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广东省清远盛兴中英文2014-2015学年度第一学期高三年级第一次月考数学(理)试题



广东省清远盛兴中英文 2014-2015 学年度第一学期高 三年级第一次月考数学(理)试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分钟
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.复数 z ?

A. ?

1 2

i (其中

i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2



1 D. ? i 2


2.已知集合 A ? { y y ? x ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 2} ,则下列结论正确的是(

C. A ? B ? B D. A ? B ? B 900、 1200 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、
级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. ? 3 ? A

B. 3 ? B

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30
)
4 3 2 正视图 3 俯视图 侧视图 3

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? (

B. 36 C. 54 D. 72 1 5.在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是( ) x A. 10 B. ? 10 C. ? 5 D. 20

A. 18

6.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(



A. 30

B. 12

C. 24

D. 4

7.已知 x, y 都是区间 [0,

?
2

] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是(



A.

4

?

2

B.

2

?

C.

1 2

D.

2

?2

8.设向量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一种向量积:

1 ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已知向量 m ? ( ,4) , n ? ( ,0) ,点 P 在 y ? cos x 的图象上运动, 2 6 ? ? 点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动, 且满足 OQ ? m ? OP ? n(其中 O 为坐标原点) , 则 y ? f ( x) 在区间 [ , ] 上 6 3
的最大值是( A.4 ) B.2 C. 2 2 D. 2 3

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

9. 函数 y ? log 3 (3 x ? 2) 的定义域是
2

. .

10.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.

?x ? 0 ? 12.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ?y ? 1 ?

.

13. 函数 f ( x) 的定义域为 R ,f (?1) ? 2 , 对任意 x ? R ,f ' ( x) ? 2 , 则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中, A,B 分别是直线 ? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0 和 圆 ? ? 2 sin ? 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, ?OAB 是等腰三角形, P 是底边 AB 延长线上一点, 且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,则腰长 OA = . O .

.

A B P 三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分)

(2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2 x
已知 sin

2 cos(

?

的值.

4

? x) ? sin x

17. (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 ? 50 为优秀,各类人群 可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽 取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? , ?15, 25? , ? 25,35? , ? 35, 45? ,由此得到样本的 空气质量指数频率分布直方图,如图. (1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3,

, n ? ,则样本数据的平均值为

X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

? xn pn .)

(3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数据中随机抽取 3 天的 数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018 O 5 15 25 35 45 空气质量指数

18.(本小题满分 14 分)

如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 A1 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,且 AA1 ? AB ? 2 (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

?
6

,求锐二面角 A ? A1C ? B 的大小。 A1 B1 C1

A 19. (本小题满分 14 分)

C B

1 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和 S n ? (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都 ? an an ?1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 1 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P (2,1) 的距离为 10 . a b 2
(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的 右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

y

l

A

P x A2

F1 O B 21. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ? 的最大值为 M . (1) 如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

F2

1 3 ,? 上 x ? bx 2 ? cx ? bc ,其导函数为 f ?( x) .记函数 g ( x) ? f ?( x) 在区间 ? ?11 3 4 ,试确定 b、c 的值; 3

(2) 若 b ? 1 ,证明对任意的 c ,都有 M ? 2 ; (3) 若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.

清远盛兴中英文 2014-2015 学年度第一学期 高三年级第一次月考数学(理)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 A

1. 【解析】化简得 z ?

1 1 1 ? i ,则虚部为 ,故选 C 2 2 2

2. 【解析】已知集合 A ? (?3,??), B ? [2,??), ? A ? B ? B ,故选 C 3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人 数为 50 ?

4 ? 20 人,故选 B 3?3? 4 8(a4 ? a5 ) ? 72 ,故选 D 2

4. 【解析】由题意 a4 ? a5 ? 18 ,等差数列中 a4 ? a5 ? a1 ? a8 ,所以 S8 ?

r 5. 【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为 C5 (?1) r x10 ? 3r ,则 10 ? 3r ? 4 得 r ? 2 ,所以含 x 4 项的系数为

C52 (?1) 2 ? 10 ,故选 A
3 6. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的, 2 3 4 第 6 题图

如图 V ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 ,故选 C 2 3 2

7. 【解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y ? sin x 的图像在 [0,

?
2

] 内与 x 轴围成的图形的面积,即

S ? ? 2 sin xdx ? 1 ,则事件 A 的概率为 P ?
0

?

s 1 4 ? ? 2 ,故选 A s? ? ? ? ? 2 2

8.选 A 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ( ,??) 13. (?1, ??)

