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成才之路·人教A版数学选修课件2-3 3.2



成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第三章
统计案例

第三章

统计案例

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第三章
3.2 独立性检验的 基本思想及其初步应用

第三章

统计案例

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第三章

3.2

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自主预习学案

第三章

3.2

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学习目标解读 通过对案例的探究,了解独立性检验 ( 只要求2×2列联表) 的基本思想、方法及初步应用.

第三章

3.2

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重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

难点:独立性检验基本思想的理解及应用.

第三章

3.2

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独立性检验的基本思想 思维导航

日常生活及生产、科研中,经常需要考虑某个量的变化是
否由某种因素引起,与这种因素的相关程度有多大?怎样判断 呢?

例如:某校对高二期末考试中,学生的性格与考试时心情
紧张的情况作调查的结果是:性格内向的 426人中有332人考前 紧张,性格外向的594人中有213人考前紧张.试问考前紧张与 性格类型有关系吗?你想用什么统计量来支持你的观点?
第三章 3.2

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新知导学
1.分类变量 不同类别 ,像这样的 变量的不同“值”表示个体所属的__________ 变量称为分类变量. 无 其它含义,有时也 分类变量除了起分类作用外, _______

把分类变量的不同取值用数字表示,但这些数字只起区分作
用,无数值意义.

第三章

3.2

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2.2×2列联表 ①定义:两个分类变量的__________ 频数表 称为列联表. ②2×2列联表

一般地,假设两个分类变量 X 和 Y ,它们的取值分别为 {x1,x2} {y1,y2} ,其样本频数列联表(也称为2×2列 __________ 和__________
联表)如下表.

第三章

3.2

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y1 x1 x2 总计 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

将两个分类变量的频数分类汇总是独立性检验的前提,且 列联表中的 4 个数据都不小于 5,选取样本时一定要注意这一 点.

第三章

3.2

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3.等高条形图 (1)等高条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变

互相影响 , 常 用 等高 条 形 图展 示 列 联表 数 据 的 量 间 是 否 __________ 频率特征 . __________
a c (2)观察等高条形图发现 和 相差很大,就判断两个 a+b c+d

有关系 . 分类变量之间__________

第三章

3.2

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4.独立性检验

“两个分类变量有关系” (1) 定义:利用随机变量 K2 来判断 _____________________
的方法称为独立性检验.

n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d? ,其中n=a+b+c+d. (2)K2=______________________

第三章

3.2

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(3)独立性检验的具体做法:
①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关

临界值 k0. 系”犯错误概率的上界α,然后查表确定__________
观测值 k. ②利用公式计算随机变量K2的__________

k≥k0 ,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误 ③如果______
犯错误的概率 不超过α的前提 的概率不超过α,否则就认为在______________ 没有发现 下不能推断“ X 与 Y 的关系”,或者在样本数据中 _________ 足够证据 支持结论“X与Y有关系”. ____________

第三章

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(4)独立性检验的基本思想
要判断两个分类变量是否相关及关系的强弱,需要确定一 个评判规则和标准.随机变量 K2 和其临界值 k. 就是评判的标 准. 要确定“两个分类变量有关系”这一结论的可信程度有多

大,首先假设两个分类变量没有关系,在该假设成立的条件下
小 ,如果由观测数据计算得到的 K2 随机变量 K2 的值应该很 _____ 大 ,则在一定程度上说明假设不合理,即认为 的观测值k很_____ “两个分类变量有关系”;如果观测值 k 很小,则说明在样本 数据中没有发现足够证据拒绝“两个分类变量没有关系”.
第三章 3.2

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5.独立性检验的几个常用临界值 在独立性检验中,设 K2 的观测值为 k ,当 k>________ 3.841 时, 6.635 时;有99%的把 有95%的把握说事件A与B有关;当k>________

握说事件A与B有关;当k≥10.828时,有99.9%的把握认为A与B
3.841 时,认为______________________ 事件A与B是无关的 有关;当k≤_______ .

第三章

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牛刀小试 1.下表是一个 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 a 2 b y2 21 25 46 ) B.52,50 D.54,52 总计 73 27 100

则表中 a、b 处的值分别为( A.94,96 C.52,54

[答案] C
第三章 3.2

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[解析]

? ?a+21=73, 由? ? ?a+2=b,

? ?a=52, 得? ? ?b=54.

