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平面向量的线性运算
【学习目标】 1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则,作出几个向量的和、差向量. 2.能结合图形进行向量的计算. 3.能准确表达向量加法的交换律和结合律,并能熟练地进行向量计算. 4.理解实数与向量的积的意义,会利用实数与向量的积的运算律进行计算. 5.掌握向量共线的条件. 【要点梳理】 要点一:向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量 a, b ,在平面内任取一点 A, 作A B ?a B ,C b ? ,再作向量 AC ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和, 记作 a ? b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC .如图

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本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量 a, b ,作 AB ? a, AD ? b ,则 A, B, D 三点不共线,以 AB, AD 为邻边作平行 四边形 ABCD ,则对角线 AC ? a ? b .这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

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求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量 a ,我们规定 a ? 0 ? 0 ? a ? a . 要点诠释: 两个向量的和与差仍是一个向量, 可用平行四边形或三角形法则进行运算, 但要注意向量的起点与终点. 要点二:向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念 已知 n 个向量,依次把这 n 个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第 n 个向量的终点为终点的 向量叫做这 n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

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????? ????? ????? ??????? A1 An ? A1 A2 ? A2 A3 ????? An?1 An
特别地,当 A 1 与 An 重合,即一个图形为封闭图形时,有 A 1A 2 ?A 2A 3 ???? ? A n?1 A n ?A nA 1 ?0 2.向量加法的运算律

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(1)交换律: a ? b ? b ? a ; (2)结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 要点三:向量的三角形不等式 由向量的三角形法则,可以得到 (1)当 a, b 不共线时, | a ? b |?| a |? | b | ; (2)当 a, b 同向且共线时, a ? b, a, b 同向,则 | a ? b |?| a |? | b | ; (3) 当 a, b 反向且共线时,若 | a | ?| b | ,则 a ? b与a 同向,| a ? b |?| a |? | b | ;若 | a| ? b | b | ,则 a ?b与 同向, | a ? b |?| b |? | a | . 要点四:向量的减法 1.向量的减法 (1) 如果 b ? x ? a , 则向量 x 叫做 a 与 b 的差, 记作 a ? b , 求两个向量差的运算, 叫做向量的减法. 此 定义是向量加法的逆运算给出的. 相反向量:与向量 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量. (2)向量 a 加上 b 的相反向量,叫做 a 与 b 的差,即 a ? b ? a ? (?b) .求两个向量差的运算,叫做向 量的减法,此定义是利用相反向量给出的,其实质就是把向量减法化为向量加法. 要点诠释: (1)两种方法给出的定义其实质是一样的. (2)对于相反向量有 a ? (?a) ? 0 ;若 a , b 互为相反向量,则 a ? ?b, a ? b ? 0 . (3)两个向量的差仍是一个向量. 2.向量减法的作图方法 (1)已知向量 a , b (如图) ,作 OA ? a, OB ? b ,则 BA ? a ? b = OA ? OB ,即向量 BA 等于终点向 量( OA )减去起点向量( OB ) .利用此方法作图时,把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是 以减向量的终点为始点的,被减向量的终点为终点的向量.

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(2)利用相反向量作图,通过向量加法的平行四边形法则作出 a ? b .作 OA ? a, OB ? b, AC ? ?b ,

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则 OC ? a ? (?b) ,如图.由图可知,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.

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要点五:数乘向量 1.向量数乘的定义 实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a (1) | ? a |?| ? || a | ; (2)①当 ? ? 0 时, ?a 的方向与 a 的方向相同; ? ? ②当 ? ? 0 时. ?a 的方向与 a 的方向相反; ③当 ? ? 0 时, ?a ? 0 . 2.向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知,实数与向量的积 ?a 的几何意义是: ?a 可以由 a 同向或反向伸缩得到.当

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? ? | ? |? 1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向( ? ? 0 )或反方向( ? ? 0 )上伸长为原来的 | ? | 倍得到 ?a ;
当 0 ?| ? |? 1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向( ? ? 0 )或反方向( ? ? 0 )上缩短为原来的 | ? | 倍得到

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? ? ? ? ? ? ? ? ?a ;当 ? ? 1 时, ?a = a ;当 ? ? ?1 时, ?a =- a ,与 a 互为相反向量;当 ? ? 0 时, ?a = 0 .实数与向 ? 量的积得几何意义也是求作向量 ?a 的作法.
3.向量数乘的运算律 设 ?、? 为实数 结合律: ? (? a) ? (?? )a ; 分配律: (? ? ? )a ? ?a ? ?a , ? (a ? b ) ? ?a ? ?b 要点六:向量共线的条件 1.向量共线的条件 (1)当向量 a ? 0 时, a 与任一向量 b 共线. (2)当向量 a ? 0 时,对于向量 b .如果有一个实数 ? ,使 b ? ? a ,那么由实数与向量的积的定义知 b 与 a 共线. 反之,已知向量 b 与 a ( a ? 0 )共线且向量 b 的长度是向量 a 的长度的 ? 倍,即 | b |? ? | a | ,那么当 b