2 3

10. x ?
2

y2 ?1 3

11.12 15. 5

12. 3

14. 2 2 ? 1

9. 【解析】由 3 x ? 2 ? 0 得 x ?

2 2 ,则定义域为: ( ,??) 3 3 c ? 2 ,得 c ? 2 ,又 c 2 ? a 2 ? b 2 得 b3 ? 3 ,则双曲 a

10. 【解析】抛物线焦点 (1, 0) ,则双曲线中: a ? 1 ,且 e ? 线的标准方程为: x ?
2

y2 ?1 3

y

11. 【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4, 当末位是 2 时,前三位将 1 , 3 , 4 三个数字任意排列,则
3 3 有 A3 ? 6 种排法,末位为 4 时一样有 A3 ? 6 种,两类共有: 3 2 A3 ? 12 种,故共有没有重复数字的偶数 12 个。

C 1 O -1 A 1

B

x y=-x

12. 【解析】由约束条件画出可行域如图所示,

则目标函数 z ? x ? y 在点 B (2,1) 取得最大值, 代入得 x ? y ? 3 ,故 x ? y 的最大值为 3 。 13. 【解析】设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 4 ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 ,得函数 g ( x) 在 R 上为增函数, 且 g (?1) ? f (?1) ? 2 ? (?1) ? 4 ? 0 ,所以当 f ( x) ? 2 x ? 4 时,有 g ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 , 故不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (?1, ??) 14. 【解析】 由题意,直线 l : x ? y ? 5 ? 0 ,圆的标准方程 x ? ( y ? 1) ? 1 ,则圆心 (0,1) 到直线 l 的距离为 2 2 ,
2 2

且圆半径 r ? 1 ,故 AB min ? d ? r ? 2 2 ? 1 15. 【解析】以 O 为圆心,以 OA 为半径作圆,则圆 O 经过点 B ,即 OA ? OB ? r ,设 PO 与圆 O 交于

点 C 且 延 长 PO 交 圆 O 与 点 D , 由 切 割 线 定 理 知

PA PB ? PD PC
O C A B P





(3 ? r )(3? r )? 4,
得 r ? 5 ,所以 OA ? r ? 5 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ sin

D

x x x ? 2 cos ? 0 ,则 cos ? 0 2 2 2 x ∴ tan ? 2 2 x 2 tan 2 ∴ tan x ? x 1 ? tan 2 2 2? 2 4 ? ?? 2 1? 2 3

-------------------------1 分 ---------------------------2 分

----------------------------4 分

----------------------------5 分 ---------------------------7 分

(2) 原式 ?

cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 2? cos x ? sin x ? sin x 2 ? 2 ?
?
?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

----------------------------9 分

cos x ? sin x sin x 1 ? tan x ? tan x 1 ? 4
17. (本小题满分 12 分)

------------------------------10 分 ------------------------------11 分 ------------------------------12 分

(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018 ? ? 10 ? 1 , 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

?????1 分 ?????2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

?????3 分

由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . ????4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级” ,

且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 ?

? 1? B ? 3, ? . ? 5?

?????5 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3 3 2

?????6 分

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ?????10 分 P ?? ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125
∴ ? 的分布列为:

2

3

????11 分

64 48 12 1 3 ∴ E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 1 3 (或者 E? ? 3 ? ? ) 5 5
18. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:如右图,取 A1 B 的中点 D ,连接 AD , 因 AA1 ? AB ,则 AD ? A1 B 由平面 A1 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,且平面 A1 BC 得 AD ? 平面A1 BC ,又 BC ? 平面 A1 BC , 所以 AD ? BC . ???????4 分 侧面 A1 ABB1 ? A1 B , A1

?????12 分

?????1 分 ?????2 分 ??3 分 E

C1 B1

D 因为三棱柱 ABC —A1 B1C1 是直三棱柱, 则 AA1 ? 底面ABC , 所以 AA1 ? BC . 又 AA1 A B C

AD =A ,从而 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,
??????7 分

又 AB ? 侧面 A1 ABB1 ,故 AB ? BC .

