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高考数学 考点11 三角函数的图像及性质练习



考点 11

三角函数的图象及性质

? 1.(2010·四川高考理科·T6)将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动 10 个单位长度,再把
所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是( )

y ? sin(2 x ?
(A)

?
10

)

y ? sin(2 x ? ) 5 (B) 1 ? y ? sin( x ? ) 2 20 (D)

?

1 ? y ? sin( x ? ) 2 10 (C)

【命题立意】主要考查三角函数图象的平移变换,周期变换. 【思路点拨】变换原则:平移变换,左加右减;周期变换为 x 前系数的变换.

? 【规范解答】选 C.将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动 10 个单位长度,所得函数图象的解
y ? sin( x ?
析式为

) 10 ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解

?

1 ? y ? sin( x ? ) 2 10 .故选 C. 析式是 1 【方法技巧】平移变换是指 x 系数为 1 时的变换.横坐标伸长到原来的 2 倍,即 x 的系数变为原来的 2 . y ? sin(2 x ? ) y ? sin(2 x ? ) 3 的图象,只需把函数 6 2.(2010·全国高考卷Ⅱ理科 ·T7)为了得到函数
的图象( )

?

?

? (A)向左平移 4 个长度单位 ? (C)向左平移 2 个长度单位

? (B)向右平移 4 个长度单位

? (D)向右平移 2 个长度单位

【命题立意】本题考查了三角函数的图象平移变换的知识. 【思路点拨】运用平移知识解决.

【规范解答】 选 B

? ?? ? ? 2? ? y ? sin ?2( x ? ? ) ? ? ? sin (2 x ? ) 6? 3 得 2φ 6 ? 由

??

?
3 ,所以

? ??? ,
4.

【方法技巧】⑴当函数解析式中 x 的系数不是 1 时,平移变换时要先提出 x 的系数,此题防止错选 D 项. ⑵平移的方向为 “左加右减”.

-1-

3.(20 10·江西高考文科·T12)如图,四位 同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自 作出三个函数 y ? sin 2 x ,

y ? sin( x ?

?

y ? sin( x ? ) 6 , 3 的图象如下.结果发现其中有一位同学作出的 )

?

图象有错误,那么有错误的图象是(



x
(A) (B)

x

x

x

(C) (D) 【命题立意】本题主要考查三角函数图象的作图、识图能力. 【思路点拨】将三个函数的图象作在同一个坐标系中进行比较即可,或仔细观察四个选项的 相同与不同之处. 【规范解答】选 C.作图,结合选项进行比较,A,B,D 相同,只有 C 不同. 【方法技巧】从题设条件出发,结合所学知识点,根据“四选一”的要求,逐步剔除干扰项,从而得出正 确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时,先根据某些条件 在选择支中找出明显与之矛盾的,予以排除,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾,这样 逐步筛选,直到得出正确的选项.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法,近几年高考选择 题中考查较多.

4.(2010·湖北高考文科·T2)函数 f(x)=

x ? 3 sin( ? ), x ? R 2 4 的最小正周期为(



? (A) 2

(B) ?

(C)2 ?

(D)4 ?

?) )? ?b b 型函数的周期. 【命题立意】本题主要考查 y ? A sin(? x ? ?

?) )? ?b b 型函数的最小正周期 【思路点拨】 y ? A sin(? x ? ?

T?

2?

?

.

?) )? ?b b 型函数的最小正周期 【规范解答】选 D.由 y ? A sin(? x ? ?
x ? 3 sin( ? ), x ? R 2 4 f(x)= 的最小正周期

T?

2?

?

可得函数

T?

2? ? 4? 1 2 .
T? 2?

? ?b b ( y ? A cos(? x ? ? ? ?b b )型函数的最小正周期 ))? ))? 【 方 法 技 巧 】 y ? A sin(? x ? ?

?



-2-

?))? ?b b 型函数的最小正周期 y ? A tan(? x ? ?

T?

? ?

