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2013年高二期末考试试卷(理科答案)



2012—2013 学年第二学期高二期末考试 理科数学试题答案
一、选择题

BCBAA BABCC CD
14.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?0,1,2? ;

19 17 - i ; 15.(-∞,0); 16.2 26 26

/>三.解答题(本大题共6小题,70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (1) 当 x∈Z 时,A={-1,0,1,2,3,4, }, 6 所以 A 的真子集个数为 2 -1=63. …………………………5 分 (2)因为 x∈R, 且 A={x|-2<x<5}, B={x|m+1≤x≤2m-1}, 又 A ? B ? ? 同时成立. 则①若 B ? ? ,即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件. ②若 B ? ? ,则要满足的条件是

?m ? 1 ? 2m ? 1 ?m ? 1 ? 2m ? 1 ? m ? 4或 ? ? m?? ? m ? 1 ? 5 2 m 1 ? 2 ? ? 综上,m 的取值范围是 m<2 或 m ? 4 …………………………10 分
18.解析: 解: (1)当 a ? 2 时 f ( x) ? 3x ? 2 可化为 x ? 2 ? 2 解得 x ? 4或x ? 0 (2) - 4 ? a ? 0或0 ? a ? 2

a2 ?
19 解:解答: (1)

S2 a ?a ? 1 2 2(2 ? 2 ? 1) 6



a1 ?

1 1 1 a2 ? a3 ? 3 ,则 15 ,类似地求得 35 a1 ? 1 1 1 a2 ? a3 ? 1? 3 , 3? 5 , 5? 7 …

(2)由

an ?
猜得:

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

以数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)可知等式成立;

②假设当 n ? k 时猜想成立,即

ak ?

1 (2k ? 1)(2k ? 1) an ? Sn n(2n ? 1) 得
k 2k ? 1

那么,当 n ? k ? 1 时,由题设

ak ?

Sk S k ?1 ak ?1 ? k (2k ? 1) , (k ? 1)(2k ? 1)

因此,

k (2k ? 3)ak ?1 ?

理科数学试题答案

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ak ?1 ?
所以

1 1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) [2(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1]

这就证明了当 n ? k ? 1 时命题成立. 由①、②可知命题对任何 n ? N 都成立.
?

1 k S ? k (2 k ? 1) a k (2 k ? 1) (2 k ? 1)(2 k ? 1) k = 所以 k = 2k ? 1

S k ?1 ? (k ? 1)(2k ? 1)ak ?1
k ak ?1 ? S K ?1 ? S K ? (k ? 1)(2k ? 1)ak ?1 - 2k ? 1
20.解: 【解】 : (1)体积错误!未找到引用源。 ; ……3 分 (2) 法一:过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。交错误!未找到引用源。 于错误!未找到引用源。 ,连接错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 或其补角即为异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角, 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ; 即异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角的余弦值为 错误!未找到引用源。 。……4 分 法二: 以错误!未找到引用源。为原点,以错误!未找到引用源。 、错误!未 找到引用源。 、错误!未找到引用源。所在直线为错误!未找到引用源。 、错误! 未找到引用源。 、错误!未找到引用源。轴建立空间直角坐标系(图略) ,则错 误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 又异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角为锐角,可得异面直线 错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角的余弦值为错误!未找到引用 源。 。 ……4 分 (3)平面错误!未找到引用源。的法向量错误!未找到引用源。 , ……1 分 平面错误!未找到引用源。的法向量错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未 找到引用源。 ,……1 分 由错误!未找到引用源。 ,可得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 。…3 分 此时,与正视图为直角梯形条件不符,所以舍去, 因此不存在实数错误!未找到引用源。 ,使得二面角错误!未找到引用源。的平面角是错误! 未找到引用源。 。 ……2 分 21 解:解:设直线 l 上的点 A,B 对应参数分别为 t1,t2.将曲线 C 的参数方程化为普通 x2 方程 +y2=1. 4 π (1)当 α= 时,设点 M 对应参数为 t0. 3 1 x=2+ t, 2 直线 l 方程为 (t 为参数). 3 y= 3+ t 2

? ? ?

理科数学试题答案

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x2 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得 13t2+56t+48=0,则 4 t1+t2 28 12 3 t0= =- ,所以,点 M 的坐标为? ,- ?. 2 13 13 ? ?13 ?x=2+tcosα, x2 (2)将? 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得(cos2α+4sin2α)t2+(8 3sinα 4 ?y= 3+tsinα +4cosα)t+12=0, 因为|PA|· |PB|=|t1t2|= 5 得 tan2α= . 16 由于 Δ=32cosα(2 3sinα-cosα)>0,故 tanα= 所以直线 l 的斜率为 5 . 4 5 . 4 12 12 2 =7. 2 ,|OP| =7,所以 2 cos α+4sin α cos α+4sin2α
2

22. (本小题满分 12 分)

(Ⅱ)方法一,若 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解,所以函数 F(x)有且只有一个零点 …… 7 分 由(Ⅰ)的结论可知 F ( x) min ? ? a ln a ? 0得a ? 1 …………
理科数学试题答案 第 3 页 共 4 页

8分

此时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x2 ? 2 ln x ? 0 , F ( x) min ? F ( e ) ? 0 e

∴ f ( e ) ? g ( e ) ? 1, ∴f(x)与 g(x)的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1) 又

f ?( e ) ? g ?( e ) ? 2 e

2 e

,∴f(x)与 g(x)的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,

其方程为 y ? 1 ?

( x ? e ) ,即 y ?

2 e

x ?1

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点 处的公切线方程为 y ?

2 e

x ? 1. ………… 12 分

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