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2012年10月 高三数学试卷


2012 年 10 月华东师大二附中高三数学试题
本试卷满分 150 分,考试时间 2 小时
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、已知集合 A ? y y ? 2

?

x

? 1, x ? R ,集合 B ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? R ,则集合
___. 。

?

?

?

?x x ? A且x ? B? ? ___

1 2 k 10 2、 (理) 1 ? 90C10 ? 902 C10 ??? (?1)k 90k C10 ? ?? 9010 C10 除以 88 的余数是

(文)若复数 z 同时满足

z 1 z 1

? 2i,

z 1 iz 1

? 0 ( i 为虚数单位) ,则复数 z =
3



?1 x ? ?1 1 ? 3、 规定矩阵 A ? A ? A ? A ,若矩阵 ? ? ?? ? ,则 x 的值是_____________. ? 0 1? ? 0 1?
3

4、关于 x 的不等式 x ? 2 ? 2x ?1 ? a 的解集为 A ,集合 B ? x ?1 ? x ? 3 ,若 A ? B ? ? ,则实 数 a 的取值范围是 .

?

?

5、在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a n , S n , S n ? 6、如图甲是第七届国际数学教育大会 (简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的 主体图案是由如图乙的一连串直角三 角形演化而成的,其中

1 2 成等比数列,则 lim n a n ? n ?? 2
A4



A5 A6

A3 A2 O A1

OA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? A7 A8 ? 1 ,如果把图

ICME 7 图甲



A7 A8 图 乙

乙中的直角三角形继续作下去,记

OA1 , OA2 , ?, OAn , ? 的长度构成数列 ?an ? ,则此数列的通项公式为 a n =


D1 C1

7、已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∠BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另 一个端点 N 在底面 ABCD 上运动.则 MN 中点 P 的轨迹与直平行六 面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 8、定点 N ?1,0? ,动点 A, B 分别在图中抛物线 y ? 4 x 及椭圆
2

A1 P D A y

B1

C B

x2 y 2 ? ? 1 的实线部分上运动,且 AB ∥ x 轴,则△ NAB 的周长 l 4 3
取值范围是 9、已知 z ? C ,且 z ? i = z ? 2 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 为 .
高三数学试卷(文、理) 本试卷共 4 页 第1页
O

A

B

N

x

z 的值 2?i

10、两圆 x2 ? y 2 ? 2 ax ? a ? 4 ? 0(a ? R? ) 和 x2 ? y2 ? 4 by ? 1 ? 4b ? 0(b ? R? ) 恰有三条共切

1 1 ? 的最小值为 . a b 11、 规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b ( a, b 均为正实数). 若 1 ? k ? ?1 , 函数 f ( x) ? k ? x (0 ? x ? 5) 的值域为 . 12、 (理)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) 且当 x ? [?2, 0] 时, 1 f ( x) ? ( ) x ? 1, 若在区间(?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数 2 根,则 a 的取值范围是 . ? 3x ? y ? 0 ? ? (文)在平面直角坐标系中, 是坐标原点, O 已知点 A(3 , 3) , P( ,y) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , 点 x ?y ? 0 ? ? ??? ? ??? ? 设 z 为 OA 在 OP 上的投影,则 z 的取值范围是 .
线,则 13、己知实数 a 使得只有一个实数 x 满足关于 x 的不等式 | x2 ? 2ax ? 3a |? 2 求满足条件的所有的实数

a 的值

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 14、在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,设向量 OA ? (1,2) , OB ? (2, ?1) ,若 OP ? xOA ? yOB 且
1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是

.

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、已知条件 p : 1 ? sin 2? ? A、充分但不必要条件 C、充要条件

4 4 和条件 q : sin ? ? cos ? ? .则 p 是 q 的( 3 3
B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

) .

16、(理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t, ( t 为参数) .以原点 O 为极点, 以 x 轴 ?y ? 4 ? t
? ) ,则直 线 l 和曲线 C 的 4

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? 公共点有 ( A. 0 个 ) B. 1 个 C. 2 个

D.无数个

(文)在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品.从中任取 2 件,记其中含正品的个数个数为随机变量 ? , 则 ? 的数学期望 E? 是( A、 ) .

