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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第10节 函数模型及其应用



第二章 函数、导数及其应用

第十节

函数模型及其应用

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理]

一、几种常见的函数模型
函数模型 一次函数 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)

模型
二次函数 模型

/>
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

第二章 函数、导数及其应用

指数函 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且

数模型 a≠1,b≠0)
对数函 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0 数模型 且a≠1,b≠0) 幂函数 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0, 模型 n≠0)

第二章 函数、导数及其应用

二、三种增长型函数模型的图象与性质

函数
在(0,+∞)

y=ax(a>1)
增函数 越来越快

y=logax(a>1)
增函数 越来越慢

y=xn(n>0)
增函数

上的增减性
增长速度 相对平稳

随x增大逐渐表 随x增大逐渐表 随n值变化 图象的变化 现为与 y轴 平行 现为与 x轴 平行 而不同

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评]
1.( 教材习题改编 )f(x)=x2 ,g(x)= 2x, h(x) =log2x ,当x∈(4, +∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中 正确的是 A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) ( B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) )

B [由图象知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依

次为g(x)>f(x)>h(x).]

第二章 函数、导数及其应用

2.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的
高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的 ( )

B [由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]

第二章 函数、导数及其应用

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月 1 2 生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)= x +2x+20(万 2 元).一万件售价是 20 万元,为获取最大利润,该企业一个月 应生产该商品数量为 A.36 万件 C.22 万件 B.18 万件 D.9 万件 ( )

1 B [利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142, 2 当 x=18 时,L(x)有最大值.]

第二章 函数、导数及其应用

4.一种产品的成本原为 a元,在今后的 m年内,计划使成本 平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0<x≤m)的

函数,其关系式y=f(x)可写成______________________
______________________________________________. 解析 依题意有y=a(1-p%)x(0<x≤m). 答案 y=a(1-p%)x(0<x≤m)

第二章 函数、导数及其应用

5.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边

靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成
三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积 为______________.(围墙厚度不计)

第二章 函数、导数及其应用

200-x 解析 设矩形的长为 x m,宽为 4 m, 200-x 1 则 S=x· 4 =4(-x2+200x). 当 x=100 时,Smax=2 500 m2. 答案 2 500 m2

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨]

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

2.解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面; (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数;的限制条件.

第二章 函数、导数及其应用

一次函数与二次函数模型
[典题导入] 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门 的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一 种可利用的化工产品.

第二章 函数、导数及其应用

已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理 成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= 1 2 2x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为 100 元. 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利, 则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] 则

设该单位每月获利为 S,
? 000? ?

?1 2 S=100x-y=100x-?2x -200x+80 ?

1 2 =- x +300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利, 需要国家每月至少补贴 40 000 元, 才能不亏损.

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法]
1.在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型,其增长特点是直线上升 ( 自变量的系数大于 0) 或直线 下降 ( 自变量的系数小于 0) ,对一次函数模型,主要是利用一 次函数的图象与单调性求解.

2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利
润问题、产量问题等.对二次函数模型,一般是利用配方法并 结合二次函数图象与单调性解决.

3.在解决一次函数、二次函数的应用问题时,一定要注意定
义域.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40 cm与

60 cm,现将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩
形的一个角.问怎样剪,才能使剩下的残料最少?

第二章 函数、导数及其应用

解析

如图,剪出的矩形为 CDEF,

设 CD=x,CF=y, 则 AF=40-y. AF FE ∵△AFE∽△ACB,∴AC=BC, 40-y x 即 40 =60.

第二章 函数、导数及其应用

2 ∴y=40- x.剩下的残料面积为 3 1 2 2 S= ×60×40-x· y= x -40x+1 200 2 3 2 = (x-30)2+600. 3 ∵0<x<60, ∴当 x=30 时,S 取得最小值为 600,这时 y=20. ∴在边长 60 cm 的直角边 CB 上截 CD=30 cm,在边长为 40 cm 的直角边 AC 上截 CF=20 cm 时,能使所剩残料最少.

第二章 函数、导数及其应用

分段函数模型
[典题导入] (2014· 武汉模拟)某公司生产一种产品,每年需投入固定 成本 0.5 万元, 此外每生产 100 件这样的产品, 还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量 为t
? 1 2? 件时,销售所得的收入为?0.05t-20 000t ?万元. ? ?

第二章 函数、导数及其应用

(1) 该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品 所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x),求f(x);

(2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大.

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

(1)当 0<x≤500 时,

? ? x 1 2 +0.5? f(x)=0.05x-20 000x -?0.25× 100 ? ?

x2 19 1 =- + x- , 20 000 400 2
? ? x 1 2 ? + 0.5 当 x>500 时,f(x)=0.05× 500-20 000× 500 -?0.25× 100 ? ?

1 =12-400x, 1 19 1 ? 2 ?-20 000x +400x-2(0<x≤500), 故 f(x)=? ?12- 1 x(x>500). 400 ?

第二章 函数、导数及其应用

x2 19 1 (2)当 0<x≤500 时,f(x)=- + x- 20 000 400 2 1 345 2 =-20 000(x-475) + 32 , 345 故当 x=475 时,f(x)max= 32 . 1 5 344 345 当 x>500 时,f(x)=12-400x<12-4= 32 < 32 , 故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大.

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法]

1 . 很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给
出,而是由几个不同的关系式构成分段函数,如出租车票价 与路程之间的关系,就是分段函数. 2 .分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同, 可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,

再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 2.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨 时,每吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨

3.00元.某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两户
该月用水量分别为5x,3x(吨). (1)求y关于x的函数; (2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙 两户该月的用水量和水费.

第二章 函数、导数及其应用

解析 (1)当甲的用水量不超过4吨时,

即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,
y=1.8(5x+3x)=14.4x; 当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨, 即3x≤4,且5x>4时, y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.