(2)解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面A1 BC ,则 CD 是 AC 在 平面A1 BC 内的射影 ∴ ?ACD 即 为直线 AC 与 平面A1 BC 所成的角,则 ?ACD =

?
6

??8 分

在等腰直角 ?A1 AB 中, AA1 ? AB ? 2 ,且点 D 是 A1 B 中点 ∴ AD ?

1 ? ? ∴ AC ? 2 2 A1 B ? 2 ,且 ?ADC = , ?ACD = 2 2 6

????9 分

过点 A 作 AE ? A1C 于点 E ,连 DE 由(1)知 AD ? 平面A1 BC ,则 AD ? A1C ,且 AE ∴ ?AED 即为二面角 A ? A1C ? B 的一个平面角 且直角 ?A1 AC 中: AE ?

AD ? A
????10 分 又 AD = 2 , ?ADE =

A1 A AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? A1C 3 2 3

?
2



sin ?AED =

AD 2 3 ,且二面角 A ? A1C ? B 为锐二面角 ? ? AE 2 6 2 3

∴ ?AED =

?
3

,即二面角 A ? A1C ? B 的大小为

?
3

????14 分

解法二(向量法) :由(1)知 AB ? BC 且 BB1 ? 底面ABC ,所以以点 B 为原点,以 BC、BA、BB1 所在直线 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 B ? xyz , 如图所示, 且设 BC ? a , 则 A(0, 2,0) ,

B(0, 0, 0) ,

C (a, 0, 0) ,

A1 (0, 2, 2)

BC ? ( a, 0, 0) ,

BA1 ? (0, 2, 2) ,

AC ? ( a, ?2, 0) ,

AA1 ? (0, 0, 2) ??9 分

设平面 A1 BC 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z ) 由 BC ? n1 ,

BA1 ? n1 得:
????10 分

? xa ? 0 令 y ? 1 ,得 x ? 0, z ? ?1 ,则 n1 ? (0,1, ?1) ? ?2 y ? 2 z ? 0
设直线 AC 与 平面A1 BC 所成的角为 ? ,则 ? ? 得 sin

?
6
???12 分

?
6

?

AC n1 AC n1

?

?2 4 ? a2 2

?

1 ,解得 a ? 2 ,即 AC ? (2, ?2, 0) 2

又设平面 A1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得, n2 ? (1,1, 0) 设锐二面角 A ? A1C ? B 的大小为 ? ,

则 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

n1 n2 n1 n2

?

1 ? ? ,且 ? ? (0, ) ,得 ? ? 2 2 3

∴ 锐二面角 A ? A1C ? B 的大小为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1) (解法一)∵ S n ? ∴ S n ?1 ?

? 。 3

??????14 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

1 (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 1 ∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 ∴ (n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1 两式相减得 (n ? 1)an ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)an ?1 ? (n ? 1)an 即 (n ? 1)an ? 2 ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴ an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 0 ,即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ∴数列 ?an ? 是等差数列 且 a1 ? 3 ,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 (解法二) ∴ S n ?1 ? ∵ Sn ?

???????3 分

???5 分

???7 分

????8 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

1 an ?1 ? S n ?1 ? S n (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 ∴ 2 1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1

???3 分

等式两边同时除以 n(n ? 1) 得

an ?1 an 1 , ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

???????5 分



an ?1 an 1 1 1 ? ?? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n

???????6 分

累加得

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 n
得 an ? 2n ? 1 (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ∴ ???????8 分

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

???????10 分

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 ????12 分 ? ( ? )? 2 3 2n ? 3 6 1 6

则要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,只要 (Tn ) max ? M ,所以只要 M ? ∴存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,且 M 的最小值为 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题: e ?

