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2015年寒假学习黄金期-数学思想之数形结合



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2015 年寒假学习黄金期:数学思想之数形结合
紧张了一学期的学生们迎来了寒假。但对高中的学生们来说,每学期的学科 都至关重要, 数学的内容抽象, 范围十分广泛, 难免在紧张的学习过程中出现 “漏 洞”。寒假是一个查漏补缺的好机会。在这短短的寒假期间,怎样在有限的时间 里效率提高数学呢? 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而我们 解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只 有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高 考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答 过程都蕴含着重要的数学思想方法。 我们要有意识地应用数学思想方法去分析问 题、解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 数学思想方法与数学基础知识比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数 学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将 来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维 的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一 阵子, 而是受用一辈子, 即使数学知识忘记了, 数学思想方法也还是对你起作用。 常用的数学思想有:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化 (化归)思想等。这里我们为同学们介绍数形结合思想。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面, 其应用大致可以分为两种情形: 或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联 系, 即以形作为手段, 数为目的, 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质; 或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,
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形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

【注】 一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可 以借助于函数的图象直观解决, 简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解 的情况,还可用分离参数法来求。 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的联系,既分析其代数意义,
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又揭示其几何直观, 使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地 结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形” 的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合 百般好,隔裂分家万事休。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合,关键是代 数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在 运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和 运算的几何意义以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何 意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以 形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 最后预祝同学们寒假过的充实,有收获,在快乐的同时,学习也取得 很大的进步!

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