.

x?2 k ??
5.(2010·上海高考理科·T15) “

?

k?? Z 4

?

”是“ tan x ? 1 ”成立的(



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【命题立意】本题考查了充要条件、三角函数等有关知识,体现了等价转化的思想. 【思路点拨】先将 tan x ? 1 等价转化,求出相应的 x 的值,再与

x ? 2 k? ?

?
4

?k ? Z ?

作比较.

?? ? xx? ? ?? ? k ? Z ? ?k 2 k? 44 【规范解答】选 A. tan x ? 1 ,
{ x | x ? 2k? ?

?
4

, k ? Z } ? { x | x ? k? ?

?
4

,k ? Z}


x ? 2 k? ?
所以“

?
4

?k ? Z ?

”是“ tan x ? 1 ”成立的充分不必要条件.

p ? q ” p 是 q 的充分条件, 【方法技巧】 (1) A ? B ,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件; (2) “
q 是 p 的必要条件.
6.(2010·重庆高考理科·T6)已知函数

y ? sin ?? x ? ? ?

(? ? 0, ? ?

?

) 2 的部分图象如图所示,则( )

? ? (A) ? =1, = 6 ? ? (C) ? =2, = 6

? ? ? (B) ? =1, = 6

(D)

? =2, ? =

?

?
6
第(6)题

【命题立意】本小题考查形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数的图象和性质,如周期,平移 等,考查运算求解 能力,考查数形结合的思想方法.

? 7? ( , 0) 【思路点拨】从图象上找出两个已知点( 3 ,1)和 12 是关键.

-3-

? 7? ( 0 , ) 【规范解答】 选 D(方法一) . 观察函数的图象可知, 图象过点 (3, 1) 和 12

? ? sin( ? ? ? ) ? 1 , ? ? 3 ? ?sin( 7? ? ? ? ) ? 0 ? 12 , , 所以 ?

所以

7? ? ? ? ? 4 是四分之一个周期,所以函数的最小正周期是 ? ,所以 (方法二)观察函数的图象可知, 12 3
2? ??

?

, ? ? 2 ,排除 A,B,再由

2?

?
3

?? ?

?
2 ,所以

? ??

?
6 ,选 D.

? 7? 【方法技巧】由图象中的条件判断出 3 到 12 之间的长度是四分之一个周期可以简捷解答.
7.(2010·江西高考文科·T6)函数 y ? sin x ? sin x ?1 的值域为(
2



(A) [?1,1]

5 [ ? , ?1] (B) 4

5 [ ? ,1] (C) 4

5 [ ?1, ] 4 (D)

【命题立意】本题主要考查函数的性质:定义域和值域;考查换元及转化与化归的数学思想,考查考生的 运算求解能力. 【思路点拨】可用换元法转化为二次函数求值域.

1 5 5 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ? [? ,1], 2 4 4 【规范解答】选 C.令 t ? sin x ? [?1,1], 则 故选 C.
【方法技巧】求函数的值域一般有以下常见的方法:直接法、公式法、分离变量法、单调性法、反函数法、 判别式法、换元法、利用有界性、求导法、利用均值不等式等,平时应认真体会并熟练掌握.

?? ? ? ,? ? 4 2 ? 上为减函数的是( ) ? ? 8.(2010·重庆高考文科·T6)下列函数中,周期为 ,且在
y ? sin(2 x ? ) 2 (A) y ? sin( x ?
(C)

?

y ? cos(2 x ?
(B)

?
2

)

?
2

)

y ? cos( x ? ) 2 (D)

?

【命题立意】本小题考查形如 y ? sin(? x ? ? ) 的函数的性质:周期性、单调性、图象的平移变换等,考查 运算求解的能力,考查数形结合的思想. 【思路点拨】先根据周期排除几个选项,再根据函数单调性确定选项.

-4-

2?
【规范解答】选 A .因为函数的周期为 ? ,所以 ?

??

