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【智博教育原创专题】三大圆锥曲线经典结论



注重结论 巧妙应用之三大圆锥曲线经典结论 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的 a 2 b2 b2 a2 斜率之积为定值 ? 2 (注:若椭圆焦点在 y 轴上时,即 b ? a ? 0 ,则定值为 ? 2 ) 。 a b 【证明】设原点为 O, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆上的任意不同的两点, P( x0 , y0 ) 是弦 AB 中点。 【结论 1】在椭圆 ? x12 y12 ? ? ? a 2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? ? a 2 b2 y ? y2 为 1 x1 ? x2 ?1 ?1 ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,由以上几式可得: 1 ? ? 0 。可转化 ?? a2 b2 ? y1 ? y2 ? 2 y0 b2 y0 b 2 ? 2 ,即 k AB ? kOP ? ? 2 。 a x0 a x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线 a 2 b2 b2 a2 的斜率之积为定值 2 (注:若双曲线为焦点在 y 轴上的形式,则定值为 2 ) 。 a b 【证明】设原点为 O, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是双曲线上的任意两个不同的点, P( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点。 【结论 2】双曲线 ? x12 y12 ? ? ? a 2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? ? a 2 b2 y ? y2 为 1 x1 ? x2 ?1 ?1 ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,由以上几式可得: 1 ? ? 0 。可转化 ?? a2 b2 ? y1 ? y2 ? 2 y0 b2 y0 b 2 ? 2 ,即 k AB ? kOP ? 2 。 a x0 a 【结论 3】抛物线 y 2 ? 2 px 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为 p ( x0 为弦中点的横坐标) 。 x0 【证明】设原点为 O, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为 y 2 ? 2 px 上任意两个不同的点, P( x0 , y0 ) 为弦 AB 中点。 2 ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ? y1 ? 2 px1 ?? ,可得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p ( x1 ? x2 ) ,两边同除以 ( x1 ? x2 ) 得: ? 2 ? y2 ? 2 px2 ? y1 ? y2 ? 2 y0 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 2 p ( x1 ? x2 ) y ? y2 y0 p p ? ? ? , k AB ? kOP ? 。 ,即得: 1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 x0 x0 在解决圆锥曲线中有关弦的斜率与中点坐标问题时,利用“设而不求,代点作差”较麻烦,灵活运 用上述结论,能够快速、简捷地解决圆锥曲线的有关问题。 1 的椭圆的方程。 2 x ? x2 1 ? 在 【解析】设 y ? 3 x ? 2 与椭圆交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点为 P ( x0 , y0 ), x0 ? 1 2 2


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