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吉林省松原市扶余县第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题



高二理科数学试题(解析) (3)
刘海武
第 I 卷 (选择题 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一

项符合要求. 1.若 a ? R 则“ a ? 2 ”是“ (a ? 1)( a ? 2) ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件


2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

2.椭圆 x ? my ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A.

1 4

B.

1 2
a b

C.2

D.4

3. 设a ? 0, b ? 0.若 3是3 和3 的等比中项,则 ? 的最小值为 ( A. 8 B. 4 C. 1 D.

1 a

1 b

)

1 4
( )

4. 椭圆的一个顶点与两个焦点构等边三角形,则此椭圆的离心率是 A.

1 5
2 2

B.

3 4

C.

1 2

D.

3 3
1 ,则所得曲线的方程 3
) D.

5.若圆 x ? y ? 4 上每个点的横坐标不变.纵坐标缩短为原来的 是 A. (

x y ? ?1 4 12

2

2

B.

x y ? ?1 4 36
)

2

2

C.

x 9y ? ?1 4 4
1 (1 ? x ? 10) lg x

2

2

x y ? ?1 36 4

2

2

6.下列函数中最小值为 2 的是( A. y ?

x 5 ? ( x ? R且x ? 0) 5 x
x ?x

B. y ? lg x ?

C. y ? 3 ? 3 ( x ? R)
2 2

D. y ? sin x ?

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

2 7.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的图象是





1

8.已知命题 p:若实数满足 x ? y ? 0 ,则 x, y 全为 0; 命题 q:若 a ? b则
2 2

1 1 下列为真 ? , a b

命题的是( ) A. p∧q 9.已知椭圆

B. p∨q

C.┐p

D. (┐p)∧(┐q)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF ? x轴 , a2 b2
? ?

直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( A.

) D. 1

3 2

B.

2 2
2 2

C.. 1

3

2

10.若双曲线的顶点为椭圆 x ? 的积为 1,则双曲线的方程是( A. x ? y ? 1
2 2 2

y ? 1 长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率 2

2

B. y ? x ? 1

C. x ? y ? 2
2 2

D. y ? x ? 2
2 2

11.已知命题 p:存在实数 m 使 m ? 1 ? 0 ,命题 q:对任意 x ? R都有x 2 ? mx ? 1 ? 0 ,若 p 且 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A. (??,?2] B. [2,??) ) . C. (??,?2] ? (?1,??) D. [?2,2]

x2 y2 12. F1 为双曲线 C: ? ? 1 的左焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i (i ? 1,2,3) 关于 y 轴 9 16
对称, 则 | p1 F1 | ? | P2 F1 | ? | P3 F1 | ? | P4 F1 | ? | P5 F1 | ? | P6 F1 | 的值是 ) ( A.9 B.16 C.18 D.27 P4 P5 P6 o P2 P1 x y P3

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在

试卷上的答案无效. 13.命题“ ?x ? R, 使x ? ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则 a 的取值范围是
2



2 y 14.设双曲线 x ? a2
为 .
2

2

b2

? 1(a ? 0? b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3? 则双曲线的渐近线方程

15.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于 .

16.当 x ? 1时,不等式 x ? a ?

1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 x ?1



三、解答题:共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 求下列各曲线的标准方程. (1).已知椭圆的两个焦点分别是 (?2,0), (2,0) ,并且经过点( (2).已知抛物线焦点在 x 轴上,焦点到准线的距离为 6.

5 3 ,? ) . 2 2

18. (本小题满分 12 分) 1 x 已知 c > 0,设 命题 p :函 数 y ? c 为减函 数,命题 q :当 x ∈ [ , 2] 时,函 数 2

f ( x) ? x ?

1 1 ? 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围. x c

19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0)(4,0) 为动点,且满足 , ,C

sin B ? sin A ?

5 sin C , 求点 C 的轨迹方程,并说明它是什么曲线. 4

3

.20. (本小题满分 12 分) 已知图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米. (1)求该拱桥所在抛物线的标准方程. (2)若在水面上有一宽为 2 米,高为 1.6 米的船只能否安全通过拱桥?

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的短轴长为 2 3 ,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0) (1)求这个椭圆的标准方程; (2)如果直线 y ? x ? m 与这个椭圆交于不同的两点 A, B ,求 m 的取值范围. (3)若(2)中 m ? 1 ,求该直线与此椭圆相交所得弦长 AB .

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率 e ? ,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与 2 3 a b
3 . 2

原点的距离为

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在

k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

4

高二数学参考答案 3

x2 y2 17.(1) 解: 因为椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
5 3 5 3 2a ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? 2 10 2 2 2 2
所以 a ? 10
2 2 2

??????????3

因为 c ? 2, 所以b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6

所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 10 6

?????????5

1 ②p 为假,q 为真时,p 为假,c≤0 或 c≥1;q 真,c> ,∴c≥1. ??????10 2 1 综上可知,c 的取值范围为 0<c≤ 或 c≥1 2 (文科)解:由命题 P 可知: 2 ? x ? 5 ??????12 设 A ? {x | 2 ? x ? 5}

因为命题 q 可知: m ? x ? m ? 1 设 B ? {x | m ? x ? m ? 1}
5

因为q是p的充分条件,所以B ? A
?m ? 2 ? ?m ? 1 ? 5
解得: 2 ? m ? 4

19.(理科)解:由 sin B ? sin A ?

5 5 sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ?????2 4 4

即 | AC | ? | BC |? 10 >|AB|=8,满足椭圆的定义。??????5

设椭圆方程为

x2 a
'2

?

y2 b
'2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,

则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ??????10 25 9
??????12

图形为椭圆(不含左,右顶点) 。

(文科)解: | AC | ? | BC |? 10 >|AB|=8,满足椭圆的定义。

x2 y2 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 a ? 5, c ? 4 ? b ? 3 , a b
则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ??????10 25 9

图形为椭圆(不含左,右顶点) 。 ??????12 20. 解:(1)如图建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

??????2

已知点(2,-2)在抛物线上,代入解得 p ? 1 所以抛物线的标准方程为 x ? ?2 y ??????6
2

时,y ? -0.5所以2 - 0.5 ? 1.5 ? 1.6 (2)当 x ? 1
所以此船只不能安全通过拱桥。 ??????12

6

?????12 (文科) (1) 因为椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为 因为 2b ? 2 3 所以b ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

3

因为 c=1 所以 a ? b ? c ? 4
2 2 2

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ?????6 4 3

?y ? x ?1 ? 2 (2) 由 ? x 2 整理得: 7 x ? 8x ? 8 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4
设 A( x1 , y1 ) B(x 2 , y 2 ) 所以|AB|=

x1 ? x2 ? ?

8 7

x1 x2 ? ?

8 7

?????10

24 7

?????12

7

12

8



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