6 5

B、

7 5

C、

8 5

D、

9 5
第2页

17 、 长 方 体 ABCD? A1 B1C1 D1 的 八 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 其 中 AA ? 1 , AB ? 2 2 , 1
高三数学试卷(文、理) 本试卷共 4 页

AD ? 3 3 ,则经过 B、C 两点的球面距离是(
A、

) D、 4?

2? 3

B、
2

4? 3

C、 2?

18、记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) ? (

x 3 2 ? ) , ( y ? 0) ,则 F ( x, y) 的最小值是( 3 y
16 5
C、



A、

12 5

B、

18 5

D、4

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12)已知函数 f ( x) ? 2sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R .

(1) (满分 6 分)若函数 h( x) ? f ( x ? t ) 的图象关于点 ( ? (2) (满分 6 分)设 p : x ? [

?
6

, 0) 对称,且 t ? (0, ? ) ,求 t 的值;

? ?

, ], q : f ( x) ? m ? 3 ,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 4 2

20、 (本题满分 14)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , a 2 b2

P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF ? PF2 的最大值为 3 ,最小值为 2 . 1
(1) (满分 6 分)求椭圆 C 的方程; (2) (满分 8 分)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右顶点) , 且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

???? ???? ?

21、 (本题满分 14)如图所示是在竖直平面内的一个“通道游戏”.图中 竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相遇,若 竖直线段有一条的为第一层,有二条的为第二层,依此 类推,现有一颗小弹子从第 1 层的通道里向下运动. 记 小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左向右)的概率 为 P(n, m) (已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率 落入每个通道). (I) (满分 6 分)求 P(2,1), P(3,1), P(4, 2) 的值; (II) (满分 8 分)猜想 P(n, m) 的表达式(不必证明), 并求不等式 P (10, m) ? 第2 通道 入口 第1层 第2层 第3层 第4层

9 的解集. 128
本试卷共 4 页 第3页

高三数学试卷(文、理)

22、 (本题满分 16)已知函数 f ? x ? ?

1 , 对于n ? N ? ,定义 f1 ? x ? ? f ? x ? , fn?1 ? x ? ? f ? f n ? x ?? ,偶函 ? ? 1? x

数 g ? x ? 的定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? ,当 x ? 0 时, g ?x? ? f 2012 ?x? 。 (1) (满分 6 分)求 g ? x ? ; (2) (满分 10 分)若存在实数 a, b ? a ? b ? 使得 g ?x ? 在 ? a, b? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零 实数 m 的取值范围。

23、 (本题满分 18 分) 已知有穷数列 A :a1 , a2 ,?, an , n ? 2 ).若数列 A 中各项都是集合 {x | ?1 ? x ? 1} ( 的元素,则称该数列为 Γ 数列.对于 Γ 数列 A ,定义如下操作过程 T :从 A 中任取两项 ai , a j ,将

ai ? a j 1? a i a j

的值添在 A 的最后, 然后删除 ai , a j ,这样得到一个 n ? 1 项的新数列 A (约定:一个数也视作数 1

列). 若 A 还是 Γ 数列,可继续实施操作过程 T ,得到的新数列记作 A2 , ?? ,如此经过 k 次操作后 1 得到的新数列记作 Ak .

1 1 , . 请写出 A1 的所有可能的结果; 2 3 (Ⅱ) (满分 4 分)求证:对于一个 n 项的 Γ 数列 A 操作 T 总可以进行 n ? 1 次; 5 1 1 1 5 1 1 1 1 1 ? ? ? (Ⅲ) (满分 8 分)设 A : ? , , , ,, , ,,, . 求 A9 的可能结果,并说明理由. 7 6 5 4 6 2 3 4 5 6
(Ⅰ) (满分 6 分)设 A : 0,

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本试卷共 4 页

第4页

2012 年 10 月华东师大二附中高三数学试题答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、已知集合 A ? y y ? 2

?

x

? 1, x ? R ,集合 B ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? R ,则集合
___.(2,+∞); 。1

?