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与 a 同向时, b ? ? a ;当 b 与 a 反向时, b ? ?? a . 2.向量共线的判定定理

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? ? ? ? ? a 是一个非零向量,若存在一个实数 ? ,使 b ? ? a ,则向量 b 与非零向量 a 共线.
3.向量共线的性质定理 若向量 b 与非零向量 a 共线,则存在一个实数 ? ,使 b ? ? a . 要点诠释: (1)两个向量定理中向量 a 均为非零向量,即两定理均不包括 0 与 0 共线的情况; (2) a ? 0 是必要条件,否则 a ? 0 , b ? 0 时,虽然 b 与 a 共线但不存在 ? 使 b ? ? a ; (3)有且只有一个实数 ? ,使 b ? ? a . (4)a // b ? a ? ?b(b ? 0) 是判定两个向量共线的重要依据, 其本质是位置关系与数量关系的相互转 化,体现了数形结合的高度统一. 【典型例题】 类型一:向量加法的几何运算 例 1.如图,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量: (1) OA ? OC ; (2) BC ? FE ; (3) OA ? FE . 【解析】 (1)由图知,OABC 为平行四边形,∴ OA ? OC ? OB (2)由图知 BC ? FE ? OD ? AO ,∴ BC ? FE ? AO ? OD ? AD . (3)∵ OD ? FE ,∴ OA ? FE ? OA ? OD . 又 OA ? DO ,∴ OA ? FE ? DO ? OD ? 0 . 【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量,注意当两个向量共 线时,三角形法则仍适用,而平行四边形法则不适用. 举一反三: 【变式 1】在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( A.

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B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

1 3

2 b 3

【答案】B 类型二:向量减法的几何运算 例 2.如图,解答下列各题:

(1)用 a ,d,e 表示 DB ; (2)用 b ,c 表示 DB ; (3)用 a , b ,e 表示 EC ; (4)用 d, c 表示 EC . 【答案】 (1) d ? e ? a (2) ?b ? c 【解析】 ∵ AB ? a , BC ? b , CD ? c , DE ? d , EA ? e , ∴(1) DB ? DE ? EA ? AB ? d ? e ? a . (2) DB ? CB ? CD ? ?BC ? CD ? ?b ? c . (3) EC ? EA ? AB ? BC ? a ? b ? e . (4) EC ? ?CE ? ?(CD ? DE) ? ?c ? d . 【总结升华】在本题中,我们看到 DB , EC 这两个向量的表示并不唯一.在解决这类问题时,要注 意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两个向 量起点相同时,可以考虑用减法. 举一反三: 【变式 1】 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,设 OA ? a , OB ? b ,则 DE 等于( (A) a ? b

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(B) a ? b

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【答案】B 【变式 2】如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点,设

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? AB ? a , DA ? b , OC ? c .求证: b ? c ? a ? OA .
【解析】∵ b ? c ? DA ? OC ? OC ? CB ? OB, OA ? a ? OA ? AB ? OB ,∴ b ? c ? OA ? a ,即

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? ? ? ??? ? b ? c ? a ? OA.
类型三:与向量的模有关的问题 例 3. 已知非零向量 a , b 满足 | a |? 7 ?1 , | b |? 7 ?1 ,且| a - b |=4,求| a + b |的值. 【解析】 如图, OA ? a , OB ? b ,则 BA ?| a ? b | . 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 | OC |?| a ? b | . 由于 ( 7 ? 1)2 ? ( 7 ?1)2 ? 42 . 故 | OA |2 ? | OB |2 ?| BA |2 ,

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所以△OAB 是∠AOB 为 90°的直角三角形,从而 OA⊥OB,所以 ? OACB 是矩形. 根据矩形的对角线相等有 | OC |?| BA |? 4 ,即| a + b |=4. 【总结升华】 (1)向量 a + b , a - b 的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、 菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用. (2)关于向量的加减法运算除掌握法则外,还应注意一些特殊情况,如零向量、共线向量等.要注意 到向量的加法和求模运算的次序不能交换,即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和.因为向量 的加法实施的对象是向量,而模是数量,模的加法是数量的加法. 举一反三: 【变式 1】若 | AB |? 9 , | AC |? 4 ,则 | BC | 的取值范围是多少? 【答案】 5 ?| BC |? 13 【解析】 BC ? AC ? AB . 当 AB , AC 同向时, | BC |?| 9 ? 4 |? 5 ,当 AB , AC 反向时, | BC |?| 9 ? 4 |? 13 ; 当 AB , AC 不共线时, 5 ?| BC |? 13 . 类型四:向量的数乘运算 例 4. 计算下列各式: (1)4( a + b )―3( a ― b ); (2)3( a ―2 b + c )―(2 a + b ―3 c );

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? ? 2 ? ? 1 ? 2 ? (a ? b) ? (2a ? 4b) ? (2a ? 13b) . 5 3 15 ? ? ? ? ? ? 【解析】 (1)原式=4 a ―3 a +4 b +3 b = a +7 b .
(3) (2)原式=3 a ―6 b +3 c ―2 a ― b +3 c = a ―7 b +6 c . (3)原式 ?

