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河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题


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试卷类型:A 唐山市 2012—2013 学年度高三年级第一次模拟考试


说明:







一、本试卷分为第 I 卷和第 II 卷. 第 1 卷为选择题:第 II 卷为非选择题,分为必考和选考两部 分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“ 注意事项” ,按照“ 注意事项” 的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动,用橡 皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第 I卷
—、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项













_















.

(1)设集合 A= {1, 2}.则满足 A ? B={1,2, 3, 4}的集合 B 的个数是 (A) 2 (2)若 g 数 (A) (B) 3 (C) 4 (D) 5

a ? 2i ( a ? R ) 为纯虚数,则|3―ai| = 1? i
(B) 13 (C) 10 (D)

13

10

(3)已知 a ? (0, ? ), cos(a ?

?
6

)?

2 则 tan2a= 2

(A)

3 3

(B) ?

3 3

(C)

3

(D) - 3

(4)求二个不相等的实数 a.b, c 最大值的 程序框图 如图所示,则空内判断框内应 为

(A) a>b?

1

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(B) a>c? (C) d>b 或 a>c? (D) a>b 且 a>c? (5)已 知 向 量 a, b 满 足 : (a+2b) ?(a - b) =-6,且

|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角



? 6 2? (C) 3
(A)

(B) (D)

? 3

5? 6

(6 ) 函 数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 的 图 象 如 图 所 示 , 为 了 得 到 函 数

y ? c o s ?x ? (


?
6

) 的 图 象 , 只 需 将 y=f(x)的 图

? 个单位 3 ? (B ) 向 右 平 移 个单位 3 ? (C ) 向 左 平 移 个单位 6 ? (D ) 向 心 平 移 .个 单 位 6
(A ) 向 左 平 移

[ 来 源 : 学

# 科

# 网

Z # X # X # K ]

(7 ) 已 知 命 题 p: ?x ? [ ,1],

1 2

1 ? a ? 0 命 题 q : ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 . 若 x
( B ) a ? ?2或a ? 1

p ? q 是真 命 题 , 则 实 数 a 的取值范围是
(A) a ? 1

( C )

a ? ?2或1 ? a ? 2

( D )

?2 ? a ?1

?x ? y ? 1 ? 0 ? 15 (8 ) 不 等 式 组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 . , 则 a= 2 ?ax ? y ? 2a ? 0 ?
(A)

4 7

(B) 1

(C) 2

(

D

)

3

(9)二棱柱 ABC-A l B 1 C 1 的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,则异面 AB1

与 BC 所成角的余弦值为

2

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( A )

6 4

( B )

1 4

( C )

3 4

( D )

2 4

(10)己 知 直 线 l 的 斜 率 为 k,它 勾 抛 物 线 y2=4x 相 交 于 A, B 两 点 , F 为 抛 物

线 的 焦 点 , 若 AF ? 2FB , 则 | k | =

( A )

2 2

( B )

3

( C )

2 4

( D )

3 3

( 1 1 ) x 0 函 数 f ( x ) = 2 s i n x — π l n x ( x ? ( O , π ) ) 的 零 点 , x 1 <x2? , 则 ①x0 ? (1,e) ② x
0

?

(

1

,

π

)



③f(x1)-f(x2)<0
其中正确的命题为

④f(x1)-f(x2)>0.

(A) ①③ (C) ②③) ( D

(B) ①④ ) ② ④

(12)如图 I,边长为 2 的 d 正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将 Δ ADE, Δ CDF,Δ BEF 折 起 ,使 A ,C,B 二 点 重 合 于 G, 所 得 二 棱 锥 G-DEF 的 俯 视 图 如 图 2 ,



















( A )

1 2

( B )

2 3 2 2

( C )

2

2 3

( D )
第 II 卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上.

