程为 y ? ?1.5 x ? 2 ,则变量 x 增加一个单位时,y 平均
A.增加 1.5 个单位 C.减少 1.5 个单位
2

B.增加 2 个单位 D.减少 2 个单位

5.已知全集 U=R,集合 M ? {x | x ? 1} ,则 CU M ? A.(?∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D. (??,?1) ? (1,??)

6.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是 A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?| x|

7.如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么
2 2

A. 1 ? x ? y

B. 1 ? y ? x

C. y ? x ? 1

D. x ? y ? 1

8. 3 个兴趣小组, 有 甲、 乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同,

则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.

1 3

B.

1 2
x

C.

2 3

D.

3 4

9.在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间 A. (?

1 ,0 ) 4

B. (0, )

1 4

C. ( , )

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

10.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a ( x ? 1), 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为 ?? x ? 2a ( x ? 1).
C. ?

A.

3 2

B.

3 4

3 2

D. ?

3 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.函数 y ?

x ?1 的定义域是 ▲ . x

12.某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人. 为调查身体健康状况,需要用分层抽样 方法从中抽取一个容量为 36 的样本,那么在所抽取的样本中,青年人的人数应为 ▲ 人. 13.向如图所示的边长为 1 的正方形中撒 1000 颗大豆,
1

如果落在阴影部分的大豆有 784 颗,那么由此估计 圆周率的值为 ▲ .
1

14.若不等式 (a ? 1) x ? 2a ? 3 ? 0 , 对于一切 x ? [1,2] 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 某电池厂从某天生产的某种型号的电池中随机抽取 8 个进行寿命测试, 所得数据为 (单位: : h) 18,16,20,23,19,20,18,18. (1)求样本的众数与中位数; (2)求样本的平均数与方差. 16.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ?

1 . 1? x2

(1)求: f ( x ? 1) , g ( ) , f ( g ( x)) ; (2)写出函数 f (x) 与 g (x) 的定义域和值域.

1 x

17.(本小题满分 14 分) 对某高中男子体育小组的 50 米跑成绩(单位:s)进行统计分析,得到如下的茎叶图(其中, 茎表示成绩的整数部分,叶表示成绩的小数部分): (1)成绩记录员在去掉一个最快成绩和一个最慢成绩后,算得平均成绩为 7.0s,但复核员在复 核时,发现有一个数字(即茎叶图叶中的 x)无法看清. 若计算无误,试求数字 x 的值; (2) 运行以下程序, 当输入茎叶图中的成绩 r 时 (输入顺序: 先第一行, 再第二行; 从左往右.) , 试写出输出的结果; 开始
成绩

n=1 是 n>10 否 输入 r 是 r<=7.00 否 输出 r 结束

6 7

4 0

5 x

8 2

9 4 5 1

n=n+1

(3)从(2)的输出结果中,随机抽取 2 个成绩,试求这两个成绩之和小于 13.5 的概率.

18.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? x ?

1 . x

(1)求函数 f (x) 的定义域; (2)讨论函数 f (x) 的奇偶性; (3)讨论函数 f (x) 的单调性.

19.(本小题满分 14 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时. 研究表 明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v (x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)

f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a,b 满足 ab≠0.
x x

(1)若 ab>0,判断函数 f (x) 的单调性; (2)若 ab<0,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

2012—2013 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 B 7 B 8 A 9 C 10 D

二、填空题 11. ?1,?? ? ; 三、解答题 15.(本小题满分 12 分) 解:(1)样本数据从小到大的排列为:16,18,18,18,19,20,20,23; 所以样本的众数为 18, 样本的中位数为 (3 分) 12.18; 13.3.136; 14. (?

1 ,??) 4

18 ? 19 (6 分) ? 18 .5 . 2 16 ? 18 ? 3 ? 19 ? 20 ? 2 ? 23 (2)样本的平均数为 x ? (9 分) ? 19 , 8 1 样本的方差为 s 2 ? [(16 ? 19) 2 ? 3(18 ? 19) 2 ? (19 ? 19) 2 ? 2(20 ? 19) 2 ? (23 ? 19) 2 ] ? 3.75 8
(12 分)

16.(本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 1 ; (2 分)

1 g( ) ? x

1 x2 ? ; 1 2 1? x2 1? ( ) x
2 1? x2 ?1 ? . 1? x2 1? x2

(4 分)

f ( g ( x)) ? 2 g ( x) ? 1 ?

(6 分)

(2)函数 f (x) 的定义域为(?∞,+∞),值域为(?∞,+∞); 函数 g (x) 的定义域为(?∞,+∞),值域为 ?0,1? .

