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反比例函数2(1)



反比例函数2
y

6 y? x

o

x

复习:反比例函数的一般形式什么?

函数 函数 提出问题:

k y ? (k为常数,且k≠0)叫做反比例 x

一次函数的图像是一条直线;二
次函数的图像是一条抛物线,那

么 反比例函数的图像是什么呢?

6 例2 画出 y ? 的函数图像 x 6 解:函数 y ? 的自变量x的取值范围是x≠0 x

列表:
x ...

-6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

...

y

...

-1

-1.5

-2

-3

-6

y

6

3

2

1.5

1.2 1

...

描点:用平滑的曲线 顺次在一、三象限的 各点依次连接起来就 得到反比例函数的图 像 o

·
·p ·· · ·
x

p′ ·

6 观察 y ? x 的函数图像;分析问题:

1 函数图像分布在哪个象限内?2 随着自变量x的增大, y的值会达到y轴吗?3函数图像关于原点成中心对称吗?

1:因为自变量x≠0,所以y轴把图像分隔成两个分 支,它们分别在第一,第三象限内 3:如果关 y 于p的点在 2在每个象限内函 图像上,与 · 数值随着x的增大 p点关于原 而减小;图像的 p · 点成中心对 每个分支无限接 · ·· · 称的的p′ 近y轴或者x轴, 也在图像上, o x 但是永远不能与 因此图像关 它们相交。 p′ · 于原点成中 心对称。

6 练习 画出 y ? - x 的函数图像 6 解:函数 y ? — 的自变量x的取值范围是x≠0 x

列表:
x ...

-6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

...

y

...

1

1.5

2

3

6

-6

y

-3

-2

-1.5

-1.2 -1

...

观察图像回答问题: 1 函数图像分布在 哪个象限内?2 随 着自变量x的增大, y的值会达到y轴吗? 3函数图像关于原点 成中心对称吗?

o

x

小结
y=
图 象
k x

1.反比例函数的图像是双曲线;

2.图像性质见下表:
K>0 K<0

性 质

当k>0时,函数图像 的两个分支分别在第 一、三像限,在每个 像限内,y随x的增大 而减小.

当k<0时,函数图像 的两个分支分别在第 二、四像限,在每个 像限内,y随x的增大 而增大.

自学检测:
5 二,四 象限,在每 1.函数 y = x 的图象在第_____ y 个象限内,y 随 x 的增大而_____ 减小 . 1 1 2. 双曲线 y = 3x 经过点(-3,___ 9) m-2 3.函数 y = x 的图象在二、四象限,则m的 取值范围是 ____ m<2. 1 减小 4.对于函数 y = 2x ,当 x<0时,y 随x的_____ 三 而增大,这部分图象在第 ________ 象限.
< > 当x<0时,y______0; 当x>0时,y_____0.

x

自学检测:
函数 填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别 正比例函数
y=kx ( k≠0 )

反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )

解析 式
图象形 状

直线
位 置

双曲线
一三 象限

一三 象限

K>0

增 减 性
位 置

y随x的增大而 在每个象限内 y 增大 随x的增大而减小 二四 象限 二四 象限 在每个象限内 y 随x的增大而增大

K<0

增 减 性

y随x的增大而 减小

例题解析
2k ? 1 例1:已知反比例函数y= x

(1)如果这个函数图象经过点(-3,5), 求K值; (2)如果这个函数图象在它所在的象限内, y的值随x值增大而减小,求k的范围

例题解析
例. 如图,已知一次函数y ? kx + b的图象与反比例函数 8 y ? ? 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点B x 的纵坐标都是 ? 2. y
求(1)一次函数的解析式 (2)根据图像写出使一 次函数的 值小于反比例函数的值的x的取值 范围。 (3)求三角形AOB的面积 A C O B x

基础练习:
2 1.函数 y ? ? 是 反比例 函数,其图象为 双曲线 , x

其中k= -2 ,自变量x的取值范围为 x≠ 0 .
当x>0时,y_____0; 当x<0时,y____0. < >
6 2.函数 y ? 的图象位于第 一、三象限, x

在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x>0时,y > 0,这部分图象位于第 一象限.

基础练习:
3.用“>”或“<”填空: (1)已知 x1,y1 和 x2,y2 是反比例函数 y ?

?

x 量与函数的对应值.若 x ? x ? 0 ,则 0 1 2

的两对自变

> y >y.
1 2

3 (2)已知 x1,y1 和 x2,y2 是反比例函数 y ? ? 的两对自变 x 量与函数的对应值.若 x1 ? x2 ? 0,则 0 > y1 > y2.

基础练习:
4.已知( x1,y1 ),( x2,y2 ),( x3,y3 )是反比

例函数 y ? ?2 的图象上的三个点且 y 1 x 则 x1,x2,x3 的大小关系是( B )
( A) x ( C)

? y2 ? 0 ? y3,

x1 ? x2 ? x3;

1

? x2 ?

x ;(B) 3
3

x ? x1>x2;
? x3>x2 .

x1 ( D)

基础练习:
k 5. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= x 在同一坐标系中 的图象大致是 ( D )
y
y

(A)

0

x

(B)

0

x

y

y

(C)

0

x

(D)

0

x

例 已知反比例函数的图象经过点 A(2,6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x 的增大如何变化? (2)点B(3,4) 、C(-2.5,-4.8)和D(2,5)是否 在这个函数的图象上?

例:图是反比例函数y= n-5的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:

(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围 是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(c,d).如果a﹥C,那么b和d有怎么的大小关系?
y d b B A c a

0

x



2 如图,点P是反比例函数 y ? 图象上的一点 x 1 ,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
y

P (x,y)
o

D

x

综合训练
m 如图正比例函数y=k1x与反比例函数 y ? 交于点A, x
①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图像的另外一个交点坐标。 ③求△ODC的面积。
y A B O

从A向x轴、y轴分别作垂线,所构成的正方形的面积为4。

C
D

x



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