, ? ? 2 ,排除 C,D;再选取你熟悉的正弦或余弦

? ? ? 3? ? y ? sin(2 x ? ) 2 x ? ? [ , ] x ? [0, ] 2 在 2 2 2 ,即 2 上是减函数, 函数, 取原点附近的一个减区间, 如函数
?? ? ? ? ? ? ? ,? y ? cos(2 x ? ) 2 x ? ? [0, ? ] x ? [? , ] ? 2 在 2 4 4 上是减函数,在 所以在 ? 4 2 ? 上为减函数;或函数 ,即

? 3? x ?[ , ] 4 4 上是增函数.
【方法技巧】 (1)采用 排除法,分步判断选项.(2)在选取函数的减区间时,注意由正弦或余弦函数的图象 平移的方向和最短距离,选取原点右侧的第一个减区间判断.

f ( x) ? (1 ? cot x) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) 4 4 . 9.(20 10·江西高考理科·T17)已知函数

?

?

? ? 3? ? ? , ? (1)当 m ? 0 时,求 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的取值范围.
(2)当 tan ? ? 2 时,

f (? ) ?

3 5 ,求 m 的值.

【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角差的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、 同角三角函数的基本关系等基础知识,考查基本运算能力。 【思路点拨】 (1)先化简,再求取值范围.(2)也要先对 f ( x ) 进行化简,再用二倍角公式求出 sin 2? 和

cos 2? 的值,最后代入计算.
【规范解答】 (1)当 m ? 0 时, f ( x) ? sin x ? sin x cos x
2

1 1 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2,

? ? 2 ? ? ? 5? ? ? ? 3? ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? x ? ? , ? 2 x ? ? ?0, ? 4 ? 2 ? 8 4 4 4 ? ? ? ? 又由 得 ,所以 ,
f ( x) ?
从而

2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ? 2 4 2 ? 2 ? .

m 2 f ( x ) ? sin x + sin x cos x - 2 cos 2 x (2)

-5-

1 ? cos 2 x 1 m sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? +2
1 ?sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x? ? 1 2, ?2 ?
4 2 sin ? cos ? 2 tan ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? = 1 ? tan ? 5 ,

由 tan ? ? 2 得 sin 2?

【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容,主要考查三角函数的变换.特别是二倍角公式,平 时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的性质.对于本题第(2)问, 应先化简到 只含 sin 2 x 和 cos 2 x 的形式,再利用条件求解. 10.(2010·湖北高考文科 ·T16)已经函数

f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样的 变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使 h( x) 取得最小值的 x 的集合. 【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值,同时考查考生的运 算求解能力.

?) )? ?b b 的形式,再与 g ( x) 的解析式对照, 【思路点拨】(Ⅰ) 先将函数解析式等价变形为 y ? A sin(? x ? ?
比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程.

?) ? b 或 y ? A cos(? x ? ? ?) )? ?b b 的形式,再利用正、余弦函数 (Ⅱ)将函数 h( x) 变形为 y ? A sin(? x ? ?
的图象和性质求出最小值时 x 的集合. 【规范解答】 ( Ⅰ ) f ( x )

?

1 1 ? 1 ? cos 2 x ? sin(2 x ? )? sin 2( x ? ) 2 2 2 2 4 ,所以要得到 f ( x) 的图象只需把

? 1 g ( x) 的图象向左平移 4 个单位长度,再将所得的图象向上平移 4 个单位长度即可。
1 1 1 2 ? 1 cos 2 x ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 2 4? 2 4 4, (Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2

2x ?
当且仅当

?
4

? 2k ? ? ? (k ? z)

1? 2 2 4 Z) 时 h( x) 取 得 最 小 值 ,此时对应的 x 的集合为
-6-

3? ? ? ?x ? k? ? , k ? z? ?x 8 ? ?。 { Z}
?) )? ?b b或 【 方 法 技 巧 】 1 、 三 角 函 数 中 的 图 象 变 换 问 题 一 般 要 先 将 表 达 式 化 简 到 y ? A sin(? x ? ?
y ? A cos(? x ? ? ?) ? b b 的形式(两函数所用三角函数要同名) ,然后再通过比较两函数的振幅、周期、相
位等写出变化过程。 2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、

