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【必修四学案】2.3.1平面向量基本定理


2.3.1 平面向量基本定理
学习目标:
1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问 题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念。

典型例题:
【例 1】已知向量 e1 , e2 ,求作向量 ? 2.5e1 ? 3e2 。

知识要点:
一、平面向量基本定理 1. 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量 a , 2. 定理说明: (1)我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 (2)基底不唯一,任意一对不共线的向量均可作为基底; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一。 3. 若 a ? x1 e1 ? y1 e2 , b ? x2 e1 ? y2 e2 ,则 a ? b ? 4. 若 a ? x1 e1 ? y1 e2 , b ? x2 e1 ? y2 e2 ,则 a // b ? 二、向量的夹角 1.向量的夹角:已知两个非零向量 a , b ,作 叫做 a , b 的夹角。 2. 当 ? ? 0 时, a 与 b
0

,使



【例 2】已知 G 为△ABC 的重心,设 AB ? a, AC ? b ,用 a , b 表示 AG 。



。 。 【例 3】设 e1 , e2 为不共线的两个向量,且 (ke1

? e2 ) //(e1 ? ke2 ) ,求实数 k 的值



,则





,当 ? ? 180 时, a 与 b
0



3. 当 ? ? 90 时, a 与 b
0

,记作



当堂检测:
1.下面三种说法: ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底; ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底; ③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( A.①② B.②③ C.①③ ) D.①②③

2.已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , c ? 2e1 ? 9e2 ,其中 e1 , e2 不共线,求实数 ? , ? 使 c ? ? a ? ?b .


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