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第5课 二次根式



近三年浙江中考试题分布
热门考点 1. 二次根式 的概念与 性质 2.二次根式 的运算 3.二次根式 的综合 2016年 2015年 2014年

温州T17,10分 宁波T4,4分 衢州T17,6分 温州T17,10分 衢州T12,4分 金华T17,6分 湖州T3,3分 金华T12,4分 丽水T17,6分 金华、义乌T5,3分 嘉兴、舟山T12,4分 绍兴、义乌T17,8分 嘉兴、舟山T17,8分

考点一 二次根式的概念与性质
考点清单
1.式子 a(a≥0)叫作二次根式. 2.( a)2=a(a≥0).
3.
?a(a≥0); a =|a|=? ?- a ( a < 0 ) .
2

4.

ab= a× b(a≥0,b≥0).

5.

a a b= b(a≥0,b>0).

要点点拨
1.二次根式 a具有双重非负性,一是被开方数 a 必须是 非负数,即 a≥0;二是二次根式 a的值是非负数,即 a≥0.

2.二次根式的性质是化简和计算的依据.
特别关注

1.二次根式 a中隐含“a≥0”这个条件,做题

时要善于挖掘隐含条件,巧妙求解. 另外, 二次根式的“双重非负性”也是一个非常重要的隐含 条件.

2.要特别注意( a)2 与 a2的区别:两者中 a 的限制条件 不同,运算的先后顺序也不同.

x+ 1 【典例 1】 (2016· 广西贺州)要使代数式 x 有意义, 则 x 的取值范围是 .
【点评】 本题主要考查二次根式及分式有意义的条件, 熟知二次根式具有非负性及分式的分母不为 0 是解题的 关键. ?x+1≥0, 【解析】 根据题意,得? 解得 x≥-1 且 x≠0. ? x≠ 0,

【答案】 x≥-1 且 x≠0

【典例 2】 (2016· 四川南充)下列计算中, 正确的是( 3 3 A. 12=2 3 B. = 2 2 C. -x3=x -x D. x2=x

)

【点评】 本题主要考查二次根式的化简,熟练掌握二次 根式的性质是解题的关键.
【解析】 A. 12=2 3,故本选项正确. 3 6 B. = ,故本选项错误. 2 2 C. -x3=-x -x,故本选项项错误. D. x2=|x|,故本选项错误. 故选 A. 【答案】 A

考点二 二次根式的运算
考点清单
1.最简二次根式的条件是:①被开方数中不含开得尽方 的因数或因式;②根号内不含分母. 2.二次根式的加减:把各二次根式先化成最简二次根式, 再把被开方数相同的二次根式像合并同类项那样进行 合并. 3.二次根式相乘,把被开方数的积作为积的被开方数, 即 a× b= ab(a≥0,b≥0).
4.二次根式相除,把被开方数的商作为商的被开方数, a a 即 = b(a≥0,b>0). b

要点点拨
1. 二次根式加减的实质是将二次根式化为最简二次根式, 再合并同类二次根式. 2.二次根式的混合运算,可以适当改变运算顺序,使计 算简便,计算过程中要细心. 3.二次根式化简求值问题的常用方法:①用乘法公式; ②平方法、配方法;③换元法;④倒数法;⑤分母(分 子)有理化.
特别关注 二次根式乘除的结果要化成最简二次根式的 形式, 整式的平方差公式与完全平方公式同样适用于二次 根式的乘除.

【典例 3】 计算: (1)(2016· 山东威海) 18- 8=____. 5× 15 (2)(2015· 江苏南京) =____. 3 (3)(2016· 山东潍坊) 3× ( 3+ 27)=____.

【点评】 本题主要考查二次根式的运算,掌握相关运算 法则是解题的关键.
【解析】 (1)原式=3 2-2 2= 2. (2)原式= 5× 5=5. (3)原式= 3× ( 3+3 3)= 3× 4 3=12.
【答案】 (1) 2

(2)5 (3)12

【典例 4】 2) - 27.
0
3

(2016· 辽宁大连)计算:( 5+1)( 5-1)+(-

【点评】 本题主要考查二次根式和实数的运算,掌握平 方差公式、零指数幂、立方根及实数的运算法则是解题的 关键. 【解析】 原式=5-1+1-3=2.