?

?

?x x ? A且x ? B? ? ___

1 2 k 10 2、 (理) 1 ? 90C10 ? 902 C10 ??? (?1)k 90k C10 ? ?? 9010 C10 除以 88 的余数是

(文)若复数 z 同时满足

z 1 z 1

? 2i,

z 1 iz 1

? 0 ( i 为虚数单位) ,则复数 z =

。i

?1 x ? ?1 1 ? 1 4、 规定矩阵 A ? A ? A ? A ,若矩阵 ? ? ?? ? ,则 x 的值是_____________. 3 ? 0 1? ? 0 1?
3

3

4、关于 x 的不等式 x ? 2 ? 2x ?1 ? a 的解集为 A ,集合 B ? x ?1 ? x ? 3 ,若 A ? B ? ? ,则实 数 a 的取值范围是

?

?

(??,10)

. .?

1 2 成等比数列,则 lim n a n ? n ?? 2 1 1 2 解:由条件知当 n ? 2 时, S n ? a n ( S n ? ) ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) 2 2
5、在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a n , S n , S n ? 从而

1 2

1 1 1 1 1 . ? ? 2 ,于是 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,所以 S n ? 2n ? 1 S n S n ?1 S n S1

于是 a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3)
2n 2 ? lim? (2n ? 1)(2n ? 3) n??
1 1 ? ? .故填 ? . 1 3 2 2 (2 ? )(2 ? ) n n

所以, lim n a n ? lim?
2 n??

2

n ??

6、 如图甲是第七届国际数学教育大会 (简称 ICME-7)的会徽图案,会 徽的主体图案是由如图乙的一连 串直角三角形演化而成的,其中 -
OA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? A7 A8 ? 1 ,
A6 A5 A4 A3 A2 O 图 乙 A1

ICME 7 图甲

A7 A8

如果把图乙中的直角三角形继续

作下去,记 OA1 , OA2 , ?, OAn , ? 的长度构成数列 ?an ? ,则此数列的通项公式为 a n = 7、已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,
高三数学试卷(文、理) 本试卷共 4 页 第5页 A1 D1 B1 P D A B C C1

. n

∠BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另 一个端点 N 在底面 ABCD 上运动.则 MN 中点 P 的轨迹与直平行六 面体的表面所围成的较小的几何体的体积为__

2? 9
8、定点 N(1,0) ,动点 A、B 分别在图中抛物线 y 2 ? 4 x 及椭圆

y

A

B

x2 y 2 ? ? 1 的实线部分上运动, AB∥ x 轴, 且 则△NAB 的周长 l 4 3
取值范围是 (

O

N

x

10 ,4) 3 z 的值为 2?i
.2 ? i

9、已知 z ? C ,且 z ? i = z ? 2 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则

10、 (理)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) 且当 x ? [?2, 0] 时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1, 若在区间(?2, 6] 内关于 x 的方程 2

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是

. (3 4 ,2)

? 3x ? y ? 0 ? ? (文)在平面直角坐标系中, 是坐标原点, O 已知点 A(3 , 3) , P( ,y) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , 点 x ?y ? 0 ? ? ??? ? ??? ? 设 z 为 OA 在 OP 上的投影,则 z 的取值范围是 . ??? ??? ? ? ? ? 5? ? OA ? OP ??? ? ] ∴当 ?AOP ? 时, 【∵ z ? ??? = OA ? cos ?AOP = 2 3 cos ?AOP , ?AOP ? [ , 6 6 6 | OP |
zmax ? 2 3 cos

?
6

=3,当 ?AOP ?