(9 分) (12 分)

17.(本小题满分 14 分) 解:(1)由茎叶图可知最快成绩为 6.4,若( 7 ?

x )是最慢成绩, 10

则平均成绩为 (6.5 ? 6.8 ? 6.9 ? 7.0 ? 7.2 ? 7.4 ? 7.5 ? 7.1) ? 7.05 ? 7.0 , 所以最慢成绩只能是 7.5. 从而由 (6.5 ? 6.8 ? 6.9 ? 7.0 ? 7.2 ? 7.4 ? 7.1 ? 7 ? (2)输出的结果是 6.4,6.5,6.8,6.9,7.0. (2 分)

1 8

1 8

x ) ? 7.0 ,解得 x=1. (4 分) 10
(9 分)

(3)随机抽取 2 个成绩所有的可能结果有: (6.4,6.5), (6.4,6.8), (6.4,6.9), (6.4,7.0), (6.5,6.8),(6.5,6.9),(6.5,7.0),(6.8,6.9),(6.8,7.0),(6.9,7.0)共 10 种结果; (11 分) 2 个成绩之和小于 13.5(记为事件 B)的所有可能结果有: (6.4,6.5), (6.4,6.8), (6.4,6.9), (6.4,7.0),(6.5,6.8),(6.5,6.9)共 6 种结果; (13 分) (14 分)

6 3 所以 P( B) ? ? . 10 5
18.(本小题满分 14 分) 解:(1)显然函数 f (x) 的定义域为(?∞,0)∪(0,+∞ ). (2)因为 f (? x) ? ? x ? 所以 f (x) 为奇函数. (3)任取 x1 , x2 ? (??,0) ? (0,??) ,且 x1 ? x2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 .

(1 分) (3 分) (4 分) (5 分)

1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) , ?x x

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( x 2 ?

x ? x2 x x ?1 1 1 ) ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 2 (7 分) x2 x1 x1 x 2 x1 x 2
(8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

因为当 0 ? x1 ? x2 ? 1 或 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 x 2 ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 故函数 f (x) 在区间 ?? 1,0? 和 ?0,1? 上是减函数. 又因为当 1 ? x1 ? x 2 或 x1 ? x2 ? ?1 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 x 2 ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 故函数 f (x) 在区间 ?? ?,?1?和 ?1,?? ? 上是增函数. 单调减区间为 ?? 1,0? 和 ?0,1? .

综上,函数 f (x) 的单调增区间为 ?? ?,?1?和 ?1,?? ? ; (14 分)

19.(本小题满分 14 分)

解:(1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b ,

(2 分) (3 分)

1 ? ?a ? ? 3 , 20 a ? b ? 60, ? ? 又由题意,得 ? 解得 ? ?200 a ? b ? 0, ?b ? 200 . ? 3 ?
?60(0 ? x ? 20), ? 故函数 v (x ) 的表达式为 v( x) ? ? 1 ? 3 (200 ? x)( 20 ? x ? 200 ). ? ?60 x(0 ? x ? 20 ), ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 ? 3 x(200 ? x)( 20 ? x ? 200 ). ?

(5 分)

(6 分)

(8 分)

当 0 ? x ? 20 时, f ( x) ? 60 x 为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ; (10 分)

1 1 10000 , (12 分) x(200 ? x) ? ? ( x ? 100 ) 2 ? 3 3 3 10000 所以,当 x ? 100 时, f (x) 在区间[20,200]上取得最大值 . (13 分) 3 10000 综上,当 x ? 100 时, f (x) 在区间[0,200]上取得最大值 ? 3333 ,即当车流密度为 100 辆/ 3
当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? 千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 20.(本小题满分 14 分) 解:显然函数 f (x) 的定义域为 R. (1)当 a>0,b>0 时,因为 y ? a ? 2 与 y ? b ? 3 在 R 上都是单调递增的,
x x

(14 分)

(1 分)

所以函数 f (x) 在 R 上单调递增; 当 a<0,b<0 时,因为 y ? a ? 2 与 y ? b ? 3 在 R 上都是单调递减的,
x x

(3 分)

所以函数 f (x) 在 R 上单调递减. (2) f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 ? 2b ? 3 ? 0
x x

(5 分) (7 分) (10 分)

当 a>0,b<0 时, ( ) ? ?
x

3 2

a a ,解得 x ? log 3 (? ) ; 2b 2b 2

当 a<0,b>0 时, ( ) x ? ?

3 2

a a ,解得 x ? log 3 (? ) . 2b 2b 2

(13 分)

故 当 a>0 , b<0 时, x 的 取 值 范 围是 ( ??, log 3 ( ?
2

a )) ; 当 a<0, b>0 时 , x 的取 值 范围 是 2b
(14 分)

(log 3 ( ?
2

a ), ?? ) . 2b



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