?) ? b 或 y ? A cos(? x ? ? ?) ? b b 的形式,然后结合三角函数的图象和性 二倍角公式等化到 y ? A sin(? x ? ?
质求解。 11.(2010·湖北高考理科·T16)已知函数

?? ? ?? ? f ? x ? ? cos ? ? x ? cos ? ? x ? g ? x ? ? 1 sin 2 x ? 1 3 3 ? ? ? ?, 2 4.
(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数

f ? x?

的最小正周期. 的最大值,并求使

h ? x? ? f ? x? ? g ? x?

h ? x?

取得最大值的 x 的集合.

【命题立意】本题主要考查两角和与差的正、 余弦公式、二倍角公式的应用,考查函数

f ? x ? A sin(? x ? ? ?) ? b b (或 f ? x ? = A cos(? x ? ? ?) ? b )的最小正周期求法以及利用函数图象求函数值 =
域,考查考生的运算求解能力.

【思路点拨】 (Ⅰ)将函数 (Ⅱ)将函数

f ? x?

?) ? b 的形式,然后利用公式 化简成 A sin(? x ? ?

T?

2?

?

求其最小正周期.

h ? x? ? f ? x? ? g ? x?

sin(? x ? ? ?))? ?b b 的形式,然后利用余弦函数的性质求其最大 化简 成 A Acos

值以及取得最大值的 x 的集合.

?? ? ?? ? f ? x ? ? cos ? ? x ? cos ? ? x ? ?3 ? ?3 ? 【规范解答】 (Ⅰ)

1 3 1 3 ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) 2 2 2 ? 2
1 3 cos 2 x ? sin 2 x 4 ?4 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x ? 8 8 ? 1 1 cos 2 x ? 4, ?2

-7-

因此

f ? x?

2? ?? 的最小正周期为 2 .

? 1 1 2 ? 2 x ? ? 2 k? ( k ? z ) h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 cos(2 x ? 4 ) 4 (Ⅱ) ,当且仅当 Z)时,

? ? ? 2 x ?x ? k? ? , k ? z ? ? h ? x? h ? x? 8 ? 取得最大值 2 , 取得最大值时,对应的 x 的集合为? { Z}
【方法技巧】复杂的三角函数问题如求周期、值域等,首先要将函数解析式利用同角三角函数的基本关系 式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等化到最简,然后结合三角函数的图象和性质求 解。

f ( x) ? (1 ? cot x) sin 2 x ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 4 4 . 12.(2010·江西高考文科·T19)已知函数
(1)若 tan ? ? 2 ,求 f (? ) .

?

?

x ?[ , ] 12 2 ,求 f ( x) 的取值范围. (2)若
【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正 切、两角和的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性 质、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查基本运算能力. 【思路点拨】 (1)先对 f ( x ) 进行化简,再用二倍角公式求出 sin 2? 和 cos 2? 的值,最后代入计算; (2)也要先化简,再求取值范围. 【规范解答】 (1) f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos 2 x
2

? ?

?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?

1 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2, sin 2? ? 2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5 ,

由 tan ? ? 2 得

cos 2? ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5,
3 5.

f (? ) ?
所以

1 1 2 ? 1 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2, (2)由(1)得

-8-

? ? ? 5? 5? ? 2 x ?[ , ] 2 x ? ?[ , ] sin(2 x ? ) ? [? ,1] 12 2 得 4 12 4 ,所以 4 2 由
f ( x) ?
从而

2 ? 1 1? 2 sin(2 x ? ) ? ? [0, ] 2 4 2 2 .

【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容,主要考查三角函数的变换.特别是二倍角公式,平 时应加强对这些知识点的训练 并熟练掌握函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质.对于本题第(1)问,应先化简到只 含 sin 2 x 和 cos 2 x 的形式,再利用条件求解.

-9-



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