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2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(十七) 空间向量的正交分解及其坐标表示 Word版含解析



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课时跟踪检测(十七)

空间向量的正交分解及其坐标表示
学业水平达标 )

层级一

1.已知 A(3,2,-3),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( A.(-3,-2,3) C.(-3,2,3) 解析:选 C 由对称定义知. B.(-3,2,-3) D.(-3,-2,-3)

2.设 p:a,b,c 是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: 选 B 当非零向量 a, b, c 不共面时, {a,b, c}可以当基底, 否则不能当基底. 当 {a,b,c}为基底时,一定有 a,b,c 为非零向量.因此 p?/ q,q?p. 3.在空间直角坐标系 Oxyz 中,下列说法正确的是( )

???? A.向量 AB 的坐标与点 B 的坐标相同 ???? B.向量 AB 的坐标与点 A 的坐标相同 ??? ? ???? C.向量 AB 与向量 OB 的坐标相同 ??? ? ??? ? ???? D.向量 AB 与向量 OB - OA 的坐标相同
解析:选 D 因为 A 点不一定为坐标原点,所以 A 不正确;同理 B,C 都不正确;由于

? ??? ? ???? ??? AB = OB - OA ,所以 D 正确.
4.已知空间四边形 OABC,其对角线为 AC,OB,M,N 分别是 OA,BC 的中点,点 G 是 MN 的中点,则 OG 等于(

????

)

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? A. OA + OB + OC 6 3 3

? ??? ? ???? 1 ??? B. ( OA + OB + OC ) 4

? ??? ? ???? ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? 1 ??? C. ( OA + OB + OC ) D. OB + OA + OC 3 6 3 3
解析:选 B 如图,

???? 1 ???? ? ???? OG =2( OM + ON )
? 1 1 ??? ? ???? 1 ???? = OM + × ( OB + OC ) 2 2 2
? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? = OA + OB + OC 4 4 4

? ??? ? ???? 1 ??? = ( OA + OB + OC ). 4
OA =a, OB =b, OC =c, 5. 空间四边形 OABC 中, 点 M 在 OA 上, 且 OM =2 MA ,
N 为 BC 中点,则 MN 为(

??? ?
)

??? ?

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1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3

2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2

????? ???? ? ???? ???? MN = MA + AB + BN ? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? = OA + OB - OA + ( OC - OB ) 3 2
解析:选 B

? 1 ??? ? 1 ???? 2 ??? =- OA + OB + OC 3 2 2
2 1 1 =- a+ b+ c. 3 2 2 6.设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底, a=4e1-8e2+3e3,b=-2e1-3e2 +7e3,则 a,b 的坐标分别为________. 解析:由于{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底, 所以 a=(4,-8,3),b=(-2,-3,7). 答案:a=(4,-8,3),b=(-2,-3,7) 7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若 m 与 n 共线,则 x=________,y=________. 解析:因为 m 与 n 共线,所以存在实数 λ,使 m=λn,即 a-b+c=λxa+λyb+2λc, 1=λx, ? ? 于是有?-1=λy, ? ?1=2λ, 答案:2 -2 8. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 点 E, F 分别是底面 A1C1 和侧面 CD1 的中心, 若 EF +λ A1 D =0(λ∈R),则 λ=________.
?x=2, ? 解得? ?y=-2. ?

????

???? ?

解析:如图,连接 A1C1,C1D, 则 E 在 A1C1 上,F 在 C1D 上, 1 易知 EF 綊 A1D, 2

???? 1 ???? ???? 1 ???? ? ? ∴ EF = A1 D ,即 EF - A1 D =0, 2 2
1 ∴λ=- . 2
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1 答案:- 2 9.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,设 AB =a, AD =b, AA1 =c,E,F 分别是 AD1,BD 的中点. (1)用向量 a,b,c 表示 D1 B , EF ; (2)若 D1 F =xa+yb+zc,求实数 x,y,z 的值. 解:(1)如图, D1 B = D1 D + DB =- AA1 + AB - AD =a-b -c,

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? 1 ???? ? ???? 1 ???? ???? ??? ? ???? 1 ???? 1 ???? EF = EA + AF = 2 D1 A + 2 AC =- 2 ( AA1 + AD )+ 2 ( AB
???? 1 + AD )= (a-c). 2

????? 1 ????? ???? ? (2) D1 F = ( D1 D + D1 B ) 2

???? ? ???? ? 1 = (- AA1 + D1 B ) 2
1 = (-c+a-b-c) 2 1 1 = a- b-c, 2 2 1 1 ∴x= ,y=- ,z=-1. 2 2 10.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点,求证:EF ⊥AB1.

证明:设 AB =a, AA1 =b, AD =c,

????

???? ?

????

???? ???? ? ???? ? 1 ???? ? ????? ? 则 EF = EB1 + B1 F = ( BB1 + B1 D1 ) 2

? ???? 1 ???? ? ???? ???? 1 ???? = ( AA1 + BD )= ( AA1 + AD - AB ) 2 2
1 = (-a+b+c), 2

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? AB1 = AB + BB1 = AB + AA1 =a+b.

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? 1 ???? ???? ∴ EF ·AB1 = (-a+b+c)· (a+b) 2
1 = (|b|2-|a|2)=0. 2 ∴ EF ⊥ AB1 ,即 EF⊥AB1. 层级二 应试能力达标

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1.已知 M,A,B,C 四点互不重合且无三点共线,则能使向量 MA , MB , MC 成 为空间的一个基底的关系是( )

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???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? A. OM = OA + OB + OC 3 3 3
B. MA = MB + MC

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C. OM = OA + OB + OC D. MA =2 MB - MC

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??? ?

