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数学:3.3.1《两直线的交点坐标》教案(新人教A版必修2)



3.3.1 两直线的交点坐标
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)直线 和直线的交点. (2)二元一次方程组的解. 2.过程和方法 (1)学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法. (2)掌握数形结合的学习法. (3)组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的直线系方程. 3.情态和价值 (1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事

物之间的内在的联系. (2)能够用辩证的观点看问题. (二)教学重点、难点 重点:判断两直线是否相交,求交点坐标. 难点:两直线相交与二元一次方程的关系. (三)教学方法:启发引导式 在学生认识直线方程的基础上, 启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系. 引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题 . 由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决. 教具:用 POWERPOIN T 课件的辅助式数学. 教学环节 教学内容 用大屏幕打出直角坐标系 中两直线, 移动直线, 让学生观 察这两直线的位置关系. 师生互动 设计意图 课堂设问一:由直线方程 的概念,我们知道直线上的一 点 与 二 元 一 次 方 程 的 解 的 关 设置情境 系,那如果两直线相交于一点, 导入新课 这一点与这两条直线的方程有 何关系?
[来源: 学_科_ 网]

提出问题

概念形成 与深化

1.分析任务,分组讨论, 判断两直线的位置关系 已知两直线 L1:A1x + B1y + C1 = 0,L2:A2x + B2y + C2 = 0 如何判断这两条直线的关 系? 教师引导学生先从点与直 线的位置关系入手, 看表一,并 填空.
几何元素及关系
[来源:学科网 ZXXK]

师:提出问题 生:思考讨论并形成结论

通 过 学生分组 讨论, 使学 生理解掌 握判断两 直线位置 的方法.

代数表示 A (a,b)

点 A[ 来源 : 学 . 科 . 网 ]
源:Z.xx.k.Com]

[来

直线 L 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A

L:Ax + By + C = 0

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

课后探究: 两直线是否相交 与其方程组成的方程组的系数 有何关系? (1)若二元一次方程组有 唯一解,L1 与 L2 相交. (2)若二元一次 方程组无 解,则 L1 与 L2 平行. (3)若二元一次方程组有 无数解,则 L1 与 L2 重合.

课堂设问二:如果两条直 线相交,怎样求交点坐标?交 点坐标与二元一次方程组有什 么 关系? 学生进行分组讨论,教师 引导学 生归纳出两直线是否相 交与其方程所组成的方程组有 何关系?

例 1 标

教师可以让学生自 己动手 解方程组,看解题是否规范,条 理是否清楚,表达是否简洁,然 后才进行讲解. 同类练习:书本 110 页第 1,2 题. 求下列两直线交点坐 例 1 解 : 解 方 程组
?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

L1:3x + 4y –2 =0 L2:2x + y +2 =0

得 x = –2,y =2 . 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(–2,2),如图: y 8
4 2 –5 –2 –4 5x

应用举例

例 2 判断下列各对直线的 位置关系。如果相交,求出交点 坐标。 ( 1 ) L1 : x–y=0 , L2 : 3x+3y–10=0 (2) L1: 3x–y=0, L2: 6x–2y=0 ( 3 ) L1 : 3x+4y–5=0 , L2 : 6x+8y–10=0. 这道题可以作为练习以巩固判 断两直线位置关系.

例 2 解: (1)解方程组
?x ? y ? 0 , ? ?3 x ? 3 y ? 10 ? 0

训练学 生解题格 式规范条 理清楚, 表 达简洁.

5 ? x? ? ? 3 得? ?y ? 5 ? 3 ?

所以,l1 与 l2 相交,交点是
5 5 M ( , ). 3 3

(2)解方程组
?3 x ? y ? 4 ? 0 ① ? ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ②

①×② – ②得 9 = 0, 矛盾, 方程组无解,所以两直线 无公共点,l1∥l2.

