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2012高一数学



§2.2 2.2.1

对数函数

对数与对数运算

第二课时

对数的运算

学习目标

1.掌握对数的运算性质,并能运用运算 性质进行化简、求值和证明.

2.了解对数的换底公式.

课前自主学案

/>第二课时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 b=logaN 1.若ab=N(a>0,a≠1),与之等价的对数式为__________. logaa=1 2 . 对 数 的 基 本 性 质 有零和负数无对数 ; ________ ; ______________ loga1=0 _________ (a>0且a≠1). alogaN=N(a>0,a≠1,N>0). 3.对数恒等式为___________________________

知新益能
1.对数的运算性质 设 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,则 logaM+logaN (1)loga(M· N)=______________; M logaM-logaN (2)loga =_______________; N nlogaM (3)logaMn=_________ (n∈R). 2.对数的换底公式 logcb logca logab=_______ (a>0,b>0,c>0,a≠1,c≠1).

问题探究 1.若M、N同号,则式子loga(M· N)=logaM+logaN 成立吗? 提示:不一定.当M>0,N>0时成立;当M<0, N<0时不成立. 2.对数式logapNq如何化简?(a>0,a≠1,N>0)
提示:可用换底公式化简: logaN qlogaN q loga N = = logaN. p= logaa p p
p

q

q

3.对数logab与logba(a>0,b>0,a≠1,
b≠1)有什么关系?
logbb 1 提示:logab= ,故 logab= . logba logba

课堂互动讲练

考点突破 对数运算性质的应用 对数运算性质的正用是把积、商、幂的对数 “拆开”求值;逆用是把对数的和、差、积

转化为一个对数求值.

例1 计算下列各式的值.

(1)log2

7 1 +log212- log242; 48 2

1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245. 2 49 3

【思路点拨】 由题目可知(1)式中是以2为 底的对数,(2)式中都是常用对数,同时两式 中含有根号以及对数的加减运算.可利用对 数运算性质进行计算.

1 1 【解】 (1)原式=log2 =log2 =- . 2 48× 42 2 1 4 3 1 (2)原式= (5lg2-2lg7)- × lg2+ (2lg7+lg5) 2 3 2 2 5 1 = lg2-lg7-2lg2+lg7+ lg5 2 2 1 1 = lg2+ lg5 2 2 1 1 1 = (lg2+lg5)= lg10= . 2 2 2 【名师点拨】 (1)采用了逆用对数运算法则; (2)是正用对数运算法则.

7×12

对数换底公式的应用 利用对数的换底公式,可以把不同底的对数 化成同底的对数,这是解决有关对数问题的 基本方法.
例2

已知log142=a,试用a表示log2

7.

【思路点拨】

解答本题可借助对数的运算

性质及对数的换底公式等,建立所求结果与

已知条件之间的关系.

1 【解】 法一:∵log142=a,∴log214= . a 1 1 ∴1+log27= .∴log27= -1. a a log 27 log 27 由对数换底公式,得 log27= = . 2 log 22 2?1-a? 1 ∴log 27=2log27=2( -1)= . a a 法二:由对数换底公式, log 22 2 得 log142= = =a. log 214 log 27+2 2?1-a? ∴2=a(log 27+2),即 log 27= . a

法三:由对数换底公式, log27 得 log 27= log2 2 log27 = =2log27=2(log214-log22) 1 2 2?1-a? 1 =2( -1)= . a a 【名师点拨】 换底公式的本质是化同底,这 是解决对数问题的基本方法.解题过程中换成 什么样的底应结合题目条件,并非一定用常用 对数、自然对数.

互动探究1

用本例中的“a”如何表示log87?

1 解:由本例可知 log27= -1, a 1-a log27 1 11 ∴log87= = log27= ( -1)= . log28 3 3a 3a

指数式、对数式的综合运算 指数幂与对数式之间有必然的联系,二者可 相互转化求值.
例3

2 1 设 3 =4 =36,求 + 的值(x>0,y>0). x y
x y

1 1 【思路点拨】 先由已知表示出 , ,然后再求值. x y

【解】 法一:∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436. 1 1 1 ∴ = = =log363, log336 log3636 x log363 1 1 1 = = =log364. y log436 log3636 log364 2 1 ∴ + =2log363+log364=log36(9×4)=1. x y

法二:对等式 3 =4 =36 各边都取以 6 为底的对数, x y 得 log63 =log64 =log636, 即 xlog63=ylog64=2. 2 1 ∴ =log63, =log62. x y 2 1 ∴ + =log63+log62=log66=1, x y 2 1 即 + =1. x y

x

y

【名师点拨】

法一,通过指数式化对数式求出

x,y,再代入所求式子中进行对数运算,注意
化同底.

法二,对等式两边取对数,是一种常用的技巧.

自我挑战 2

已知 x、y、z 为正数,3x=4 y=6 z=k,

1 1 1 求证: - = . z x 2y 1 1 1 1 证明: - = - =logk6-logk3=logk2 z x log6k log3k 1 1 = logk4= , 2 2y

1 1 1 ∴ - = . z x 2y

方法感悟 方法技巧 1.利用对数运算法则求值,一般有两种处理方法. 一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的 运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后 化简求值;另一种是它的逆运算.(如例1) 2.求条件对数式的值,可从条件入手,从条件中分 化出要求的对数式,进行求值;也可从结论入手, 转化成能使用条件的形式;还可同时化简条件和结 论,直到找到它们之间的联系.(如例2,例3)

失误防范 1.应用对数运算性质时应注意保证每个对数 都有意义. 要注意底数和真数的取值范围.例如, log5[(-5)×(-5)]是有意义的,但是不能用公 式 计 算 , 否 则 会 得 到 如 下 结 果 : log5[( - 5)×(-5)]=log5(-5)+log5(-5),即无意义 了.

2. 要注意运算符号的转化, 不能凭着“想当然” 变化运算符号.例如,log2(2-4)是无意义的,以 下的做法 log2(2-4)=log22-log24=1-2=-1, 49 log749 显然是错用了公式;再如:log7 = =2 也 7 log77 49 是错用了公式,应该是 log7 =log77=1. 7



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