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解析:选 C 对于选项 A,由 OM =x OA +y OB +z OC (x+y+z=1)?M,A, B,C 四点共面,知 MA , MB , MC 共面;对于选项 B,D,易知 MA , MB , MC 共 面,故选 C. 2.给出下列命题: ①若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d 与 c 共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为 空间的一个基底; ②已知向量 a∥b,则 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底; ③A,B,M,N 是空间四点,若 BA , BM , BN 不能构成空间的一个基底,则 A, B,M,N 四点共面; ④已知{a,b,c}是空间的一个基底,若 m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

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解析:选 D 根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个 基底.显然②正确.③中由 BA , BM , BN 不能构成空间的一个基底,知 BA , BM ,

??? ?

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????

??? ?

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???? ??? ? ???? ? ???? BN 共面.又 BA , BM , BN 过相同点 B,知 A,B,M,N 四点共面.下面证明①④正
确:假设 d 与 a,b 共面,则存在实数 λ,μ,使得 d=λa+μb,∵d 与 c 共线,c≠0,∴存 λ μ 在实数 k,使得 d=kc.∵d≠0,∴k≠0,从而 c=ka+k b,∴c 与 a,b 共面,与条件矛盾, ∴d 与 a,b 不共面.同理可证④也是正确的.于是①②③④四个命题都正确,故选 D. 3.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 AB =3i, AD =2j, AA1 =5k,则向量 AC1 在
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????

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基底{i,j,k}下的坐标是( A.(1,1,1) C.(3,2,5) 解析:选 C

) 1 1 1? B.? ?3,2,5? D.(3,2,-5)

????? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1 =3i+2j+5k,∴向量

????? AC1 在基底{i,j,k}下的坐标是(3,2,5),故选 C. ??? ? ??? ? ???? 2 ???? 4. 已知向量 OA 和 OB 在基底{a, b, c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1), 若 OC = AB , 5 ???? 则向量 OC 在基底{a,b,c}下的坐标是( )
6 4 8 - ,- ,- ? A.? 5 5? ? 5 6 4 8 - ,- , ? C.? 5 5? ? 5 6 4 8 ,- ,- ? B.? 5 5? ?5 6 4 8? D.? ?5,5,5?

解析: 选 A ∵ AB = OB - OA =(2b+c)-(3a+4b+5c)=-3a-2b-4c, ∴ OC =

????

??? ?

??? ?

????

2 5

???? ???? 6 4 8 6 4 8 - ,- ,- ?,故选 A. AB =-5a-5b-5c,∴向量 OC 在基底{a,b,c}下的坐标是? 5 5? ? 5
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数 x,y,z,使得 xa+yb+zc=0,则 x, y,z 满足的条件是________. y z 解析:若 x≠0,则 a=-xb-xc,即 a 与 b,c 共面.由{a,b,c}是空间的一个基底知 a,b,c 不共面,故 x=0,同理 y=z=0. 答案:x=y=z=0 6.若 a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若 e1,e2,e3 不共面,当 d =α a+β b+γ c 时,α+β+γ=________. 解析:由已知 d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3. α+γ=1, ? ? 所以?α+β=2, ? ?γ+β=3, 答案:3 7.设 A,B,C 及 A1,B1,C1 分别是异面直线 l1,l2 上的三点,且 M,N,P,Q 分别 是线段 AA1,BA1,BB1,CC1 的中点.求证:M,N,P,Q 四点共面. 证明:依题意,有 BA =2 NM , A1 B1 =2 NP .

故有 α+β+γ=3.

??? ?

?????

????? ?

????

? ????? ? ???? ? 1 ???? ? ????? ? 1 ???? ? 1 ???? ???? ? ????? ? ??? ? ???? PQ = PB1 + B1C1 + C1Q = 2 BB1 + B1C1 + 2 C1C = 2 ( BC + CC1 + C1 B1 ) + ????? ? 1 ???? ? 1 ???? ????? ? B1C1 +2 C1C =2( BC + B1C1 ). (*)
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∵A,B,C 及 A1,B1,C1 分别共线, ∴存在 λ,ω∈R,使得 BC =λ BA =2λ NM , B1C1 =ω A1 B1 =2ω NP .

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?????

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???? ????? ???? ??? ? 1 ????? 代入(*)式,得 PQ = (2λ NM +2ω NP )=λ NM +ω NP , 2
∴ PQ , NM , NP 共面. ∴M,N,P,Q 四点共面.

??? ?

?????

????

8.已知空间四边形 OABC 中,M 为 BC 的中点,N 为 AC 的中点,P 为 OA 的中点, Q 为 OB 的中点,若 AB=OC,求证:PM⊥QN.

??? ? ??? ? ???? ???? ? 1 ??? ? 证明: 如图, 取向量 OA , 则 OM = ( OB OB , OC 为空间基底, 2
+ OC ),

????

???? 1 ??? ? ???? ON =2( OA + OC ). ? ??? ? 1 ??? ? ???? ???? ? ???? ∴ PM = OM - OP = ( OB + OC ) 2 ? 1 ??? ? ???? ??? ? 1 ??? - OA = ( OB + OC - OA ), 2 2 ? ???? 1 ??? ? ???? ???? ???? 1 ??? QN = ON - OQ =2( OA + OC )-2 OB ? ???? ??? ? 1 ??? = ( OA + OC - OB ). 2
又∵ AB = OB - OA ,

????

??? ?

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???? ? 1 ???? ???? ???? 1 ???? ???? ∴ PM = ( AB + OC ), QN = ( OC - AB ), 2 2 ???? ? ???? 1 ???? ???? 1 ???? ???? ∴ PM · ( OC - AB ) QN =2( AB + OC )· 2 ???? 1 ???? = (| OC |2-| AB |2), 4
又∵| AB |=| OC |, ∴ PM · QN =0,即 PM⊥QN.

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???? ? ????

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