5x ?1 2 ( 1 3 ) 不 等 式 x 的 解 集 为 _ _ _ _ _ _ _ ? 5 ?1 3
(14)双曲线 C 的中心在原点,焦点在;C 轴上,离心率 e ?

[





:



_



_



]

6 , 其焦点到渐近线的 2
_ _ _ _ _ _







L



C









_

3

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(15)某单位为了了解每天用电量 y(度)与当 天最高气温 x (0C)之间的关系,随机统 计了某 4 天的用电量与当天的最高气温,并制作了对照表 . 由表中数据得线性回归方程为

? ? y ? ?3.2 x ? a





? a



_

_

_

_

_

_

_

(16)Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边 a,b, c 成等差数列,且最大角是最小角的 2 倍, 则
c o s A + c o s C = _ _ _ _ _ _ .

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) 题

— (21)题为必考题,(22), (23), (24)

为 选 考 题 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .

(17)(本小题满分 12 分)
已知等比数列{a n }满足 a1 a 2

1 1 ? ? , a3 ? 3 9

(

(I)求{a n }的通项公式; (II) 设 bn ?

bn n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ... ? ,求数列 { } 的前 n 项的和. 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) an

[来源:学.科.网]

(18)( 本小题满分 12 分) 某公司共冇职工 8000 名,从中随机抽取了 100 名,调杏上、下班乘车所用时间,得 下表:

公司规定,按照乘车所用时间每月发给职工 路途补贴,补贴金额 Y ( 元)与乘市时间 t ( 分钟) 的关系是

y ? 200 ? 40[

t t t ] ,其中 [ ] 表示不超过 [ ] 的最大整数.以样本频率为概率: 20 20 20

(I ) 求公司一名职工每月用于路途补贴不超过 300 元的概率; (II ) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元).

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(19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P- ABCD 的底面是矩形,侧 面 PAD 丄底面 ABCD,.

?APD ? 900

(I )求 证 : 平 面 P A B 丄 平 面 P CD (II) 如 果 P-ABCD 的体积. AB=BC=2, PB=PC= 6 求四棱锥

(20)( 本小题满分 12 分)

已知椭圆 C 1 :

x2 ? y 2 ? 1 和动圆 C2 : x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,直线 l:y=kx+m 与 C1 和 C 2 分 4

别有唯一的公共点 A 和 B.

(I) 求 r 的取值范围; (II )求 | A B | 的 最 大 值 , 并 求 此 时 圆 C 2 的方程.

5

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(21)( 本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ?

mx ? n -1 在 x=1 处取得极值 e . x e

(I ) 求函数 f(x)的解析式,并求 f(x)的单调区间; (II)当 x>0 时,试证:f(1+x)>f(1-x).

请考生在第( 22), (23), ( 24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分. 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黒. (22)( 本小题满分 10 分)选修 4- 1:几何证明选讲

如图,直线 MN 交圆 0 于 A,B 两点,AC 是直径,AD 平 分 ?CAM ,交圆 0 于点 D, 过 D 作 DE 丄 MN 于 E.

(I ) 求证:DE 是圆 O 的切线;
(II

)若 DE=6 ,AE=3,求 ΔABC 的 面 积

(23)( 本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程

.

极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴. 己知 曲线 C 1 的极坐标方程为 p=4cos θ 曲线 C 2 的参数方程是 ?

? x ? m ? t cos a 0 (t 为参数, ? a ? ? ) , ? y ? t sin a

射 ? ? ? ,? ? ? ? 线

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C 1 交于极点 O 外的三点 A,B, C.

(I ) 求证: | OB | ? | OC |? (II )当 ? ?