1 ????14 分 6

c 1 ? ① a 2
(2 + c) 2 + 1 2 = 10 ② ???2 分

左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:d =

由① ② 可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. x y ∴ 所求椭圆 C 的方程为 4 + 3 = 1 .
2 2

?????3 分 ??????4 分 y l A

P x

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. 4m 2-12 8km ∴ x1 + x2 = -4k 2 + 3 ,x1x2 = 4k 2 + 3 , 且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m. → → ∵ AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ? A2B = 0. ??????6 分 B F1 O F2 A2

????7 分

所以 (x1-2,y1)· (x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 4m 2-12 8km 2 = (k 2 + 1)· 4k 2 + 3 -(km-2)· 4k 2 + 3 + m + 4 = 0 . ????10 分

2 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴ m = -7 k 或 m = -2k 都满足 △> 0. ???12 分

若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去;??13 分 2 2 2 2 若 m = -7 k 时,直线 l 为 y = kx-7 k = k (x-7 ), 恒过定点 (7 ,0) . 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) ∵ f ?( x) ? ? x ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?
2

???14 分

4 ,可得 3
???2 分

? f ?(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ?b ? 1 ?b ? ?1 ? 或? 1 4 ,解得, ? ? f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ?c ? ?1 ?c ? 3 ? 3 3 ?
2 2

若 b ? 1 , c ? ?1 ,则 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 ,此时函数 f ( x) 没有极值;?3 分 若 b ? ?1 , c ? 3 ,则 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ? 1) ,此时当 x 变化时, f ( x) , f ?( x) 的变化情况如下
2

表: ∴ 当

x
f ?( x)


(??, ?3)

?3 0
极小值 ?12

(?3,1)

1

(1, ??)

x ?1 时 ,
f ( x) 有 极
值?

?


?


0
极大值 ?

?
4 3

f ( x)
所求。 ????4 分



4 ,故 3 b ? ?1 , c?3 即为

(2)证法一: g ( x) ? f ?( x) ? ? x 2 ? 2bx ? c ? ?( x ? b) 2 ? b 2 ? c 当 b ? 1 时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外 ∴

f ?( x) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个
????8 分

∴ 2 M ? g (1) ? g (?1) ? ?1 ? 2b ? c ? ?1 ? 2b ? c ? 4b ? 4 ,即 M ? 2

证法二(反证法) :因为 b ? 1 ,所以函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外, ∴

f ?( x) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个,
假设 M ? 2 ,则 ?

? g (?1) ? ?1 ? 2b ? c ? 2 ? ,将上述两式相加得: g (1) ? ? 1 ? 2 b ? c ? 2 ? ?

??????6 分

4 ? ?1 ? 2b ? c ? ?1 ? 2b ? c ? 4b ? 4 ,得 4 ? 4 ,产生矛盾,
∴ M ?2 ????????8 分

(3) g ( x) ? f ?( x) ? ?( x ? b) 2 ? b 2 ? c (i)当 b ? 1 时,由(2)可知 M ? 2 ; ????9 分

(ii)当 b ? 1 时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之内, 此时 M ? max ? g (?1), g (1), g (b)? ,由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b ,有 f ?(b) ? f ?( ?1) ? (b ? 1) 2 ? 0 ① 若 ?1 ? b ? 0 ,则 f ? ?1? ? f ?( ?1) ? f ?(b) ,则 g (?1) ? max ? g (1), g (b)? , 于是 M ? max

? f ?(1) ,

f ?(b) ? ?

1 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) 2 2
??????11 分

?

1 1 (b ? 1) 2 ? 2 2

② 若 0 ? b ? 1 ,则 f ? ? ?1? ? f ?(1) ? f ?(b) ,则 g (1) ? max ? g ( ?1), g (b)? 于是

M ? max ? f ?(?1) , f ?(b) ? ?
???13 分

1 1 1 1 ( f ?( ?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?( ?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2 1 2

综上可知,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0 , c ? 成立的 k 的最大值为

1 1 1 时, g ( x) ? ? x 2 ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? ,故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒 2 2 2
??????????14 分

1 。 2



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