(3)解方程组 ① ② ①×2 得 6x + 8y –10 = 0. 因此,①和②可以化成同 一个方程, 即 ①和②表示同一 条直线,l1 与 l2 重合. 课堂设问一. 当λ 变化时, 方程 3x + 4y–2+λ (2x + y +2) = 0 表示何图形,图形有何特点?求 出图形的交点的坐标, (1) 可以用信息技术, 当? 取不同值时,通过各种图形,经 培养学 过观察,让学生从直观上得出结 生由特殊到 论,同时发现这些直线的共同特 一般的思维 点是经过同一点。 方法. ( 2 )找出或猜想这个点的 坐标,代入方程,得出结论。 ( 3 )结论,方程表示经过 这两直线 L1 与 L2 的交点的直线的 集合。 例 3 已知 a 为实数,两直 线 l1: ax + y + 1= 0, l2: x+y –a= 0 相交于一点. 求证交点 不可能在第一象 限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将 交点坐标解出,再判断交点横纵 坐标的范围. 例 3 解:解方程组若
a ?1 ? 0 ,则 a>1. 当 a>1 时, a ?1
2

?3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ? ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0

方法探究



a2 ? 1 ? 0 ,此时交点在第二象 a ?1

应用举例

限内. 又因为 a 为任意实数时,都 有 a2 +1≥1>0,故
a2 ? 1 ? 0. a ?1

引导学 生将方法拓 展与廷伸

因为 a ≠ 1 ( 否则两直线平 行,无交点),所以,交点不可能 在 x 轴 上 , 得 交 点 (? 小结: 直线与直线的位置关 系,求两直线的交点坐标, 能将 几何问题转化为代数问题来解 决,并能进行应用. 布置作业 见 习案 3.3 第一课时
a ? 1 a2 ? 1 ). , a ?1 a ?1

归纳总结

师生共同总结

形 成 知识体系 巩 固 深化新学 知识

课后作业

由学生独立完成

备选例题
例 1 求经过点(2,3)且经过 l1:x + 3y– 4 = 0 与 l2:5x + 2y + 6 = 0 的交点的直线方程.

解法 1:联立 ?

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? x ? ?2 ,得? , ?5 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?y ? 2

所以 l1,l2 的交点为(–2,2). 由两点式可得:所求直线方程为
y ?3 x ?2 即 x – 4y + 10 = 0. ? 2 ? 3 ?2 ? 2

解法 2:设所求直线方程为:x + 3y – 4 + ? (5x + 2y + 6) = 0. 因为点(2,3)在直线上,所以 2+3×3–4+ ? (5×2+2×3+6) = 0, 所以 ? ? ?
7 7 ,即所求方程为 x + 3y – 4 + ( ? )(5x + 2y + 6) = 0, 22 22

即为 x – 4y + 10 = 0. 例 2 已知直线 l1:x + my + 6 = 0,l2:(m – 2)x + 3y + 2m = 0,试求 m 为何值时,l1 与 l2: (1)重合 ; (2)平行; (3)垂直; (4)相交. 【解析】当 l1∥l2(或重合) 时: A1B2 – A2B1 = 1×3 – (m – 2)· m = 0,解得:m = 3,m = –1. (1)当 m = 3 时,l1:x + 3y + 6 = 0,l2:x + 3y + 6 = 0,所以 l1 与 l2 重合; (2)当 m = –1 时,l1:x – y + 6 = 0,l2:–3x + 3y – 2 = 0,所以 l1∥l2; (3)当 l1⊥l2 时,A1A2 + B1B2 = 0,m – 2 + 3m = 0,即 m ? (4)当 m≠3 且 m≠–1 时,l1 与 l2 相交. 例 3 若直线 l: y = kx – 角的取值范围是: A. [30? , 60? ) C. (60? , 90? )
3 与直线 2x + 3y – 6 = 0 的交点位于第一象限, 则直线 l 的倾 斜

1 ; 2

B. (30? , 90? ) D. [30? , 90? ]

【解 析】直线 l1:2x + 3y – 6 = 0 过 A(3,0),B (0,2)而 l 过定点 C (0, ? 3) 由图象可知 ?
? k ? k AC 即可. ?k ? 0

所以 l 的倾斜角的取值范围是(30°,90°),故选 B.

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