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2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 ? 26 ? a? b? a? b? a? b 5 5 3 3 15 15

? ? ? 2 2 4 ? ? ? 2 4 26 ? ? ? ? ? ? ? a ? ? ? ? ? ?b ? 0? a ? 0?b ? 0 ? 0 ? 0 . ? 5 3 15 ? ? 5 3 15 ?
【总结升华】 数乘向量与数乘数不同,前者结果是一个向量,后者结果是一个数, ? >0 时, ? a 与

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? ? ? ? ? ? a 同向; ? <0 时, ? a 与 a 反向; ? =0 时, ? a =0;故 ? a 与 a 一定共线.应用实数与向量的积的运算
律时,应联想数与数乘积运算的有关知识,加深对数乘向量运算律的理解. 举一反三: 【变式 1】计算:

(1)6(3 a ―2 b )+9(―2 a + b ); (2)

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1 ? ? ? 2 ? ? ? 7 ? 1 ? 3 ? ? 7 ? ?? (3a ? 2b) ? a ? b ? ? ? a ? ? b ? a ?? ; 2? 3 7? 6 ?? ? ? 6 ?2
? ? ? ? ? ? ? ? ?

(3)6( a ― b + c )―4( a ―2 b + c )―2(―2 a + c ). 【解析】 (1)原式=18 a ―12 b ―18 a +9 b =―3 b . (2)

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1 ? ? ? 2 ? ? ? 7 ? 1 ? 3 ? ? 7 ? ?? (3a ? 2b) ? a ? b ? ? ? a ? ? b ? a ?? 2? 3 7? 6 ?? ? ? 6 ?2

1? ? 2 ? ? ?? 7? 1 ? 1 ? 3 ?? ? ? 3a ? a ? 2b ? b ? ? ? a ? a ? b ? 2? 3 2 7 ? ? 6?2 1? 7 ? ?? 7?? 3 ?? ? ? a ? b? ? ?a ? b? 2?3 7 ? ? 6?
7? 1? 7? 1? a? b? a? b ? 0. 6 2 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)原式=6 a ―6 b +6 c ―4 a +8 b ―4 c +4 a ―2 c ?
=(6 a ―4 a +4 a )+(8 b ―6 b )+(6 c ―4 c ―2 c ) =6 a +2 b .

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ABCD 的两条对角线相交于点 M ,且 例 5. 如图所示, ??? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ???? ???? ? ???? ? AB ? a, AD ? b, 用 a, b 表示 MA, MB, MC, MD.
【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算,用向量法讨论几何 问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是 a, b ,由它可以“生”成 AC, DB,?? .

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ABCD 中 ???? ??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ? AC ? AB ? AD ? a ? b, DB ? AB ? AD ? a ? b, ???? ???? 1 ??? ? 1? 1? 1 ???? 1? 1? ? MA ? ? AC ? ? a ? b , MB ? DB ? a ? b 2 2 2 2 2 2 ???? ? 1 ???? 1 ? 1 ? ???? ? ???? ??? ? 1 1? 1? MC ? AC ? a ? b, MD ? ? MB ? ? DB ? ? a ? b. 2 2 2 2 2 2
【解析】在 【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量加、减法、数乘向量 外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从 同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解,既充分利用相等 向量、相反向量和线段的比例关系,运用加法三角形、平行四边形法则,运用减法三角形法则,充分利用 三角形的中位线,相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系 的向量来求解.

举一反三: 【变式 1】如图,四边形 OADB 是以向量 OA ? a , OB ? b 为邻边的平行四 边形,又 BM ?

