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选修2-2复数计算


选修 2-2 复数计算
满分: 班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________ 一、单选题(共 28 小题) 1.复数 4-3a-a i 与 a +4ai 相等,则实数 a 的值为( )
A.1 B.1 或-4
2 2 2

C.-4
2

D.0 或-4

C,则(a-b) +(b-c) =0 是 a=b=c 的( ) 2.若 a,b,c∈

A.充要条件 不必要条件

B.充分但不必要条件

C.必要但不充分条件

D.既不充分也

3.z=(m -3m+2)+(m +m-2)i 是纯虚数,实数 m 的值是( )
A.1 B.2 C.-2 D.1 和 2

2

2

4.有下列命题:
① C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1; 若 x,y∈ ② 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集; ③ 若(z1-z2) +(z2-z3) =0,则 z1=z2=z3; ④ 若实数 a 与 ai 对应,则实数集与复数集一一对应. 其中正确的命题个数是( )
2 2

A.0

B.1

C.2

D.3

5.若复数 cosθ+isinθ 和 sinθ+icosθ 相等,则 θ 值为( )

A.

B. 或

C.

D. 的实部为虚部的复数是( )

6.以

的虚部为实部,以

A.3-3i

B.3+i

C.

D.

7.若复数(m -3m-4)+(m -5m-6)i 表示的点在虚轴上,则实数 m 的值为( )
A.-1
2

2

2

B.4
2

C.-1 和 4

D.-1 和 6

R),则下列结论正确的是( ) 8.设 z=(2t +5t-3)+(t +2t+2)i(t∈

9.适合 x-3i=(8x-y)i 的实数 x,y 的值为( )

A.x=0 且 y=3

B.x=0 且 y=-3

C.x=5 且 y=2

D.x=3 且 y=0

10.给出下列五个命题:
① 若 a<0,则
2


0

② 若 x 为任意实数,则(x +1) =1; ③ 方程 ④ 方程 没有实数根; 无实根;
2

⑤ a>0 时,一元二次方程 x -ax+a=0 有两个正根. 其中正确的命题有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

11.复数

的共轭复数是( )

A.

B.

C.1-i

D.1+i

12.设 z 的共轭复数为 ,若



,则 等于( )

A.i

B.-i
2

C.±1

D.±i

13.若复数(a -3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( )
A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1

14.复数

的虚部是( )

A.

B.

C.

D.

15.

的值是( )

A.0

B.1

C.i

D.2i ,则 z2 的值为( )

R),且 16.设 z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a>0,b∈

A.
20

B.
20

C.

D.

17.(1+i) -(1-i) 的值是( )
A.-1024 B.1024 C.0 D.512

18.(1-2i)(3+4i)(-2+i)等于( )

A.20+15i

B.20-15i

C.-20-15i

D.-20+15i

19.复数 z1、z2 分别对应复平面内的点 M1、M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段 M1M2 的中点 M 对
应的复数为 4+3i,则|z1| +|z2| 等于( )
2 2

A.10

B.25

C.100

D.200 的值是( )

20.设

,且 z1=1+5i,z2=-3+2i 则

A.-2+3i

B.-2-3i

C.4-3i

D.4+3i

21.|(3+2i)-(1+i)|表示( )

A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离 C.点(3,2)到原点的距离

B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离

D.以上都不对 对应的复数是-5+4i,则 对应的复数是

22.向量
( )

对应的复数是 5-4i,向量

A.-10+8i

B.10-8i

C.0

D.10+8i

23.已知 z1=2+i,z2=1-2i,则复数 z=z2-z1 对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

24.已知 z=11-20i,则 1-2i-z 等于( )

A.z-1

B.z+1

C.-10+18i

D.10-18i

25.计算(-i+3)-(-2+5i)的结果为( )

A.5-6i

B.3-5i

C.-5+6i

D.-3+5i

26.已知复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于( )

A.0

B.2i

C.6

D.6-2i

27.|(3+2i)-(4-i)|等于( )

A.

B.

C.2

D.-1+3i

28.(5-i)-(3-i)-5i 等于( )

A.5i

B.2-5i

C.2+5i

D.2

二、填空题(共 18 小题)
29.若(x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x 的值为________.
2 2

30.以

的虚部为实部,以

的实部为虚部的复数是________.

31.设 z=log (m -3m-3)+ilog (m-3)(m∈ R),若 z 对应的点在直线 x-2y+1=0 上,则 m 的 值是________.

2

2

2

32.使复数 ________.

是虚部为正数的非纯虚数,则实数 x 的取值范围是

33.已知(1+i)m +(7-5i)m+10-14i=0,则实数 m=________.

2

34.若 log2(x -3x-2)+ilog2(x +2x+1)>1,则实数 x 的取值范围是________.

