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2014江苏省高考数学真题试卷(含加试)word版



2014 年江苏省数学高考试卷
数学(Ⅰ) 一、填空题 1.已知集合 A ? ??2, ?1,3,4? ,B ? ??1,2,3? , 则 A? B ? 。 开始

2. 已 知 复 数 Z ? ( 5? 2 i 2) ( i 为 虚 数 单 位 ), 则 复 数 Z 的 实 部 是 。 。

n?0 n ? n ?1


3.右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是

4.从 1,2,3,6 这四个数中一次随机地取 2 个数,则所取两个数的乘积为 6 的概率为 。 5.已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图像有

2n ? 20
Y 输出 n

N

? 一个横坐标为 的交点,则 ? 的值是 3

结束 。

6.某种树木的底部周长的取值范围是 ?90,130? ,它的频率分布直方图如图所示, 则在抽测的 60 株树木中,有 株树木的底部周长小于 100 cm.. 频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 80 90 100 110 120 130 第 6 题图 底部周长 cm

7.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? 1 ,

a8 ? a6 ? 2a4 ,则 a6 的值是



8.设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为 S1 , S2 ,体 积为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等且

S1 9 ? ,则 S2 4

V1 的值是 V2



2 2 9. 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 圆截得的弦长





2 10.已知函数 f ( x) ? x ? mx ?1 ,若对于任意的 x ??m, m ?1? 都有 f ( x) ? 0 ,则实数 m 的

1

取值范围为



2 11. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 若 曲 线 y ? ax ?

b x

D

P

C

( a , b 为常数)过点 P(2, ?5) ,且该曲线在点 P 处的切 线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b ? 。 A B

12. 如 图在 平 行四 边形 ABCD 中 , 已 知 AB ? 8, AD? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 , 则

AB ? AD的值是



2 13.已知 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? x ? 2 x ?

1 ,若 2


函数 y ? f ( x) ? a 在区间 ? ?3, 4? 上有 10 个零点 (互不相同) , 则实数 a 的取值范围是

14.若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 二、简答题 15.已知 ? ? ? (1)求 sin(



5 ?? ? 。 ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

? ? ) 的值; 4 5? ? 2? ) 的值。 (2)求 cos( 6

?

16. 如 图 在 三 棱 锥 P-ABC 中 , D, E, F 分 别 为 棱 PC , AC , AB 的 中 点 , 已 知

PA ? AC, PA ? 6, BC ? 8, DF ? 5 ,
求证(1)直线 PA 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC 。

P

D

A F

E

C

2

17.如图在平面直角坐标系 xoy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, a 2 b2

顶点 B 的坐标是 (0, b) , 连接 BF2 并延长交椭圆于点 A , 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一 点 C ,连接 FC 。 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; (2)若 FC ? AB ,求椭圆离心率 e 的值。 1

4 1 3 3

y B C x A

F1

F2

18.如图: 为保护河上古桥 OA , 规划建一座新桥 BC , 同时设立一个圆形保护区, 规划要求, 新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥 两端 O 和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ,经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处, ( OC 为河岸) , tan ?BCO ? (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

4 。 3

北 B

A M O F2 C



3

19.(满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ,其中 e 是自然对数的底数。 (1)证明: f ( x ) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e? x ? m ?1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3) 已知正数 a 满足: 存在 x0 ? (1, ??) , 使得 f ( x0 ) ? a(? x0 试比较 e ? 3x0 ) 成立,
a ?1

与a

e ?1

的大小,并证明你的结论。

20. (满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 。若对任意的正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 Sn ? am ,则 称 ?an ? 是“ H 数列” 。 (1)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n (n ? N * ) ,证明: ?an ? 是“ H 数列” 。 (2)设 ?an ? 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ?an ? 是“ H 数列” ,求 d 的值; ( 3 ) 证 明 : 对 任 意 的 等 差 数 列 ?an ? , 总 存 在 两 个 “ H 数 列 ”

?bn ? 和 ?cn ? , 使 得

an ? bn ? cn (n ? N * ) 成立。

数学(Ⅱ)附加题 21.(每题 10 分) A.如图, AB 是圆 O 的直径, CD 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点,证明 ?OCD ? ?D D A O C B

4

B.已知矩阵 A ? ? 的值。

??1 2? ?1 1 ? ?2 ? ,向量 a ? ? ? ,x, y 是实数,若 Aa ? Ba ,求 x, y ,B ? ? ? ? ?1 x ? ?2 ?1? ? y?

? ?x ? 1? ? C.在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2? ? ?
抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 AB 两点,求线段 AB 的长。

2 t 2 ( 为参数) ,直线 l 与 t 2 t 2

D.已知 x ? 0, y ? 0 ,证明 (1 ? x ? y 2 )(1 ? x2 ? y) ? 9 xy

22. (10 分)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完 全相同。 (1)从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球的颜色相同的概率; (2)从盒中一次随机抽出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1 , x2 , x3 ,随机变 量 X 表示 x1 , x2 , x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) 。

23. (10 分)已知函数 f 0 ( x) ? (1)求 2 f1 ( ) ?

?

?

2

f 2 ( ) 的值; 2 2
*

?

sin x ( x ? 0) ,设 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, n ? N * x

(2)证明:对任意 n ? N ,等式 nf n?1 ( ) ?

?

?

4

? 2 都成立。 fn ( ) ? 4 4 2

5



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