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? ? ???? ? ???? ???? ? 1 1 BC , CN ? CN ,试用向量 a 、 b 表示 OM , ON , MN . 3 3 ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ? ? 【解析】 ∵ BM ? BC ? BA ? (OA ? OB ) ? (a ? b) , 3 6 6 6 ???? ? ??? ? ???? ? ? 1? 1? 1? 5? ∴ OM ? OB ? BM ? b ? a ? b ? a ? b , 6 6 6 6 ???? 1 ??? ? 1 ???? ∵ CN ? CD ? OD , 3 6 ???? ???? ???? 1 ???? 1 ???? 2 ???? 2 ??? ? ??? ? 2 ? ? ∴ ON ? OC ? CN ? OD ? OD ? OD ? (OA ? OB ) ? (a ? b) , 2 6 3 3 3 ???? ? ???? ???? ? 2 ? ? 1? 5? 1? 1? MN ? ON ? OM ? (a ? b) ? a ? b ? a ? b . 3 6 6 2 6

类型五:共线向量与三点共线问题 例 6.设两非零向量 e1 和 e2 不共线,

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(1)如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 ,CD ? 3(e1 ? e2 ), 求证 A, B, D 三点共线. (2)试确定实数 k ,使 ke1 ? e2 和 e1 ? ke2 共线. 线,则一定存在 ? ,使 ke1 ? e2 ? ?(e1 ? ke2 ) .

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【思路点拨】 要证明 A, B, D 三点共线, 须证存在 ? 使 BD ? ? (e1 ? e2 ) 即可.而若 ke1 ? e2 和 e1 ? ke2 共

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【解析】(1)证明 ? AB ? e1 ? e2 , BD ? BC ? CD ? 2e1 ? 8e2 ? 3(e1 ? e2 ) ? 5(e1 ? e2 ) ? 5AB,

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? ? ?? ? ? ? ? B, ?A B , B 共线,又有公共点 D ∴ A, B, D 三点共线. ?? ?? ? ?? ?? ? (2)解 ∵ ke1 ? e2 和 e1 ? ke2 共线, ?? ?? ? ?? ?? ? ∴存在 ? ,使 ke1 ? e2 ? ?(e1 ? ke2 ) , ?? ?? ? ?? ?? ? 则 (k ? ?)e1 ? (?k ? 1)e2 , 由于 e1 和 e2 不共线, ?k ? ? ? 0 只能有 ? 则 k ? ?1 . ??k ? 1 ? 0
举一反三:

【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件,即 a, b 共线 ? 存在 ? 使 b ? ? a (正用与逆用) 【变式 1】设 e1 和 e2 是两个不共线的非零向量,若向量 AB ? 3e1 ? 2e2,   BC ? ?2e1 ? 4e2,

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??? ? ?? ?? ? CD ? ?2e1 ? 4e2 ,试证明:A、C、D 三点共线. ??? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 证明: AC ? AB ? BC ? 3e1 ? 2e2 ? (?2e1 ? 4e2 ) ? e1 ? 2e2 , ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ∴ CA ? ?e1 ? 2e2 , 又 CD ? ?2e1 ? 4e2 , ??? ? ??? ? ∴ CD ? 2CA, ??? ? ??? ? ∴ CD 与 CA 共线,

∴A、C、D 三点共线. 【变式 2】设 e1,e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? ke2 ,CB ? e1 ? 3e2 ,CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、 D 三点共线,求 k 的值.

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】BD ? CD ? CB ? e1 ? 4e2 , 若 A, B, D 三点共线, 则 AB 与 BD 共线, 则 2∶1=k∶(― 4),k=―8.
类型六:向量在证明平面几何问题中的应用 例 7. 如图,已知任意平面四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点. 求证: EF ?

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? ???? 1 ??? ( AB ? DC ) . 2 ??? ?

【证明】取以点 A 为起点的向量,应用三角形法则求,如下图.

1 ???? AD . 2 ??? ? 1 ??? ? ???? ∵F 是 BC 的中点,∴ AF ? ( AB ? AC ) , 2 ??? ? ???? ???? 又∵ AC ? AD ? DC ,
∵E 是 AD 的中点,∴ AE ?

? ???? ???? ? ???? 1 ???? 1 ??? 1 ??? ( AB ? AD ? DC ) ? ( AB ? DC ) ? AD . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? 1 ???? 1 ???? 1 ??? ? ???? ∴ EF ? AF ? AE ? ( AB ? DC ) ? AD ? AD ? ( AB ? DC ) . 2 2 2 2
∴ AF ? 【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键, 利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到. 举一反三: 【变式 1】 已知:如图所示,在四边形 ABCD 中,对角 AC 与 BD 交于 O,且 AO=OC,DO=OB. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形(要求用向量的方法证明) . 【证明】根据向量加法的三角形法则, 有 AB ? AO ? OB , DC ? DO ? OC , 又∵ AO ? OC , DO ? OB ,∴ AO ? OB ? DO ? OC . ∴ AB ? DC .∴AB∥DC,AB=DC. 即 AB 与 DC 平行且相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 【总结升华】 (1)用向量方法证明几何问题,首先要把几何问题中的边转化成相应的向量,通过向量 的运算及其几何意义得到向量间的关系,然后再还原成几何问题. (2)注意以下两个问题: ①法则的灵活应用; ②要注意有向线段表示的向量相等,说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等.

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