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2015.10.02三角函数高考题



三角函数历年高考题汇编 一.选择题
?? 1、函数 y ? 2 cos2 ? ? x ? ? ? 1 是(
? 4?

A

) B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数
? 2

A. 最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 的奇函数
? 2


cos2x=2cos2x-1=1-2sin2x,cos2x=cosxcosx-sinxsinx=cos2x-sin2x y=cos(2x- )=sin2x cosa=1-2sin2 ? sin 2 tan2a=
1 - cos ? 1 ? cos ? a 2

? 2

?
2

?

1 ? cos a ? ? 1 ? cos ? ; cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? cos 2 ? 2 2 2 2

“奇变偶不变,符号看现象” tan2a=
2 tan a tan? ? tan ? tan? - tan? ;tan(a+β)= ;tan(α-β)= ; 2 1 ? tan a 1 - tan? tan ? 1 ? tan? tan ?

sin2a=2sinacosa;sin(α+β)=sinacosβ+cosasinβ;sin(α-β)= sinacosβ-cosasinβ; cos2a=cos2a-sin2a;cos(a+β)=cosacosβ-sinαsinβ; cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ; 2、已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 D )
? 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 1 1 1 f(x)=2cos2xsin2x= (sin 2 x)2 ? ? 2 sin 2 2 x ? (1 ? cos 4 x) 2 4 4 1 - cos 2 x 1 1 1 ? cos 4 x ) ) f(x)=(1+cos2x)( = (1-cos22x)= (1 2 2 2 2 1 1 cos 4 x 1 1 ? ? cos 4 x = ? ? 2 4 4 4 4

B、最小正周期为 的奇函数

3.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( D ) ...

当 a=0 时,C 正确;当 a=1 时,周期为 2 ? ,最大值为 2,选项不存在; 当 a>1 时,周期小于 2 ? ,但最大值会大于 2, B 正确,D 错误;0?a?1 时,周期大于 2 ? ,但最大值小于 2,A 正确;当-1<a<0 时, f(x)=1+asinax=1-asin(-ax) ,与 0<a<1 的图像相同;当 a<-1 时, f(x)=1+asinax=1-asin(-ax) ,与 a>-1 的图像相同。当 a=-1 时,图 像与 a=1 时的图像一致。 4.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式是( A. y ? 2cos2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ? )
?
4

? 4

A

).

B. y ? 2sin 2 x
?

D. y ? cos 2 x
?
2

y=sin2(x+ 4 )+1=sin(2x+ 2 )+1=cos2x+1=2cos x 5.函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为( A. 2? B.
3? 2
2

A

) D.
? 2

C. ?
1 2

f(x)=cosx+ 3 sinx= 12 ? 3 ( cos x ?

? 3 sin x) =2sin(x+ ) 6 2
4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最 3

6.如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 (

小值为( A.
2?

A B.
? 4

) C.
? 3

? 6

D.

? 2

4? ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) 3 2 2k? ?

? ??
2

13 ? ? ? ? k? , k ? 2时, - ? 6 6 6
k ?Z

y=sinx,增区间为[ [
2k? ?

,2k? ?

?
2 ],

,减区间为

?
2

,2k? ?

3? k ?Z k? ,0 2 ], ;对称中心为[ ];在

?
2

? 2k? , k ? Z取得最小值 - 1;在

?
2

? 2k? , k ? Z取得最大值 1;
k ?Z

y=cosx,增区间为[ 2k? ? ? ,2k? ? 2? ], [ 2k? ,2k? ? ? ],
k ?Z

,减区间为 ];

k? ?

?
2

,0

;对称中心为[

在? ? 2k? , k ? Z取得最小值-1 ;在2k? , k ? Z取得最大值 1 ;
k? -

?
2

y=tanx,单调区间为[

, k? ?

?
2 ],

k ?Z

;对称中心为[

k? ? ? ,0 2 2

];

7.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( C ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3,
3 2

D. -2,

3 2

f(x)=1-2sin2x+2sinx 在[-1,1]之间的最值,对称轴
x? b 2 1 3 ?? ? ,带入原式: f ( x)max ? ;f (?1)min ? ?3 2a 2 ? (?2) 2 2

π? ? π ? 8.函数 y ? sin ? ? 2 x ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( A ) 3? ? ? 2 ?

“左加右减,上加下减”y=sin2(x- ),先画出 sin2x 的图像,再向 右平移 个单位 。
6

?

? 6

二.填空题 9.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ? ?
7? ? 12 ? ?? ?

0



5? ? 3 2? 2? - ?? ? T ?T ? ? ? w ? 3。 4 4 2 3 w f ( x) ? 2 sin( 3x ? ? ), 3?

?
4

? ? ? 0 ? k? (k ? Z ),? ?

?

