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正弦定理
——高二数学组 2016.8.19

解三角形的概念

S?ABC

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a,其余类似)的关系:
b a sin B ? s

in A ? c c c sin C ? 1 ?
c
不难得到:
b

A

c

a b c ? ? sin A sin B sin C

C

a

B

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C

b A
c

a

B

若三角形是锐角三角形, 如图1,
c

A b C

过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B ?
AD , sin C c

B

?

AD b

图1

D

b c ? , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C a c 同理可得 ? , sin A sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D,
AD c

此时也有 sin B ?
b

且 sin (? ? C) ? AD ? sin C
a b c 仿(2)可得 ? ? sin A sin B sin C

A
c b D

B

图2 C

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.



a b c ? ? sin A sin B sin C

思考:你能否找到其他证明正弦定理的方法?

另证:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
B
a

(R为△ABC外接圆半径)
c O
A b

C

C/

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
1、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边,求其他角和边

剖析定理、加深理解

正弦定理:可以用来判断三角形的形状,其主要工 具是实现三角形边角关系的转化

命题方向

已知两角和一边解三角形
)

[例 1] 在△ABC 中, a=8, B=60° , C=75° , 则 b=( A.4 2 B.4 3 C.4 6 22 D. 3

[答案] C
)

在△ABC 中, AB= 3, A=45° , C=75° , 则 BC 等于( A.3- 3 C.2 B. 2 D.3+ 3
[答案] A

例 2、
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
A ° 所以B=60°,或B=120
300

已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
16 3
16 16

B

B

当 B=60°时

C=90°

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

0° <A<90° a≥b a<b a>bsinA a=bsinA a<bsinA a>b

A≥90° a≤b

也可以如下判定:由“三角形中大边对大角”可知,若 a≥b,则 A≥B,从而 B 为锐角,有一解;若 a<b,则 A<B, bsinA 此时, 由正弦定理得 sinB= a 的值. ①sinB>1, 无解; ②sinB =1,一解;③sinB<1,两解.

变式: a=30, b=26, A=30°,解三角形
b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30

13 sin 25.7 ? 30 a
?

C
26
300

30

B

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图) C=124.30,
a sin C c? ? 49.57 sin A

变式: a=30, b=26, A=30°,解三角形
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30
C
26
300

30

B

∵a > b

∴A>B, C=124.30,

三角形中大边对大角

所以B=25.70,
a sin C c? ? 49.57 sin A

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13,a=26,B=30°.

[B=90°,C=60°,c= 13 3 ]
(2) b=40,c=20,C=45°.

无解

注:三角形中角的正弦值小于1时,角可能 有两解

命题方向

三角形形状的判断

[例 3]

(2010~2011· 河南汤阴县高二期中)在△ABC 中,

a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,若 acosA=bcosB, 则△ABC 一定是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

[答案] D

在△ABC 中,sinA=sinB,则△ABC 是( A.直角三角形 C.等边三角形
[答案] B
a sinA [解析] 由正弦定理 = =1,∴a=b. b sinB

)

B.等腰三角形 D.锐角三角形

课堂小结
a b c ? ? (1)正弦定理: sin A sin B sin C
(2)正弦定理应用范围:
① ② =

2R

已知两角和任意边,求其他两边和一角

已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况)

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( )

A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
?
? B、 6

B、3:2:1
D、2:
2? C、 或 3 3

3 :1

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=
?
3

? 5? D、 或 6 6



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