2

2

35.设

,z1=1+i,z2=1-i,则



36.复数 16+30i 的平方根是________.

37.若 z1=a+2i,z2=3-4i 且 为纯虚数,则实数 a 的值为________.

38.复数 i (1+i) 的虚部为________.

3

2

39.已知 z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积 z1z2 的实部和虚部为相等的正数,则实 数 m 的值为________.

40.设 z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a>0,b∈ R),且

,则 z2 的值为________.

41.如果一个复数与它的模的和为

,那么这个复数是________.

42.已知



,若

,则 a+b=________.

43.若 z1=2-i, ________.

,则 z1、z2 在复平面上所对应的点为 Z1、Z2,这两点之间的距离为

44.复数 z=x+yi(x,y∈ R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则 2 +4 的最小值为________.

x

y

45.已知 x,y∈ R,且 x+y-30+xyi 和 y-x+60i 互为共轭复数,则 x=________,y= ________.

46.复数 z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a>0,b∈ R),且 z1,z2,z3 成等比数列,则 z2= ________.

三、解答题(共 14 小题)
47.若 m 为实数,z1=m +1+(m +3m +2m)i,z2=4m+2+(m -5m +4m)i,那么使 z1>z2 的 m 值的集合是什么?使 z1<z2 的 m 值的集合又是什么?
2 3 2 3 2

48.已知关于 t 的一元二次方程 t +(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈ R). (1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程; (2)若方程有实根,求实根的取值范围.

2

49.已知

,求 x 的值.

50.若 log2(m -3m-3)+ilog2(m+2)为纯虚数;求实数 m 的值.

2

51.设 a、b 为共轭复数,且(a+b) -3abi=4-6i,求 a 和 b.

2

52.已知 2z+|z|=2+6i,求 z.

53.设 z∈ C,若|z|=1,且 z≠±i,(1)证明:

必是实数;(2)并求

对应点的轨迹.

54.设 z∈ C 且|z|=1,但 z≠±1,判断

是不是纯虚数,并说明理由.

55.已知方程 ax +x+c=0(a,c∈ R)的一个根是 2+3i,求 a、c 的值.

2

56.复数 z1=a+bi,且 a +b =25(a,b∈ R),z2=3+4i,z1· z2 是纯虚数,求 z1.

2

2

57.已知复数 z 满足 z+|z|=2+6i,求复数 z.

58.设 z1、z2∈ C,已知|z1|=|z2|=1,

,求|z1-z2|.

59.在复平面内,复数 z1 在连接 1+i 和 1-i 的线段上移动,设复数 z2 在以原点为圆心,半径 为 1 的圆周上移动,求复数 z1+z2 在复平面上移动范围的面积.

60.在复平面内,复数-3-i 与 5+i 对应的向量分别是 , 对应的复数及 A、B 两点间的距离.



,其中 O 是原点,求向量

答案部分
1.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:-a =4a, a=0 或 a=-4;4-3a=a ,a=1 或-4,故选 C 答案:C
2 2

2.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:(a-b) +(b-c) =0 在复数范围内可以有很多组值,例如 a=i+1,b=i,c=0 答案:C
2 2

3.考点:3.1 数系的扩充

试题解析:由已知得 答案:B



∴ m=2.

4.考点:3.1 数系的扩充
③ 试题解析:① a=i,y=-i,则 a+yi=1+i,但不满足 a=y=1,故① 错;② 错,对于④ ,a=0 时,ai=0,④ 错,故选 A. 答案:A

5.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:由复数相等定义得 答案:D ∴ tanθ=1,∴ ,故选 D.

6.考点:3.1 数系的扩充
试题解析: 答案:A 的虚部为 3, 的实部为-3,故选 A

7.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:由题设可得 4. 答案:B m= ,由① 得 m=-1 或 m=4,由② 得 m≠-1 且 m≠6,∴

8.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:由于 t +2t+2=(t+1) +1>0,而 2t +5t-3 可正、可负,可为 0,故 A、B、C 均 不正确,选 D. 答案:D
2 2 2

9.考点:3.1 数系的扩充
x=0,且 y=3. 试题解析:由复数相等的条件得 x=0,且-3=8x-y,∴ 答案:A

10.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:① 应为 根. 答案:C ③ ④ ;② 正确;⑤ 错,由于△ =a -4a 不一定为正,因而此方程不一定有实
2

11.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析: 答案:B

12.考点:3.2 复数的四则运算
R),则 试题解析:设 z=a+bi(a,b∈ 所以 答案:D ,由条件可得 或 解得 因此 ,即 或 .

13.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析:由纯虚数的定义,可得 答案:B 解得 a=2.

14.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析: 答案:B ,故虚部为 .

15.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析:原式 答案:D .