当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,
y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.

第二章 函数、导数及其应用

? ?14.4x,0≤x≤4, 5 ? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8,5<x≤3, ? ? 4 24x-9.6,x>3. ? ? (2)由于 y=f(x)在各段区间上均单调递增, 当 当
? ?4? 4? x∈?0,5?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? ?4 4? ?4? x∈?5,3?时,y≤f?3?<26.4; ? ? ? ?

第二章 函数、导数及其应用



?4 ? x∈?3,+∞?时,令 ? ?

24x-9.6=26.4,

解得 x=1.5.所以甲户用水量为 5x=5×1.5=7.5 吨, 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70 元; 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70 元.

第二章 函数、导数及其应用

指数函数模型

[典题导入] 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年 砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 1 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今 4 2 年为止,森林剩余面积为原来的 2 .

第二章 函数、导数及其应用

(1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多还能砍伐多少年?

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]
10

(1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1).

?1? 1 1 1 10 则 a(1-x) =2a,即(1-x) =2,解得 x=1-?2?10. ? ?

2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 ,
?1? m ?1?1 2 m 1 10 2 ? ? ? ? 则 a(1-x) = 2 a,即 2 = 2 ,10=2, ? ? ? ?
m

解得 m=5.故到今年为止,已砍伐了 5 年.

第二章 函数、导数及其应用

(3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 2 则 n 年后剩余面积为 2 a(1-x)n. 2 2 n 1 n 令 2 a(1-x) ≥4a,即(1-x) ≥ 4 ,
?1? n ?1?3 n 3 ? ?10≥? ?2, ≤ ,解得 10 2 ?2? ?2?

n≤15.

故今后最多还能砍伐 15 年.

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型

y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数
模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形 式.解题时,往往用到对数运算和开方运算,要注意用已知 给定的值对应求解.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练]
3 .某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂 量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y( 微克) 与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

第二章 函数、导数及其应用

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25微克时治

疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.

第二章 函数、导数及其应用

解析

kt (0≤t≤1), ? ? (1)由图象,设 y=??1?t-a ? ? (t>1), ? 2 ?? ?

当 t=1 时,由 y=4 得 k=4,
?1?1-a 由?2? =4 ? ?

得 a=3. (0≤t≤1), (t>1).

4t ? ? 所以 y=??1?t-3 ? ? ? ??2?

第二章 函数、导数及其应用

(2)由 y≥0.25

t>1, ? ? ? 0 ≤ t ≤ 1 , ? 得? 或??1?t-3 ? ? ? ≥0.25, ?4t≥0.25 ? ??2?

1 解得16≤t≤5. 1 79 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5-16=16(小时).

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 函数的实际应用问题 (2014·长沙十二校联考)某创业投资公司拟投资开 发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收

益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:
万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超 过9万元,同时奖金不超过收益的20%.

第二章 函数、导数及其应用

x (1)请分析函数 y=150+2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并 说明原因; 10x-3a (2)若该公司采用函数模型 y= 作为奖励函数模型,试确 x +2 定最小的正整数 a 的值.

第二章 函数、导数及其应用

x 【思路导析】 利用给出函数模型结合题意, 转化为 f(x)≤5或 g(x) x ≤5是否恒成立问题. 【解析】 x (1)对于函数模型 y=f(x)=150+2,

当 x∈[10,1 000]时,f(x)为增函数, 1 000 20 f(x)max=f(1 000)= 150 +2= 3 +2<9,

第二章 函数、导数及其应用

所以 f(x)≤9 恒成立, 1 10 但当 x=10 时,f(10)=15+2> 5 , x 即 f(x)≤5不恒成立, x 故函数模型 y=150+2 不符合公司要求.

第二章 函数、导数及其应用

10x-3a (2)对于函数模型 y=g(x)= , x +2 3a+20 即 g(x)=10- , x+2 20 当 3a+20>0,即 a>- 3 时递增, 为使 g(x)≤9 对于 x∈[10,1 000]恒成立, 982 即要 g(1 000)≤9,3a+18≥1 000,即 a≥ 3 , x 为使 g(x)≤5对于 x∈[10,1 000]恒成立,

第二章 函数、导数及其应用

10x-3a x 即要 ≤ ,即 x2-48x+15a≥0 恒成立, 5 x+2 即(x-24)2+15a-576≥0(x∈[10,1 000])恒成立, 又 24∈[10,1 000], 192 故只需 15a-576≥0 即可,所以 a≥ 5 . 192 综上,a≥ 5 ,故最小的正整数 a 的值为 39.

第二章 函数、导数及其应用

【高手支招】 解函数应用题的一般程序是:
第一步:理清题意;分析题目中的条件与结论,理顺数量关 系,弄清所求问题; 第二步:数学建模;结合题意及问题,用数学知识建立相应 的数学模型; 第三步:求解模型;求解数学模型,得到数学结论; 第四步:问题回答;将上步中解决得到的结论还原到实际问

题中,作出回答.

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考] (2013· 重庆高考 ) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 ( 不

计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V
立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/ 平方米,底面的建造成本为 160 元 / 平方米,该蓄水池 的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;

(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r 和h为何值时该蓄水池的
体积最大.

第二章 函数、导数及其应用

解析

(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100· 2πrh=200πrh 元,底

面的总成本为 160πr2 元, 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h=5r(300-4r2), π 从而 V(r)=πr h= (300r-4r3). 5
2

因 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).

第二章 函数、导数及其应用

π (2)因 V(r)= (300r-4r3), 5 π 故 V′(r)= 5 (300-12r2).

令 V′(r)=0, 解得 r1=5, r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内, 舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0, 故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.

第二章 函数、导数及其应用

课时作业



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