5? 5? 时, zmin ? 2 3 cos =-3,∴z 的取值范围是 [?3 , 3] 】 6 6

11、两圆 x2 ? y 2 ? 2 ax ? a ? 4 ? 0(a ? R? ) 和 x2 ? y2 ? 4 by ? 1 ? 4b ? 0(b ? R? ) 恰有三条共切

1 1 ? 的最小值为 .1 a b 12、规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b ( a, b 均为正实数). 若 1 ? k ? ?1 ,函
线,则 数 f ( x) ? k ? x (0 ? x ? 5) 的值域为
2

. (2 5 ? 1, 5]
2

13、欲使得不等式 | x ? 2ax ? 3a |? 2 只有一个解,则抛物线 f ( x) ? x ? 2ax ? 3a 的图像必须与直线
2 2 2 a a y ? 2 相切. 因此, 方程 x ? 2ax ? 3a ? 2 , x ? 2 x ? 3 ? 2? 0 的判别式 ? ? 4a ? 4(3a ? 2) ? 0 即

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第6页

解得 a ? 1, 2 .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 14、在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,设向量 OA ? (1,2) , OB ? (2, ?1) ,若 OP ? xOA ? yOB 且
1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 解:作 OG ? 2OA , OE ? 2OB ??? ? ??? ? ??? ? OF ? 2OA ? 2OB M , N 为 OF , EF 中点,则 P 在 ?MNF 内, 5 面积为 2

.

14 备用:已知数据 x1 , x2 , x3 ,..., x10 已知数据 x1 , x2 , x3 ,..., x10 的平均数为 6 ,标准差为 20 , 则数据 x1 , x2 ,..., x5 的平均数的取值范围是 ▲
2 2 2

.

解:由 ( x1 ? 6) ? ( x2 ? 6) ? ... ? ( x10 ? 6) ? 20 ,
2 2 得: x12 ? x2 ? ... ? x10 ? 12( x1 ? x2 ? ... ? x10 ) ? 360 ? 20
2 2 即 x12 ? x2 ? ... ? x10 ? 380

设 x1 , x2 ,..., x5 的平均数为 a , x6 , x7 ,..., x10 的平均数为 b ,则 b ? 12 ? a 结合方差定义 即
2 2 ( x1 ? a) ? ( x ? a2) ? . . ? 5 ( ? a ) ? 0 . x 2 2 2 展开得: x12 ? x2 ? ... ? x5 ? 2a( x1 ? x2 ? ... ? x5 ) ? 5a2 ? 0
2 2 2 2 2 x12 ? x2 ?. . . ? x5 ? 2a ? 5a ? 5a ,0x12 ? x2 ? ... ? x5 ? 5a2 , ?

2 2 2 同理 x6 ? x7 ? ... ? x10 ? 5b2 ? 5(12 ? a)2 2 2 得: x12 ? x2 ? ... ? x10 ? 5a2 ? 5(12 ? a)2 ,即

380 ? 5a2 ? 5(12 ? a)2

a2 ? 1 2 ? 3 ? a 4

0 得6? 2 ? a ? 6? 2

二、选择题(每小题 4 分,满分 16 分) 15、已知条件 p : 1 ? sin 2? ? A、充分但不必要条件 C、充要条件 解:因为 1 ? sin 2? ?

4 4 和条件 q : sin ? ? cos ? ? .则 p 是 q 的( C ) . 3 3
B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin ? ? cos ? ?

4 , 3

故 p 是 q 的充要条件.故选 C. 16、(文)在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品.从中任取 2 件,记其中含正品的个数个数为随机变量 ? , 则 ? 的数学期望 E? 是( C ) . A、

6 5

B、

7 5

C、

8 5

D、

9 5

1 2 C4 C4 8 解:数学期望是: 1? 2 ? 2 ? 2 ? .故选 C. C5 C5 5

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第7页

(理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t, ( t 为参数) .以原点 O 为极点, ?y ? 4 ? t
? ) ,则直 4

以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? 线 l 和曲线 C 的公共点有 ( B ) A. 0 个 B. 1 个

C. 2 个

D.无数个

17 、 长 方 体 ABCD? A1 B1C1 D1 的 八 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 其 中 AA ? 1 , AB ? 2 2 , 1

AD ? 3 3 ,则经过 B、C 两点的球面距离是(
A、

C )