16.考点:3.2 复数的四则运算
z3=b+ai,即 试题解析:z1· ,所以 解得 所以

答案:B

17.考点:3.2 复数的四则运算

试题解析:(1+i) -(1-i) =[(1+i) ] -[(1-i) ] =(2i) -(-2i) =(2i) -(2i) =0. 答案:C

20

20

2 10

2 10

10

10

10

10

18.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(3+4i-6i+8)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-22+11i+4i+2 =-20+15i. 答案:D

19.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以 ∵ 答案:C ,∴ 、 为邻边的平行四 M1OM2 为直角,M 是斜边 M1M2 的中点, 边形是矩形(对角线相等),即∠

.∴

20.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:z1-z2=(1+5i)-(-3+2i)=(1+3)+(5-2)i=4+3i, ∴ 答案:D

.∴

21.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数的模的意义 答案:A

22.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数的向量表示 答案:C

23.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数的加法 答案:C

24.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数的运算 答案:C

25.考点:3.3 复数的几何意义
答案:A

26.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数的运算 答案:D

27.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数模的意义 答案:B

28.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:复数的运算 答案:B

29.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:x -1=0,x=1 或-1 ,且 x +3x+2 不能为 0 故只能 x=1 答案:1
2 2

30.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:以 答案:3-3i 的虚部为 3,以 的实部为-3,故等于 3-3i

31.考点:3.1 数系的扩充
log2(m -3m-3)-2log2(m-3)+1=0,整理得 试题解析:∵ =m -6m+9,即 m =15, 答案:
2 2 2

2m -6m-6 ,∴ .

2

m-3>0 且 m -3m-3>0,∴ .又∵

2

32.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:由题意,得 答案: 解得 或 2<x<3 或 x>3.

33.考点:3.1 数系的扩充
m∈ R,∴ 试题解析:把原式整理得(m +7m+10)+(m -5m-14)i=0.∵ 答案:-2
2 2

34.考点:3.1 数系的扩充
log2(x -3x-2)+ilog2=(x +2x+1)>1,∴ 试题解析:∵ 答案:{-2}
2 2

∴ x=-2

35.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析:先求 f(z)的表达式,再求 , 答案:-i 的值,最后代入求值,令 z+i=t 得 z=t-i, ,∴

36.考点:3.2 复数的四则运算
R ) , 则 (x + yi)? = 16 +30i,即 x?试题解析:设 16 + 30i 的 平 方 根 为 x + yi ( x, y ∈ y?=16,xy=15 ,解之得 x=3,y=5 或 x=-5,y=-3 答案:5+3i 或-5-3i

37.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析: ∵ 为纯虚数,∴ ∴ .

答案:

38.考点:3.2 复数的四则运算
2i=2i =2,∴ 试题解析:i (1+i) =i · 复数 i (1+i) 的虚部为 0. 答案:0
3 2 3 4 3 2

39.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析:z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=(2-m)+(3m-1)i.依题设有 2-m=3m-1,∴ 合题意 答案: 符

40.考点:3.2 复数的四则运算

试题解析:由 入 a -b =b 得 答案:
2 2

得(a+bi) =b+ai,即 a -b +2abi=b+ai,∴ .又 a>0,∴ .∴ .

2

2

2

∵ a>0,∴

.代

41.考点:3.3 复数的几何意义
答案:

42.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:∵ , 由复数相等的

条件知 答案:3

解得

∴ a+b=3.

43.考点:3.3 复数的几何意义
答案:

44.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:方程,|z-4i|=|z+2|表示线段 Z1Z2[Z1(0,4)、Z2(-2,0)]的中垂线,易求其方程为 x+2y=3. +2y=3,即 答案: , 时,取到最小值 .当且仅当 2 =2 ,即 x=2y 且 x
x 2y

45.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:x+y-30=y-x 且 xy=60 解得 x=15,y=4 答案:15 ; -4

46.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析: 答案:

47.考点:3.1 数系的扩充
R 时,m +3m +2m=0,m=0,-1,-2,z1=1 或 2 或 5.当 z2∈ R 时,m 试题解析:当 z1∈
2 3 2 3

-5m +4m=0,m=0,1,4,z2=2 或 6 或 18.上面 m 的公共值为 m=0,此时 z1 与 z2 同时 为实数,此时 z1=1,z2=2.所以 z1>z2 时 m 值的集合为空集,z1<z2 时 m 值的集合为{0} 答案:见解析

48.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:(1)设实根为 t,则 t +(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,即(t +2t+2xy)+(t+x-y)i=0,根 据复数为零的充要条件得
2 2 2 2 2

由② 得 t=y-x,代入① 得(y+x) +2(y-x)+2xy=
2 2

0,即(x-1) +(y+1) =2, ③ ∴ 所求点的轨迹方程为(x-1) +(y+1) =2,轨迹是以(1,-1)为 圆心, 为半径的圆.(2)由③ 得圆心为(1,-1),半径 ,直线与圆有公共点,则

