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江西省崇仁县第二中学学高二数学下学期第二次月考试题文-精



崇仁二中 2015-2016 学年度高二第二次月考试卷 数学(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( y ? 2 ? 3 t ?
2 3
C.

/>
)

2 3

B. ?

3 2

D. ?

3 2
2

2.在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数 R 如下, 其中拟合效果最好的为( ) A. 模型①的相关指数为 0.976 B. 模型②的相关指数为 0.776 C. 模型③的相关指数为 0.076 D. 模型④的相关指数为 0.351 3.参数方程 ?

? x ? 2 ? cos? ??为参数? 表示的平面曲线是( ? y ? 3 ? sin ?
B.椭圆 C.圆

)

A. 双曲线

D.抛物线 )

4.已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?

1 3 ? i 的共轭复数为 z ,则 z ? z ? ( 2 2
C.

A. ?

1 3 ? i 2 2

B.

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i 2 2
)

D. ?

1 3 ? i 2 2

5..条件 p : x ? 1,条件 q : x ? ?2 ,则 p 是 q 的(

A.必要不充分条件 B.充分 不必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 6.右图是集合的知识结构图,如果 要加入“全集”,则应该放在( ) A.“集合的概念”的下位 集合 B.“集合的表示”的下位 C.“基本关系”的下位 D.“基本运算”的下位

集合的概念 集合的表示 集合的运算 基本运算 (第 6 题) D. 1 ? 2i ) D. ? 2, 基本关系

3 ? 4i ?( 7. 设复数 z ? 1 ? i ,则 z ?1 A. ?2 ? i B. 2 ? i
8.在极坐标系中,圆 ? ? A. ?1,

) C. ?1 ? 2i

2 (cos? ? sin ? ) 的圆心的极坐标是(
?1 ? ? , ? ?2 4?
C. ? 2 ,

? ?? ? ? 4?

B. ?

? ?

??
? 4?

? ?

??
? 4?

9 . 甲、乙两人同时报考某一大学,甲被录取的概率是 0.6,乙被录取的概率是 0.7,两人

1

是否录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( A. 0.12 B. 0.42 C. 0.46 D. 0.88 10.已知直线 l : ? ( ) A. 2 B. 3 C.2 D.1

)

?x ? t ,圆 C : ? ? 2cos ? ,则圆心 C 到直 线 l 的距离是 (t为参数) ? y ? t ?1

11.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( ) A. a ? b ? a ? c ? b ? c B. a ?
2

1 1 2 ? a ? a a
1 ?2 a ?b

C. a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a 12.若 a>b> 0,则代数式 a ?
2

D. a ? b ?

1 的最小值为( ) b( a ? b)

A.2 B.3 C.4 D.5 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 2 上 的 点 到 直 线 ________ 14.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停 在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点,若它停在偶数 点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点,若青蛙从 5 这个点开 始跳,则经 2015 次跳后停在的点对应的数为________.
第 14 题

? (cos? ?

3 sin ? ? ) 的 6 距离的最小值是

15.在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB +AC =BC 。 ”拓 展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出 的正确结论是:“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面△ABC、△ACD、△ADB 两两相互垂直,则 ____________________” 16.若 a、b、c 都是正数,且 a ? b ? c ? 2 ,则

2

2

2

4 1 ? 的最小值为 a ?1 b ? c

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

2

17. (本小题满分 10 分) 已知 a, b ? R ,且 a ? b ? 1

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求证: ?a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 2

18.(本小题满分 12 分) 某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况, 随机抽取了 60 名学生进行统计得到如 下样本频数分布表: 月消费金额 (单位:元) 人数 30 6 9 10 3 2

记月消费金额不低于 300 元为“高消费”,已知在样本中随机抽取 1 人,抽到是男生 “高消费”的概率为

1 . 6

(1)从月消费金额不低于 400 元的学生中随机抽取 2 人,求至少有 1 人月消费金额不 低于 500 元的概率; (2) 请将下面的 2 ? 2 列联表补充完整, 并判断是否有 90%的把握认为 “高消费” 与 “男 女性别”有关,说明理由. 高消费 男生 女生 合计 下面的临界值表仅供参考: 25 60 非高消费 合计

P(

)

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024
2

0.010 6.635

0.005 7.879

(参考公式: k ?

2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n(ad ?bc)

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

19.(本题满分 12 分) 西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着,甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试,已知甲能被 录用的概率为 为

2 1 ,甲、乙两人都不能被录用的概率为 ,乙、丙两人都能被录用的概率 3 12

3 . 8

(1)乙、丙两人各自能被录用的概率; (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标
3

t ? x ? 1? ? 2 ? 系,直线 l 的参数方程 ? . (t为参数) ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ?