4? C、 2? D、 4? 3 1 1 ? (2 2 ) 2 ? (3 3 ) 2 ? 3 ,在 ?OBC 中 OB ? OC ? 3 , BC ? AD ? 3 3 , 解:球 O 的半径 R ? 2 1 2? 则 cos ?BOC ? ? ,从而 ?BOC ? . 2 3 1 所以,经过 B、C 两点的球面距离是 2? ? 3 ? ? 2? .故选 C. 3 2? 3
B、 18、记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) ? (
2

x 3 2 ? ) , ( y ? 0) ,则 F ( x, y) 的最小值是( 3 y
C、



A、

12 5

B、

16 5

18 5

D、4
2

解:设动点 P ( x,? ) 与 Q( y, ) ,则 F ( x, y ) ? PQ ,点 P 的轨迹为直线 y ? ?

x 3

3 y

x ,点 Q 的轨迹为双 3

曲线 y ?

3 3 ,双曲线上的任一点 ( x0 , ) 到直线 x ? 3 y ? 0 的距离 x x0

x0 ? 3 ? d? 10

3 x0

?

18 6 ,当 x0 ? ?3 时等号成立.故 F ( x, y) 的最小值为 .故选 C. 5 10

三、解答题(满分 78 分) 19、 (本题满分 12)已知函数 f ( x) ? 2sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R .

(1) (满分 6 分)若函数 h( x) ? f ( x ? t ) 的图象关于点 ( ? (2) (满分 6 分)设 p : x ? [

?
6

, 0) 对称,且 t ? (0, ? ) ,求 t 的值;

? ?
2

, ], q : f ( x) ? m ? 3 ,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 4 2

解:解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2sin (

?

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 4 2
本试卷共 4 页 第8页

?

高三数学试卷(文、理)

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
∴ h( x) ? f ( x ? t ) ? 2sin(2 x ? 2t ? ∴ h( x) 的图象的对称中心为 ( 又已知点 ( ?

?

?

?
6

k? ? ? ? t , 0), k ? Z . 2 6

3

),

, 0) 为 h( x) 的图象的一个对称中心,∴ t ?

? 5? 或 . 3 6 ? ? ? ? 2? ], (Ⅱ)若 p 成立,即 x ? [ , ] 时, 2 x ? ? [ , 4 2 3 6 3 f ( x) ?[1, 2] ,由 f ( x) ? m ? 3 ? m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3 ,
而 t ? (0, ? ) ,∴ t ? ∵ p 是 q 的充分条件,∴ ? 即 m 的取值范围是 (?1, 4) . 20、 (本题满分 14)椭圆 C :

k? ? ? (k ? Z ) . 2 3

?m ? 3 ? 1 ,解得 ?1 ? m ? 4 , m?3? 2 ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , a 2 b2

P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF ? PF2 的最大值为 3 ,最小值为 2 . 1
(1) (满分 6 分)求椭圆 C 的方程; (2) (满分 8 分)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右顶点) , 且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解:(1) ? P 是椭圆上任一点,? PF | ? | PF2 |? 2a 且 a ? c ?| PF |? a ? c , | 1 1

???? ???? ?

???? ???? ???? ????? ? y ? PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ?F1PF2
1 ? [| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ] 2 1 ? [| PF1 |2 ?(| 2a ? | PF1 |) 2 ? 4c 2 ] 2

? (| PF1 | ?a)2 ? a2 ? 2c2 .
2 2 2 2 当 | PF1 |? a 时, y 有最小值 a ? 2c ;当 | PF2 |? a ? c 或 a ? c 时, y 有最大值 a ? c .

? a2 ? c2 ? 3 , ?? 2 a ? 2c 2 ? 2 ?

?a 2 ? 4 , ? 2 ?c ?1

b2 ? a 2 ? c 2 ? . 3

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
高三数学试卷(文、理) 本试卷共 4 页 第9页

(2) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

?8km 4m2 ? 12 , x1 x2 ? . (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 .? x1 ? x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3
2 2 2

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,
???? ???? ? ? MN 为直径的圆过点 A ? AM ? AN ? 0 ,?7m2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,
2 ? m ? ? k 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0 , 7
若 m ? ?2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去, 若m ? ?

