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求函数解析式的常用方法(修订)



求函数解析式的常用方法
一、 “拼凑变量”法 将原复合函数解析式右边拼凑了变量,看成整体替换成变量 x , 从而得到 f (x) 解析式 例:已知 f ( x ? ) ? x 2 ?
2

1 x

1 , 求 f (x) 的解析式. x2

1 1 1 解:? f ( x ? ) ? ? x ? ?

? 2 ,将 x ? 看成变量 x ? f ( x) ? x ? ? 2 ? ? x x ? x?

二、换元法 解题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而 使问题得到简化,这叫换元法 例:若函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1,求 f (x) 的解析式 解:令 x ?1 ? t 则 x ? t ? 1 , ? f (t ) ? 2(t ? 1) 2 ? 1 ? 2t 2 ? 4t ? 3 ,? f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 3 三、待定系数法 我们在解决某些问题时, 常用一些字母来表示需要确定的系数, 然后根据一些条件或要求来确定这些系数,从而解决问题,这样的 思维方法叫待定系数法。 例:求实系数的一次函数 f (x) ,使 f ? f ( x)? ? 4x ? 3 解:设一次函数 f ( x) ? kx ? b (k ? 0)
? f ? f ( x)? ? k (kx ? b) ? b ? k 2 x ? kb ? b , 又 f ? f ( x)? ? 4 x ? 3

比较对应系数,得 ?

故 f (x) 的解析式为 f ?x? ? 2x ? 1 或 f ?x? ? 2x ? 3

? k2 ? 4 ?k ? 2 ? k ? 2 , ?? 或? ?b(k ? 1) ? 3 ? b ? 1 ?b ? ?3

四、解方程组法(消参法) 若已知式是由两个互为倒数的变量的函数关系式组成, 常常采 , 用“消参法”解决,即依据倒数的关系,重新产生一个关于两个互 为倒数的变量的等式,再联立消去而得。
1 例:已知 3 f ?x ? ? f ? ? ? x 2 ,求 f (x) 的解析式 ? ? ? x?
1

1 解:将 3 f ?x ? ? f ? ? ? x 2 ? ? ? x?
2

① 中的所有 x 换为 ,得

1 x

?1? ?1? 3 f ? ? ? f ?x ? ? ? ? ②, ? x? ? x? 3 2 1 1 由 ①② 消去 f ? ? 得 f ?x ? ? x ? 2 ? ? 2 2x ? x?

五、赋值法 在求函数解析式时,有时候要“以退求进”,即把自变量赋予 特殊值展现内在联系,或者减少变量个数,以利求解。 例:已知 f ?0? ? 1, f ?a ? b? ? f ?a? ? b?2a ? b ? 1? ,求 f (x) 的解析式 分析:等式 f ?a ? b? ? f ?a? ? b?2a ? b ? 1? 中,含有两个未知量,令 其中一个未知量为某些特殊值,就可以使等式减少一个变量,从而 达到求解目的。 解: a ? 0 , f ?a ? b? ? f ?a? ? b?2a ? b ? 1? 为 f ?? b? ? f ?0? ? b?? b ? 1? 令 则 即 f ?? b? ? b 2 ? b ? 1 ,再令 ? b ? x ,得 f ?x? ? x 2 ? x ? 1

2



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