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河南省豫北六校2012届高三4月第三次精英联考word版(数学理)



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河南省豫北六校 2012 届高三年级第三次精英联考

数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)~(24) 题为选做题,其它题为必做题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效, 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回, 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上; 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标 号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹 清晰; 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效; 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损; 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号 涂黑, 参考公式: 1.柱体体积公式:V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高 2.锥体体积公式: v =

1 Sh 3

其中 S 为底面面积,h 为高

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的, 1.已知集合 M = {?2, ?1, 0,1, 2}, P = { x | A.{0,1} 2.复数 B.{-1,0}

1 < 3x < 9, x ∈ R}, 则M I P = 3
C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}

3 +i 1 ? 3i

(i为虚数单位) 等于
D.-i

A.l B. -1 C.i 3.某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是 A.124 B.144 C.192 D.256 4. tan x = “

3 π ”是“ x = 2k π + ( k ∈ Z ) ”成立的 3 6
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A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ≥ 1, y ?1 ? 5.实数 x,y 满足不等式组 ? y ≥ 0, 则W = 的取值范围是 x ? x ? y ≥ 0, ?
A.[一 1,1) 6.已知函数 y=sin(6r+ B.[一 1,2) C. (-1,2) D.[一 1,1]

π
4

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移

π
个单

8

位,所得函数的一个对称中心是 A. (

π

16

, 0)

B. (

π
9

, 0)

C. (

π
4

, 0)

D. (

π
2

, 0)

7.下面是计算 P-l×2×3×4×…×2012 的程序框图,则判断框中的 M 代表 A.i<2012 B.i>2012 C.i= 2011 D.i>2011 8.函数 y=xsin(

π
2

-x)在坐标原点附近的图象可能是

9.已知 {an } 的前 n 项和 S n = n ? 6n则当n > 3时 , | a1 | + | a2 | + L + | an | 的值是
2

A. n ? 6n ? 18
2

B.

n 2 ? 6n + 18 2

C. n ? 6n + 18
2

D.

n 2 ? 6n + 18 2

10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为以,再由,乙猜甲刚才所想的 数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a, b ∈ {0,1, 2,3}, 若 | a ? b |≤ 1, 则称甲乙“心有灵 犀” .现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 A.

2 9

B.

7 18

C.

4 9

D.

11.偶函数 f ( x )满足f ( x ? 2) = f ( x + 2), 且在x ∈ [0, 2]时, f ( x ) = 2 cos 方程 f ( x ) = ( ) , 在x ∈ [ ?2, 6] 上解的个数是
x

π
4

1 9

x, 则关于 x 的

1 2

A.l B.2 C.3 D.4 12.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称 两条平行线和圆 “相交” 若两平行直线和圆没有公共点, ; 则称两条平行线和圆 “相离” ; 若两平行直线和圆有一个、 两个或三个不同的公共点, 则称两条平行线和圆 “相切” 已 .
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2

知直线 l1 : 2 x ? y + a = 0, l 2 : 2 x ? y + a + 1 = 0和圆 : x + y + 2 x ? 4 = 0 相切,则 a 的取值范围是 A. a > 7或a < ?3 C.-3≤a≤一 6 或 6 ≤a≤7 B. a >

6或a < ? 6

D.a≥7 或 a≤—3

第Ⅱ卷(共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 ( x ?

1 2 x
3

)n 的展开式中第四项为常数项,则 n=



14.某产品的广告费用 z 与销售额 y 的统计数据如下表

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y = bx + a中的b 为 9.4,据此模型预测广告费用为 6 万元时销
售额为____. 15.已知直线 y=x+l 与曲线 y= ln(x+a)相切,则 a 的值为 16.给出以下四个命题:



①已知命题 p: ?x ∈ R , tan x = 2; 命题q : ?x ∈ R , x 2 ? x + 1 ≥ 0, 则命题p ∧ q 是真命 题; ②过点(-1,2)且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 x+y-1=0; ③函数 f ( x) = 2 x + 2 x ? 3 在定义域内有且只有一个零点; ④若直线 xsin α+ycos α+l=0 和直线 x cos α ? 则角 α = kπ +

π
2

或α = 2 k π +

π
6

1 y ? 1 = 0 垂直, 2

(k ∈ Z).

其中正确命题的序号为 . (把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题(解答应写出必要的文字说明,证阴过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 是递增数列, a2 a5 = 32, a3 + a4 = 12, 数列{bn }满足bn =

1 . an

(I)求数列 {bn } 的通项公式;

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(Ⅱ)求数列 {nbn } 的前 n 项和 S n . .

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC =∠CAD=60°,PA⊥平 面 ABCD,E 为 PD 的中点,AB=1,PA=2. (I)证明:直线 CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PAC 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、 完善人格的训练, 某大学生拓展训练中心 着眼于大学生的实际情况, 精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目, 并设置如下计 分办法:

据调查,大学生挑战甲项目的成功概率为告,挑战乙项目的成功概率为导,挑战丙项目 的成功概率为专. (I)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率, (Ⅱ)记该同学挑战三个项目后所得分数为 X,求 X 的分布列并预测该同学所得分数的 数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,过点 a 2 b2

A 与 AF2 垂直的直线交 z 轴负半轴于点 Q,且 2 F1 F2 + F2 Q = 0 ,过 A,Q,F2 三点的圆 的半径为 2.过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G,H 两点(点 G 在点 M,H 之 间) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 的斜率 k>0,在 x 轴上是否存在点 P(m,0) ,使得以 PG,PH 为邻边的
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平行四边形是菱形.如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知 a>0,函数 f ( x ) =

a ? 1 + ln x, g ( x) = (?1 + ln x)e x + x(e为自然对数的底数). x

(I)求函数 f ( x ) 在区间(0,e]上的最小值 h(a ) ; (Ⅱ)是否存在 x0 ∈ (0, e] 使曲线 y=g(x)在点 x = x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在, 求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ABCD 为圆内接四边形,AB⊥AD,延长 BC、AD 相交于点 E,过三点 D、C、E 的圆与 BD 的延长线交于点 F. 求证:EC·EB—DB·DF =DE2.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? ?x = 2 t ? 设直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极 ?y = ? 2 + 1 t ? ? 2 2
点,Ox 正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为

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π ρ = 2 2 cos(θ + ).
6
(I)求直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 设函数 f ( x ) =| 2 x ? m | +4 x. (I)当 m=2 时,解不等式: f ( x ) ≤1; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ 2 的解集为{xlx≤—2},求 m 的值。

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