2 | OA | ;

?
12

时,B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 a 的值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

6

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已知函数 f(x)=丨 x—a 丨+ |x—1 丨,a∈R. (I )当 a=3 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; (II)当 x ? (?2,1) )时,F(X)>|2x-a-1|.求 a 的取值范围

7

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唐山市 2012—2013 学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CAADB B 卷:BBADC 二、填空题: (13)(1,+∞) 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设 an=a1qn 1,依题意,有


CBCDA DCCAB

BB BA

x2 (14) 2 -y2=1

(15)53.2

7 (16) 8

?a a =a q=- 3 , 1 解得 a =1,q=- 3 . ? 1 ?a =a q = 9 ,
1 2 2 1 2

1

1

?4 分

3

1

1 所以 an= - 3

(

)

n-1



?5 分

n+1 n+1 n+1 1 1 1 (Ⅱ)bn= + +?+ =(n+1) + +?+ 1×2 2×3 n(n+1) 1×2 2×3 n(n+1)

[

]
?7 分

1 1 1 1 1 =(n+1) 1- 2 + 2 - 3 +?+ n - =n. n+1

[(

) (

)

(

)]

bn 记数列 a 的前 n 项的和为 Sn,则

{ }
n

Sn=1+2×(-3)+3×(-3)2+?+n×(-3)n 1, -3Sn=-3+2×(-3)2+3×(-3)3+?+n×(-3)n, 两式相减,得 1-(-3)n - 4Sn=1+(-3)+(-3)2+?+(-3)n 1-n× (-3)n= -n × (-3)n, 4 1-(4n+1)(-3)n 故 Sn= . 16 (18)解: (Ⅰ)当 0≤t<60 时,y≤300. 记事件“公司 1 人每月用于路途补贴不超过 300 元”为 A. ?2 分 ?12 分



8

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25 50 15 则 P (A)=100+100+100=0.9. (Ⅱ)依题意,公司一名职工每月的平均路途补贴为 -=200×25+240×50+280×15+320×5+360×5=246(元) x 100

?6 分

?10 分

该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 246×8000=1968000(元) ?12 分 . (19)解: (Ⅰ)因为四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,所以 CD⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,所以 CD⊥PA. ? 又∠APD= 2 ,即 PA⊥PD,而 CD∩PD=D,所以 PA⊥平面 PCD. 因为 PA?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD.
P

?4 分

O A B

D

C

(Ⅱ)如图,作 PO⊥AD,垂足为 O,则 PO⊥平面 ABCD. 连结 OB,OC,则 PO⊥OB,PO⊥OC. 因为 PB=PC,所以 Rt△POB≌Rt△POC,所以 OB=OC. 依题意,ABCD 是边长为 2 的正方形,由此知 O 是 AD 的中点. 在 Rt△OAB 中,AB=2,OA=1,OB= 5. 在 Rt△OAB 中,PB= 6,OB= 5,PO=1. 1 4 故四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 3 AB2·PO= 3 . (20)解: ?10 分 ?12 分 ?7 分

?x +y2=1, ? (Ⅰ)由? 4 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0. ?y=kx+m, ?
由于 l 与 C1 有唯一的公共点 A,故 Δ1=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=0,

2

9

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从而 m2=1+4k2.
?x2+y2=r2, 由? 得(1+k2)x2+2kmx+m2-r2=0. ?y=kx+m,

① ?2 分

由于 l 与 C2 有唯一的公共点 B,故 Δ2=4k2m2-4(1+k2)(m2-r2)=0, 从而 m2=r2(1+k2). r2-1 由①、②)得 k2= . 4-r2 由 k2≥0,得 1≤r2<4,所以 r 的取值范围是[1,2). (注:由图形直接看出 r 取值范围而未做代数推理的只给 1 分) (Ⅱ)设 A (x1,y1),B (x2,y2),由(Ⅰ)的解答可知 4km 4k km kr2 x1=- =- m ,x2=- =- m . 1+4k2 1+k2 k2(4-r2)2 1+k2 2 |AB| =(1+k )(x2-x1) =(1+k )· m2 = m2 ·k ·(4-r2)2
2 2 2 2

② ?4 分

?6 分

(r2-1)(4-r2) 1 r2-1 =r2· ·(4-r2)2= , r2 4-r2 4 所以|AB|2=5- r2+r2 (1≤r<2) .