2 2 2 k 直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7

21、 (本题满分 14)如图所示是在竖直平面内的一个“通道游戏”.图中 竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相遇,若 竖直线段有一条的为第一层,有二条的为第二层,依此 类推,现有一颗小弹子从第 1 层的通道里向下运动. 记 小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左向右)的概率 为 P(n, m) (已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率 落入每个通道). (I) (满分 6 分)求 P(2,1), P(3,1), P(4, 2) 的值; (II) (满分 8 分)猜想 P(n, m) 的表达式(不必证明), 并求不等式 P (10, m) ? 第2 通道

入口 第1层 第2层 第3层 第4层

9 的解集. 128

解:(I)∵设小弹子经过每个分叉通道口向右落为事件 A,则 P( A) ?

1 1 , P( A) ? . 2 2 1 1 1 P(2,1) 表示小弹子向右落 0 次,向左落 1 次的概率,得 P(2,1) ? C10 ( )0 ? ( )1 ? 2 2 2 1 0 1 2 1 0 P(3,1) 表示小弹子向右落 0 次,向左落 2 次的概率,得 P(3,1) ? C2 ( ) ? ( ) ? , 2 2 4 1 1 1 2 3 1 ? P(4, 2) 表示小弹子向右落 1 次,向左落 2 次的概率, P(4, 2) ? C3 ( ) ( ) ? . 2 2 8
(II)猜想 P(n, m) ? C
m ?1 n ?1 m 1 m?1 1 n ?m Cn ??1 ( ) ? ( ) ? n ?1 2 2 2 1

C9m ?1 ,∴ P (10, m) ? 9 , 2

1 C90 C9 1 9 求得 P(10,1) ? P(10,10) ? 9 ? , P(10, 2) ? P(10,9) ? 9 ? , 2 512 2 512

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3 C92 C9 9 21 P(10,3) ? P(10,8) ? 9 ? , P(10, 4) ? P(10, 7) ? 9 ? , 2 128 2 128

P(10,5) ? P(10, 6) ?
∴不等式 P (10, m) ?

C94 63 ? . 9 2 256

9 的解集为 {1, 2,3,8,9,10,} . 128
1 , 对于n ? N ? ,定义 f1 ? x ? ? f ? x ? , fn?1 ? x ? ? f ? f n ? x ?? ,偶函 ? ? 1? x

22、 (本题满分 16)已知函数 f ? x ? ?

数 g ? x ? 的定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? ,当 x ? 0 时, g ?x? ? f 2012 ?x? 。 (1) (满分 6 分)求 g ? x ? ; (2) (满分 10 分)若存在实数 a, b ? a ? b ? 使得 g ?x ? 在 ? a, b? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零 实数 m 的取值范围。 解: (1)因为 f1 ? x ? ? f ? x ? ?
1 1 x ?1 1 , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? , f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ?? ? ?x ? ? 1 x ?1 1? x x 1? 1? 1? x x

f 4 ? x ? ? f ? f 3 ? x ?? ?

1 xx ? 1 ?1 f 2012 ? ? ? f 2 ? ? ? , 所以迭代函数以 3为周期 ,f 2009 ? xx ? ?f 2 ? xx ? ? 1? x xx
?x ?1 1 ? 1? , ?x x

设 x ? 0, 则 ? x ? 0, g ? x ? ? g ? ? x ? ?

? 1 ?1? x , x ? 0 ? 所以 g ? x ? ? ? ???????(6 分) ?1? 1 , x ? 0 ? x ?
图象如右:

(2)因为 a ? b, ma ? mb ? 0 ? m ? 0, a ? b ? 0 ;??????????(8 分) 又因为 mb ? 0 ,所以 ? 1 ? [a, b] (否则 m ? 0, mb ? ma ? 0 ,矛盾)
? 1 ?1 ? a ? ma 1 ? 当 a ? b ? ?1, 则f ? x ? ? 1 ? 在(??, ?1]上是减函数? 由题意 ? x ?1 ? 1 ? mb ? b ? 1 1 1 所以 a, b是方程1 ? ? mx的两不同实根, ? x2 ? x ? ? 0在? ??, ?1? 有两个不同实根, x m m

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1 4 ? ?? ? m2 ? m ? 0 ? 1 1 1 ? ?15分? ? g ? ?1? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? m ? 0????(14) m m 4 ? ? 1 ? 2m ? ?1 ?
1 ? ??1 ? a ? mb 1 ? 当 ? 1 ? a ? b ? 0时, 则f ? x ? ? ?1 ? 在(?1, 0)上是增函数,由题意 ? x ??1 ? 1 ? ma ? b ? ? a ? b不合.