3? 或? ? ? (舍去) 4 4

所以 f(x)=2sin(3x-

3? 7? ),f( )=2sin ? =0 4 12

y=Asin(wx+ ?) ,A(振幅) ,T(周期)= f= ?
1 T

2? , ?

w , (相位)wx ? ?,x ? 0时的相称为初相。 2?

10.函数 y ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是 y=1+cos2x+sin2x= 1 ? 2 (

1- 2 。

? 2 2 cos2 x ? sin 2 x) = 2 sin( ? 2 x) +1 4 2 2
3 。 2

11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示,则 ? =

2? ? 1 4? 2? 3 - ? T?T? ? ?w? 3 3 4 3 w 2

三.解答题 12、已知函数 f ( x) ? Asin(x ? ? ),( A ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图 像经过点 M ( , ) 。
3 2

? 1

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0, ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ?
2

?

3 5

12 , 求 f (? ? ? ) 的值。 13

解:(1)由该函数的最大值为 1,得 f(x)=sin(x+ ? ),该函数经过 点 M,
3 3 6 5? ? 此时 ? ? ? (舍去) . ? ? ? ? 2k? , k ? Z ? ? ? ,k=0,所以: 3 6 2 ? f(x)=sin(x+ ) 2 ? (2)f(x)=sin(x+ )=cosx 2

?? 将其带入函数得: ? sin( ? ? ) ,
?

1 2

?

?

?

?

? 2k? , k ? Z ? ? ?

11? 6

f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ?
4 5 3 12 4 5 56 ? f (? ? ? ) ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

sin ? ? 1 - cos 2 ? ? ,sin ? ? 1 - cos 2 ? ?

5 13

13、已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ? ), x ? R .
2

(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ? 3 ,求 sin 2? 的值.
4

解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 ( T=

2? ? 2? w (Ⅱ) f ( x)max ? 2; f ( x)min ? ? 2 3 9 9 (Ⅲ) f ( x) ? sin ? ? cos ? ? ? (sin ? ? cos ? )2 ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 4 16 16 7 sin2α=16

2 2 ? sin x ? cos x) ? 2 sin(x ? ) ; 2 2 4

14.(本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? ? 6 2?

? ?

解: (Ⅰ)原式: f ( x) ? 2 sin x cos x ? sin 2 x;T ? (Ⅱ) - ? 2 x ? ? ; f (? )min ? ?
3 3

2? 2? ? ?? w 2

?

?

3 ? ; f ( )max ? 1 2 2

15.(本题满分 14 分) 如图,是函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0) 的一段图象.

(1)求此函数解析式; (2)分析一下该函数是如何通过 y=sinx 变换得来的?
1 3 1 3 - -?- ? - +?- ? 2 2 1 2 2 解:(1)由图象知 A= = , k= =-1, 2 2 2 2π π 2π T=2×( - )=π,∴ω= =2. 3 6 T

1 ∴y= sin(2x+φ)-1. 2 π π π π 当 x= 时,2× +φ= ,∴φ= . 6 6 2 6 1 π ∴所求函数解析式为 y= sin(2x+ )-1. 2 6 π π (2)把 y=sinx 向左平移 个单位,得到 y=sin(x+ ),然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原 6 6 1 π 1 1 π 来的 ,得到 y=sin(2x+ ),再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 得到 y= sin(2x+ ), 2 6 2 2 6 1 π 1 π 最后把函数 y= sin(2x+ )的图象向下平移 1 个单位,得到 y= sin(2x+ )-1 的图象. 2 6 2 6

16.(本题满分 14 分)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距 π 离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s=6sin (2πt+6)(t≥0). (1)作出它的图象; (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少 cm? (3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少 cm? (4)单摆来回摆动一次需要多少时间?
16. 解:(1)找出曲线上的六个特殊点,列表如下: 1 5 2 11 t 0 1 6 12 3 12 π π π 3π 13π π 2π 2πt+ 6 6 2 2 6 s 3 6 0 0 3 -6 用光滑曲线连接这些点, 并将这段图象向右平移, 每次平移 1 个单位长度则得函数 s=6sin(2πt π + )在[0,+∞)上的图象(如图). 6

π (2)当 t=0 时,s=6sin =3(cm),即单摆开始摆动时,离开平衡位置 3 cm. 6 π (3)s=6sin(2πt+ )的振幅为 6, 6 所以单摆摆动到最右边时,离开平衡位置 6 cm. π 2π (4)s=6sin(2πt+ )的周期 T= =1,所以单摆来回摆动一次需要的时间为 1 s. 6 2π

三角函数历年高考题汇编参考答案 一. 选择题 1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.A

二.填空题 1. 0 2.
1? 2

3.

3 2

三.解答题 1. f ( x) ? sin( x ? )
? 56 f (? ? ? ) ? sin(? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 65
2

?

2. (1) T ? 2? (2) fmin ? ? 2, fmax ? 2 (3) sin 2? ? ? 7 3. (1) T ? ? (2) f min ? ?
3 , f max ? 1 2
16



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