第三章

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2 . (2013· 辽师大附中高二期中 ) 对于研究两个分类变量 A 与B关系的统计量K2,下列说法正确的是( ) A.K2越大,说明“A与B有关系”的可信度越小 B.K2越小,说明“A与B有关系”的可信度越小

C.K2越大,说明“A与B无关”的程度越大
D.K2接近于0,说明“A与B无关”的程度越小 [答案] B

第三章

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3 .根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有
( ) 嗜酒 不嗜酒 合计

患肝病 未患肝病 总计
A.90% C.97.5% [答案] D

7775 2099 9874

42 49 91
B.95% D.99.9%

7817 2148 9965

第三章

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[解析]

2 n ? ad - bc ? 由 K2 = 得其观测值 k= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

9965×?7775×49-2099×42?2 ≈56.6>10.828.故有 99.9%的把握 7817×2148×9874×91 认为患肝病与嗜酒有关系,答案选 D.

第三章

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4 .为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有
关,用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天内 的结果如下表所示:

死亡
第一种剂量 第二种剂量 14 6

存活
11 19

合计
25 25

合计

20

30

50

进行统计分析时的统计假设是________________. [答案] 假设电离辐射的剂量与人体受损程度无关.

第三章

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典例探究学案

第三章

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等高条形图的应用

从发生交通事故的司机中抽取 2000 名司机作随 机样本,根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负 有责任将数据整理如下:
有责任 有酒精 无酒精 总计 650 700 1350 无责任 150 500 650 总计 800 1200 2000
第三章 3.2

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试分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系.

[解析]

作等高条形图如图,图中阴影部分表示有酒精负

责任与无酒精负责任的比例,从图中可以看出,两者差距较 大,由此我们可以在某种程度上认为 “血液中含有酒精与对事 故负有责任”有关系.

第三章

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[方法规律总结]

1. 通过等高条形图可以粗略地直观判断

a 两个分类变量是否有关系,一般地,在等高条形图中, 与 a+b c 相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大. c+d 2.也可以用三维柱形图作判断.

第三章

3.2

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某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考试 中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外 向的学生594人中有213人在考前心情紧张,作出等高条形图, 利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系.

第三章

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[解析] 作列联表如下:
性格内向 性格外向 总计

考前心情紧张
考前心情不紧张 总计

332
94 426

213
381 594

545
475 1020

第三章

3.2

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相应的等高条形图如图所示:

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格

内向的比例,从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的
比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可以认为 考前紧张与性格类型有关.
第三章 3.2

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独立性检验的应用
在调查的 480 名男人中有 38 名患有色盲,520 名女人中有 6 名患有色盲,通过图形判断色盲与性别是否有 关.利用独立性检验判断,是否能够以 99.9%的把握认为“色 盲与性别有关系”.你所得到的结论在什么范围内有效?

[分析 ]

依据独立性检验的步骤,应先作出2×2列联表,

计算 K2 的观测值 k ,查表作出推断并确定这种推断犯错误的概

率.

第三章

3.2

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[ 解析 ] 名):

根据题目所给的数据作出如下的列联表 ( 单位:

色盲与性别列联表 色盲 男 女 总计 38 6 44 非色盲 442 514 956 总计 480 520 1000

第三章

3.2

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根据列联表中所给的数据知,有 a=38,b=442,c=6,d =514, a+b=480, c+d=520, a+c=44, b+d=956, n=1000, 得 K2 的观测值 n?ad-bc?2 k= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 1000×?38×514-442×6?2 = ≈27.1.由于 k≈27.1>10.828, 480×520×44×956 所以我们有 99.9%的把握认为色盲与性别有关系.这个结论只 对所调查的 480 名男人和 520 名女人有效.

第三章

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[方法规律总结] 1.独立性检验的步骤: 第一步,确定分类变量,获取样本频数,得到列联表. 第二步,根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变 量有关系”犯错误概率的上界 α,然后查表确定临界值 k0.
2 n ? ad - bc ? 第三步,利用公式 K2= 计算随机 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

变量 K2 的观测值 k0.

第三章

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第四步,作出判断. 如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概 率不超过α,否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能 推断“X与Y的关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支

持结论“X与Y有关系”.
2.由于独立性检验计算量大,要细致,避免计算失误.