1 综上所述 ? ? m ? 0 。????(16 分) 4
23、 (本题满分 18 分) 已知有穷数列 A :a1 , a2 ,?, an , n ? 2 ).若数列 A 中各项都是集合 {x | ?1 ? x ? 1} ( 的元素,则称该数列为 Γ 数列.对于 Γ 数列 A ,定义如下操作过程 T :从 A 中任取两项 ai , a j ,将

ai ? a j 1? a i a j

的值添在 A 的最后, 然后删除 ai , a j ,这样得到一个 n ? 1 项的新数列 A (约定:一个数也视作数 1

列). 若 A 还是 Γ 数列,可继续实施操作过程 T ,得到的新数列记作 A2 , ?? ,如此经过 k 次操作后 1 得到的新数列记作 Ak .

1 1 , . 请写出 A1 的所有可能的结果; 2 3 (Ⅱ) (满分 4 分)求证:对于一个 n 项的 Γ 数列 A 操作 T 总可以进行 n ? 1 次; 5 1 1 1 5 1 1 1 1 1 ? ? ? (Ⅲ) (满分 8 分)设 A : ? , , , ,, , ,,, . 求 A9 的可能结果,并说明理由. 7 6 5 4 6 2 3 4 5 6
(Ⅰ) (满分 6 分)设 A : 0, 解: (Ⅰ) A1 有如下的三种可能结果: A1 : , ; A1 : , ; A1 : 0, (Ⅱ) ? a, b ?{x | ?1 ? x ? 1} ,有

1 1 3 2

1 1 2 3

5 7

a?b ?(a ? 1)(b ? 1) a?b (a ? 1)(b ? 1) ?1 ? ?0且 ? (?1) ? ? 0. 1 ? ab 1 ? ab 1 ? ab 1 ? ab a?b ?{x | ?1 ? x ? 1} ,即每次操作后新数列仍是 Γ 数列. 所以 1 ? ab 又由于每次操作中都是增加一项,删除两项,所以对 Γ 数列 A 每操作一次,项数就减少一项,所以对 n 项的 Γ 数列 A 可进行 n ? 1 次操作(最后只剩下一项)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 A9 中仅有一项. 对于满足 a, b ?{x | ?1 ? x ? 1) 的实数 a , b 定义运算: a ? b ? 足交换律和结合律。
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a?b ,下面证明这种运算满 1 ? ab

a?b b?a ,且 b ? a ? ,所以 a ? b ? a ? b ,即该运算满足交换律; 1 ? ab 1 ? ba b?c a? b?c 1 ? bc ? a ? b ? c ? abc 因为 a ? (b ? c) ? a ? ? 1 ? bc 1 ? a ? b ? c 1 ? ab ? bc ? ca 1 ? bc a?b ?c a?b a ? b ? c ? abc 1 ? ab 且 ( a ? b) ? c ? ?c? ? a?b 1 ? ab 1? ? c 1 ? ab ? bc ? ca 1 ? ab
因为 a ? b ? 所以 a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ,即该运算满足结合律. 所以 A9 中的项与实施的具体操作过程无关 选择如下操作过程求 A9 :

1 1 5 ? ? ; 2 3 7 5 5 1 1 1 1 1 1 易知 ? ? ? 0 ; ? ? ? 0 ; ? ? ? 0 ; ? ? ? 0 ; 7 7 4 4 5 5 6 6 5 所以 A5 : , 0, 0, 0, 0 ; 6
由(Ⅰ)可知 易知 A5 经过 4 次操作后剩下一项为 综上可知: A9 :

5 . 6

5 6

(说明:第三问得答案 4 分,说理由 4 分).

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