(

)

?10 分

4 因为 r2+r2≥2×2=4,当且仅当 r= 2时取等号, 所以当 r= 2时,|AB|取最大值 1,此时 C2 的方程为 x2+y2=2. (21)解: mx+n-m (Ⅰ)f ?(x)=- . ex 依题意,f (1)=e 1,f ?(1)=0,即


?12 分

?(m+n)e 1=e ? -1 ?-ne =0,



-1

, 解得 m=1,n=0.

?4 分

x 所以 f (x)=ex. x-1 f ?(x)=- ex . 当 x∈(-∞,1)时,f ?(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f ?(x)<0. 函数 f (x)在(-∞,1)单调递增;在(1,+∞)单调递减. 1+x 1-x (1+x)e x-(1-x)ex (Ⅱ)设 g (x)=f (1+x)-f (1-x)= 1+x - 1-x = . e e e


?6 分

?8 分

10

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1+x - 设 h (x)=(1+x)e x-(1-x)ex= ex -(1-x)ex, x(e2x-1) 则 h ?(x)= ex >0,h (x)在(0,+∞)单调递增,h (x)>h (0)=0, ?10 分 所以 g (x)>0,从而 f (1+x)>f (1-x). (22)解: (Ⅰ)连结 OD,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA. 因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD. ?2 分 ?12 分

因为∠EAD+∠EDA=90?,所以 ∠EDA+∠ODA=90 ?,即 DE⊥OD. 所以 DE 是圆 O 的切线.
C

?4 分

D O M E A B N

(Ⅱ)因为 DE 是圆 O 的切线,所以 DE2=EA·EB, 即 62=3(3+AB),所以 AB=9. 因为 OD∥MN, 所以 O 到 MN 的距离 等于 D 到 MN 的距离,即为 6 又因为 O 为 AC 的中点,C 到 MN 的距离等于 12 1 故△ABC 的面积 S= 2 AB·BC=54. (23)解: (Ⅰ)依题意,
[来源:Zxxk.Com]

?6 分

?8 分 ?10 分

? ? |OA|=4cos φ,|OB|=4c os φ+ 4 ,|OC|=4cos φ- 4 ,

(

)

(

)

?2 分

? ? 则|OB|+|OC|=4cos φ+ 4 +4cos φ- 4

(

)

(

)
?5 分

=2 2(cos φ-sin φ)+2 2(cos φ+sin φ)=4 2cos φ, = 2|OA|. ? ? ? (Ⅱ)当 φ=12时,B,C 两点的极坐标分别为 2, 3 , 2 3,- 6 .

(

) (

)

化为直角坐标为 B (1, 3),C (3,- 3).

?7 分

11

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C2 是经过点(m,0),倾斜角为 α 的直线, 又经过点 B,C 的直线方程为 y=- 3(x-2), 2? 所以 m=2,α= 3 . (24)解: ?9 分
[来源:Zxxk.Com]

?10 分

?4-2x,x≤1, ? 1≤x≤3, (Ⅰ)当 a=3 时,f (x)=?2, ?2x-4,x≥3. ?
当 x<2 时,由 f (x)≤4 得 4-2x≤4,解得 x≥0; 当 1≤x≤3 时,f (x)≤4 恒成立; 当 x>3 时,由 f (x)≤4 得 2x-4≤4,解得 x≤4. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|0≤x≤4}. (Ⅱ)因为 f (x)=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|, 当(x-1)(x-a)≥0 时,f (x)=|2x-a-1|; 当(x-1)(x-a)<0 时,f (x)>|2x-a-1|. 记不等式(x-1)(x-a)<0 的解集为 A,则(-2,1)?A,故 a≤-2, 所以 a 的取值范围是(-∞,-2]. ?10 分 ?7 分 ?4 分 ?5 分

12



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