,即|t+2|≤2,∴ -4≤t≤0,故方程的实根的取值范围为[-4,0]. 答案:(1)轨迹方程为(x-1) +(y+1) =2,轨迹是以(1,-1)为圆心, 程的实根的取值范围为[-4,0]
2 2

为半径的圆(2)方

49.考点:3.1 数系的扩充
试题解析:由复数为零的定义得 答案:x=3 x=3 即为所求. 解得 x=3,∴

50.考点:3.1 数系的扩充
log2(m -3m-3)+ilog2(m+2)为纯虚数,∴ 试题解析:∵ 时,log2(m -3m-3)+ilog2(m+2)为纯虚数. 答案:m=4
2 2

∴ m=4,故当 m=4

51.考点:3.2 复数的四则运算
R),则(x+yi+x-yi) -3(x+yi)(x-yi)i=4-6i,即 试题解析:设 a=x+yi,b=x-yi(x,y∈ ∴ 答案: 或 或 或 或 或 或
2

52.考点:3.2 复数的四则运算

R),代入已知方程得 试题解析:设 z=x+yi(x,y∈ .由复数相等定义得 3.∴ 答案: . 解之,得

.即 ,y =

53.考点:3.2 复数的四则运算
R),则 a +b = 试题解析:(1)证明:证法 1:设 z=a+bi(a,b∈ 1(a≠0). .证法 2:设
2 2

,即

ω∈ R,即 ,∴

为实数(根据性质

求解).(2)

解:∵ 对应的点是 x 轴上除去 答案:见解析

a +b =1,∴ ,又∵ -1≤a≤1,a≠0.∴ 这个区间的所有点(两条射线).

2

2



.即

54.考点:3.2 复数的四则运算
试题解析: R),由|z|=1 得 a +b =1, 为纯虚数设 z=a+bi(a,b∈ ,由|z|=1 且 z≠1,得 b≠0, a≠±1.∴ 为纯虚数
2 2

答案:见解析

55.考点:3.2 复数的四则运算
a,c∈ R,方程 ax +x+c=0 的一根是 2+3i,∴ 试题解析:∵ 方程的另一根是 2-3i,由 , 答案: , 得 , .
2

56.考点:3.2 复数的四则运算

z2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(4a+3b)i,∵ z1· z2 是纯虚数,∴ 3a-4b=0 且 4a+ 试题解析:z1· 3b≠0, ① ② 又 a +b =25, ② 由① 解得 答案:z1=4+3i 或 z1=-4-3i
2 2



∴ z1=4+3i 或 z1=-4-3i.

57.考点:3.3 复数的几何意义
R),则 试题解析:解法 1:设 z=a+bi(a,b∈ ∴ 解得 ,代入方程得 ,

∴ z=-8+6i.解法 2:原式可化为 z=2-|z|+6i,∵ |z|∈ R,∴ 2- |z|=10.代入 z=2-|z| .即|z| =40-4|z|+|z| ,∴
2 2

|z|是 z 的实部,于是 +6i 得 z=-8+6i. 答案:z=-8+6i

58.考点:3.3 复数的几何意义
R),由题设知 a +b =1,c +d =1, 试题解析:解法一:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈ (a+c) +(b+d) =2,又由(a+c) +(b+d) =a +2ac+c +b +2bd+d ,可得 2ac+2bd= 0.∵ |z1-z2| =(a-c) +(b-d) =a +c +b +d -(2ac+2bd)=2.解法二:∵ |z1+z2| +|z1- z2| =2(|z1| +|z2| ),∴ 将已知数值代入,可得|z1-z2| =2,∴ z2 对应的向量 答案: 、 ,使 |z1|=|z2|=1,又∵ 、 .∵ □OZ1ZZ2 为菱形. 线,则|z1+z2|=2 或 0 与题设矛盾).∴
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.解法三:作出 z1、 不共线(若 、 共

59.考点:3.3 复数的几何意义
|z2|=1,∴ |ω-z1|=1.如答图,上式说 试题解析:设 ω=z1+z2,z2=ω-z1,|z2|=|ω-z1|.∵ 明对于给定的 z1,ω 在以 z1 为圆心,1 为半径的圆上运动,又 z1 在连接 1+i 和 1-i 的线段上

移动,

∴ ω 的移动范围的面积为 S=2×2+π×1 =4+π

2

答案:4+π

60.考点:3.3 复数的几何意义
试题解析:向量 答案:2 -8-2i 对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.∵ ,∴ 向量 对应的复数为 (-3-i)-(5+i)=-8-2i. A、B 两点之间的距离为


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