第三章

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(2014· 合肥一六八中高二期中)某学校对手工社、摄影社两 个社团招新报名的情况进行调查,得到如下的列联表: 手工社 女生 男生 42 总计 30 60 (1)请完整上表中所空缺的五个数字; 摄影社 6 总计

第三章

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(2)已知报名摄影社的 6 名女生中甲、乙、丙三人来自于同 一个班级,其他再无任意两人同班情况.现从此 6 人中随机抽 取 2 名女生参加某项活动,则被选到两人同班的概率是多少? (3)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下, 认为学生对 这两个社团的选择与“性别”有关系?
2 n ? ad - bc ? 注:K2= . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k0) k0

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

第三章

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[解析] (1) 手工社 女生 男生 总计 12 18 30 摄影社 6 24 30 总计 18 42 60

第三章

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C2 1 3 (2)所求概率为 P=C2=5. 6
2 n ? ad - bc ? (3)K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

60×?12×24-6×18?2 20 = = 7 ≈2.857<3.841, 30×30×18×42 所以,不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学 生对这两个社团的选择与“性别”有关系.

第三章

3.2

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规范答题样板 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过 短期培训(称为 A 类工人),另外 750 名工人参加过长期培训(称 为 B 类工人).现用分层抽样的方法(按 A 类、B 类分两层)从该 工厂的工人中抽取 100 名工人, 调查他们的生产能力(此处生产 能力指一天加工的零件数),结果如下表:

第三章

3.2

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表 1:A 类工人生产能力的频数分布表 生产能力分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数 8 x 3 2 表 2:B 类工人生产能力的频数分布表 生产能力分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数 6 y 27 18

(1)确定x、y的值; (2)完成下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超

过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系?

第三章

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生产能力分组 工人类别 A 类工人 B 类工人 总计

[110,130) [130,150) 总计

2 n ? ad - bc ? 附:K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k) k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

第三章

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[解题思路探究 ]

第一步,审题.审结论明确解题方向,

(1)确定x、y的值,可用分层抽样解决;(2)判断在规定条件下工

人的生产能力与工人的类别是否有关系可通过独立性检验解
决. 审条件,挖解题信息,已知工厂中A、B类工人的人数和抽

取工人数,进行分层抽样,可直接计算A、B类工人样本数;由
表1、表2可得列联表,计算K2的观测值k与临界表可比较. 第二步,确定解题步骤. 分层抽样确定A、B类工人抽取数→求x、y的值→完成列联 表→计算K2→查临界值表下结论.

第三步,规范解答.
第三章 3.2

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[ 解析 ]

(1)∵ 从该工厂的工人中抽取 100 名工人,且该工

厂中有250名A类工人,750名B类工人, ∴要从A类工人中抽取25名,从B类工人中抽取75名, ∴x=25-8-3-2=12,y=75-6-27-18=24. (2)根据所给的数据可以完成列联表,如下表所示: 生产能力分组 工人类别 A类工人 B类工人 总计 [110,130) 20 30 50 [130,150) 5 45 50 总计 25 75 100
第三章 3.2

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由列联表中的数据,得 K2 的观测值为 100×?20×45-5×30?2 k= =12>10.828, 25×75×50×50 因此,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为工人的 生产能力与工人的类别有关系.

第三章

3.2

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准确掌握公式中参数的含义 有甲、 乙两个班级进行一门考试, 按照学生考试 成绩优秀和不优秀统计后,得到如下的列联表 班级与成绩列联表 优秀 甲班 乙班 总计 10 7 17 不优秀 35 38 73 总计 45 45 90

试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”?
第三章 3.2

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2 90 × ? 10 × 7 - 35 × 38 ? [错解] 由公式得:K2= =56.86, 17×73×45×45

56.86>6.635 所以有 99%的把握认为“成绩与班级有关 系”.
[辨析 ] 由于对2×2列联表中a、 b、c、d的位置不清楚,

在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误.

第三章

3.2

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[正解]

2 90 × ? 10 × 38 - 7 × 35 ? K2= =0.653, 17×73×45×45

0.653<3.841, 所以没有充分证据认为成绩与班级有关.

第三章

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巩固提高学案
(点此链接)

第三章

3.2

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备选练习
(点此链接)

第三章

3.2



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