考点三 二次根式的综合
特别关注 几个非负数的和为 0, 则每个数都为 0.初中阶

段常见的非负数有: ①实数的绝对值: |a|≥0;②实数的 平方:a2≥0;③非负实数的算术平方根: a≥0(a≥0).

【典例 5】 (2016· 山东烟台)已知|x-y+2|+ x+y-2= 0,则 x2-y2 的值为____.

【点评】 本题主要考查非负数的性质,知道几个非负数 的和为 0,则每个数都是 0 是解题的关键.

【解析】 ∵|x-y+2|+ x+y-2=0, ∴x-y+2=0,x+y-2=0, ∴x-y=-2,x+y=2, ∴x2-y2=(x-y)(x+y)=-2× 2=-4.

【答案】

-4

【典例 6】 (2016· 河北模拟)实数 a, b 在数轴上对应的点 的位置如图 51 所示: 图 51 a2- b2- (a-b)2的结果是____.

化简

【点评】 本题主要考查二次根式的化简,看清数轴,熟 练掌握二次根式的性质是解题的关键. 【解析】 观察数轴可知:-1<a<0,0<b<1, ∴a-b<0, ∴原式=-a-b+(a-b)=-2b.

【答案】 -2b

二次根式单独出题考查的不多,近几年,二次根式常和下 列问题结合在一起: ①实数的运算. ②整式(分式)的化简求值. ③解直角三角形与三角函数. ④坐标系中点与点之间的距离. 这些知识结合在一起,有一定的综合性,解答问题时,可 以采取各个击破的办法,化繁为简.要特别注意二次根式 的双重非负性.

【例 1】 (2016· 江西模拟)已知 ab=2, 则a 值是
提 示

b a+b

a b的



本题分两种情况:a>0,b>0,或 a<0,b<0.

【解析】 当 a>0,b>0 时, 原式 ab+ ab= 2+ 2=2 2. 当 a<0,b<0 时, 原式=- ab- ab=- 2- 2=-2 2.

【答案】 ± 2 2

【例 2】 (2015· 安徽模拟)已知 a(a- 3)<0, 若 b= 2- a, 则 b 的取值范围为 .
提 示

充分利用 a的双重非负性求解,不要忽略 a>0 这

个隐藏条件.
【解析】 ∵ a(a- 3)<0,∴ a≠0,∴ a>0, ∴a- 3<0,∴0<a< 3,∴- 3<-a<0, ∴2- 3<2-a<2,即 2- 3<b<2.

【答案】 2- 3<b<2

【例 3】 (2016· 四川凉山州)先化简,再求值: ? 1 ? x+ 2 2 ? ? + 2 ,其中实数 x,y 满足 y= x-2- ? ?÷ x - y x - xy 2 x ? ? 4-2x+1. x+ 2 2x 2 【解析】 原式= · = . x(x-y) x+2 x-y ∵y= x-2- 2(2-x)+1, ∴x-2≥0,2-x≥0,∴x=2,∴y=1. 2 当 x=2,y=1 时,原式= =2. 2- 1

【例 4】 (2015· 山西)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相 应的任务. 斐波那契是意大利数学家,他研究了一列数,这列数 非常奇妙, 被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一 列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多 意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕 草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契 数列还有很多有趣的性质, 在实际生活中也有广泛的应用. ? ?n ?1- 5?n? 1? ??1+ 5? ? ? ? 斐波那契数列中的第 n 个数可以用 ?? - ? ? 2 ? 5?? 2 ? ? ? ? ? 表示(其中 n≥1),这是用无理数表示有理数的一个范例. 任务:请根据以上材料,通过计算求出裴波那契数列中的 第一个数和第二个数.

【解析】 第一个数,当 n=1 时, ? 1 + 5 1 - 5 1? 1 ? ? 原式= ? = × 5=1. - 2 ? 5? 2 5 ? 第二个数,当 n=2 时, ? ?2 ? ?2? 1? ??1+ 5? ?1- 5? ? 原式= ?? ? -? ? 5?? 2 ? ? 2 ? ? ? ?? ? 1 + 5 1 - 5 1 + 5 1 - 5 1 ? ? ?? ? = × + - ? ?? 2 ?? 2 2 ? 5 ? 2 ? 1 = × 1× 5=1. 5

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