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高考一轮复习:函数与方程



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第8讲
【2015 年高考会这样考】

函数与方程

1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数. 2.利用函数零点求解参数的取值范围. 3.利用二分法求方程的近似解. 【复习指导】 (1)准确理解函数零点的概念,方程的根、函数与 x 轴的

交点,三者之间的区别 与联系,能够实现彼此之间的灵活转化,并能利用特殊点的函数值,根据零点存 在性定理来判断函数零点所在的区间;(2)灵活运用函数图象,将函数零点转化 为两个函数图象的交点,注重数形结合思想的应用.

基础梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b) <0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布 根的分布(m<n <p 为常数) 图象 满足条件 Δ>0 ? ? b ?-2a<m ? ?f?m?>0

x1<x2<m

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m<x1<x2

Δ>0 ? ? b ?-2a>m ? ?f?m?>0 f(m)<0

x1<m<x2

m<x1<x2<n

? ?m<-2ba<n ?f?m?>0 ? ?f?n?>0
Δ>0

m<x1<

n<x2<p

?f?m?>0 ?f?n?<0 ?f?p?>0
Δ=0 ? ? ? b m<-2a<n ? ? f(m)· f(n) <0 或

只有一根在 (m,n)之间 3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义

对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε;②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε.即:若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复
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②③④.

一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同号 去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断. 两个防范 (1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,是数不是点. (2)若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函 数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不 能说就没有零点.如图,

f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性 定理的条件是充分条件,但并不必要. 三种方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线, 且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数 有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的 横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 双基自测 1.(2011· 福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 Δ>0,即 m2-4
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).

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>0,解得 m<-2 或 m>2,故选 C. 答案 C 2.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( A.至少有一个 C.有且只有一个 答案 B 3.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标 的是( ). B.至多有一个 D.可能有无数个 ).

A.①② 答案 B

B.①③

C.①④

D.③④

4.(2011· 新课标全国)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 ( ? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? 解析 1? ? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ? ).

1 1 1 1 ?1? 1 ?1? 1 因为 f?4?=e4+4×4-3=e4-2<0,f?2?=e2+4×2-3=e2-1>0,所 ? ? ? ?

?1 1? 以 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为?4,2?. ? ? 答案 C 5.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实 数 a 的取值范围是________. 解析 函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)<0,即 a(a+2)<0, 解得-2<a<0. 答案 (-2,0)

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考向一

函数零点与零点个数的判断 ).

2 ?x +2x-3,x≤0 【例 1】?(2010· 福建)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+ln x,x>0

A.3 B.2 C.7

D.0

[审题视点] 函数零点的个数?f(x)=0 解的个数?函数图象与 x 轴交点的个数. 解析 法一 由 f(x)=0 得

?x≤0, ?x>0, ? 2 或? 解得 x=-3,或 x=e2. ?x +2x-3=0 ?-2+ln x=0, 因此函数 f(x)共有两个零点. 法二 函数 f(x)的图象如图所示

可观察函数 f(x)共有两个零点. 答案 B 对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑: (1)结合函数图象; (2)根据零点存在定理求某些点的函数值;(3)利用函数的单调性判断函数的零点 是否唯一等. 【训练 1】 函数 f(x)=log3x+x-3 的零点一定在区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 函数 f(x)=log3x+x-3 的定义域为(0,+∞),并且在(0,+∞)上 ).

解析 法一

递增连续,又 f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,∴函数 f(x)=log3x+x-3 有唯一 的零点且零点在区间(2,3)内. 法二 方程 log3x+x-3=0 可化为 log3x=3-x,在同一坐标系中作出 y=log3x 和 y=3-x 的图象如图所示,可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内.

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答案 C 考向二 有关二次函数的零点问题

【例 2】 ?是否存在这样的实数 a, 使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3] 上与 x 轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出 a 的取值范围,若不存 在,说明理由. [审题视点] 可用零点定理去判断,注意对函数端点值的检验. 8? 8 ? 解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9?a-9?2+9>0 ? ? ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 1 所以 a≤-5或 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1.所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. 1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=-5,此时 f(x)=x2- 5 x-5. 13 6 令 f(x)=0,即 x2- 5 x-5=0, 2 解之得 x=-5或 x=3. 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-5. 1 综上所述,a<-5或 a>1. 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可 用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图象列不 等式组.
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【训练 2】 关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时 (1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于 2,另一根小于 2; (4)在(1,3)内有且只有一解 解 设 f(x)=x2-2ax+a+2, Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).

?Δ> 0, (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, ?x1· x2=a+2>0,

解得 a>2.

?1<a<3, (2)由已知条件? f?1?>0, ?f?3?>0,
Δ>0,

11 解得 2<a< 5 .

(3)由已知条件 f(2)<0,解得 a>2. 11 (4)由已知条件 f(1)f(3)<0 解得 5 <a<3. 11 7 检验:当 f(3)=0,a= 5 时,方程的两解为 x=5,x=3, 当 f(1)=0,即 a=3 时,方程的两解为 x=1,x=5, ?Δ=0, 11 可知 5 ≤a<3.当? ?a=2. ?1<a<3 即 a=2 时 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2 方程的解 x1=x2=2 11 ∴a=2,综上有 a=2 或 5 ≤a<3. 考向三
2

函数零点性质的应用

e2 【例 3】?已知函数 f(x)=-x +2ex+t-1,g(x)=x+ x (x>0,其中 e 表示自然对 数的底数). (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 t 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 分析:(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解.
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[审题视点] 画出函数图象,利用数形结合法求函数范围. e2 ∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e,

解 (1)法一

等号成立的条件是 x=e. 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点. e2 法二 作出 g(x)=x+ x 的图象如图:

可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e. 法三 解方程由 g(x)=m, 得 x2-mx+e2=0. m ? ? >0 此方程有大于零的根,故? 2 ? ?Δ=m2-4e2≥0 ?m>0 等价于? ,故 m≥2e. ?m≥2e或m≤-2e

(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根, 即 g(x)=f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两 e2 个不同的交点,作出 g(x)=x+ x (x>0)的图象.

∵f(x)=-x2+2ex+t-1 =-(x-e)2+t-1+e2. 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 t-1+e2. 故当 t-1+e2>2e,即 t>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0
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有两个相异实根. ∴t 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至 不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了, 当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形 结合法求解. 【训练 3】 已知函数 f(x)=ax3-2ax+3a-4 在区间(-1,1)上有一个零点. (1)求实数 a 的取值范围; 32 (2)若 a=17,用二分法求方程 f(x)=0 在区间(-1,1)上的根. 解 (1)若 a=0,则 f(x)=-4 与题意不符,∴a≠0, ∴f(-1)· f(1)=8(a-1)(a-2)<0,∴1<a<2. 32 32 64 28 (2)若 a=17,则 f(x)=17x3-17x+17, 28 ∴f(-1)>0,f(1)<0,f(0)=17>0, ?1? ∴零点在(0,1)上,又 f?2?=0, ? ? 1 ∴f(x)=0 的根为2.

难点突破 6——如何利用图象求解函数零点问题 数形结合是重要的思想方法之一,也是高考考查的热点问题,利用函数图象判断 方程是否有解, 有多少个解是常见常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的 有效方法, 其基本思路是把函数分成两个函数的差,分析的基本思想是分析后的 函数图象比较容易做出,则函数零点个数就是两函数图象交点的个数. 一、判定函数零点的个数 【示例】? (2011· 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 ).

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二、判断零点的范围 【示例】? (2011· 山东)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3 <b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________.

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