? x? ? 3x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) ,求 ? y ? y ?

x ? 3 y 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) (1)求集合 A ;

已知不等式 x ? 1 ? x ?1 ? 8 的解集为 A

(2)若 ?a, b ? A, x ? (0, ??) ,不等式 a ? b ? x ?

9 ? m 恒成立,求实数 m 的最 小值. x

22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C ?

? x ? 6cos ? ,以坐标原点 O 为极 (?为参数) ? y ? 3sin ?

点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若点 A, B 为曲线 C 上的两点,且 OA ? OB ,求 OA ? OB 的最小值.

崇仁二中 2015-2016 学年度高二第二次月考试卷 数学(文)答案 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A C B A D B 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 8 A 9 D 10 A 11 D 12 C

4

13.

1

14. 16.

3 3

15. 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分) 17 证明:? a, b ? R, a ? b ? 1,? b ? 1 ? a

?? a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 9 ? a 2 ? b 2 ? 4(a ? b) ? 2 2 9 ? a 2 ? (1 ? a) 2 ? 4 ? 2 1 ? 2a 2 ? 2a ? 2 1 ? 2(a ? ) 2 ? 0 2 25 1 2 2 即 ?a ? 2? ? ?b ? 2? ? (当且仅当 a ? b ? 时,取等号) 2 2
(还有其它证法)
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18 解: (1)样本中,月消费金额在 ? 400,500 ? 的 3 人分别记为 A1 , A2 , A3 . 月消费金额在大于或等于 500 的 2 人分别记为 B1 , B 2 . 从月消费金额不低于 400 元的 5 个中,随机选取两个,其所有的基本事件如下:
( A1 , A2 ) ,( A1 , A3 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A2 , A3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , B2 ) ,( A3 , B1 ) ,( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) ,共 10 个

记“至少有 1 个月消费金额不低于 500 元”为事件 A 则事件 A 包含的基本事件有 ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) ,
( B1 , B2 ) ,共 7 个

所以至少有 1 个月消 费金额不低于 500 元的概率为 P( A) ?

7 . 10

1 (2)依题意,样本中男生“高消费”人数 60 ? ? 10 . 6
高消费 男生 女生 合计 10 5 15 非高消费 20 25 45 合计 30 30 60

60 ? (10 ? 25 ? 20 ? 5) 2 30 ? 30 ? 45 ? 15 20 ? ? 2.706 9 所以没有 90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关. 19 解(1)设乙、丙能被录用的概率分别为 x,y, K2 ?
则 (1 ? )(1 ? x) ? 解得 x ?

2 3

1 3 且 xy ? , 12 8

3 1 ,y? 4 2

5

3 1 ∴乙、丙能被录用的概率分别为 , 4 2 (2)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为 A、B、C, 2 3 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,∵事件 A、B、C, 3 4 2 ∴ P( ABC ? ABC ? ABC ? ABC )

? P( A)P( B)P(C ) ? P( A)P( B)P(C ) ? P( A)P( B)P(C ) ? P( A)P( B)P(C ) 2 3 1 2 1 1 1 3 1 2 3 1 17 = × × + × × + × × + × × = 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 24
20 解: (1)直线 l : y ? 2 ? 3( x ?1) 即 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 圆 C : x2 ? y2 ? 1 (2)曲线 C ? :

x2 ? y2 ? 1 9

令?

? x ? 3cos ? ? 0 ? ? ? 2? ? ,则 ? y ? sin ?

?? ? x ? 3 y ? 3cos ? ? 3 sin ? ? 2 3 sin ? ? ? ? 3? ?
? 0 ? ? ? 2?

3 ? 3? ? 当? + ? ,即sin(? ? ) ? ?1, x ? 3 y的最小值 ? ?2 3 3 2 3
21.解: (1)由 x ? 1 ? x ?1 ? 8得-?4 ? x ? 4 ,? 原不等式的解集 A ? (?4, 4) (2)由(1)知: a, b ? A ? (?4, 4) ? a ? b ? (?8,8) ,又 x ? (0, ??) 时,

?

?
3

?? ?

?

?

7? 3

x?
?

9 9 (当且仅当 x ? 3 时等号成立) ; ? 2 x? ? 6 , x x

依题意得: 6 ? m ? 8 ? m ? 2 ,故实数 m 的最小值为: m ? 2

22 解: (1)依题意曲线 C 的普通方程为 ∵ x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ∴曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
2

x2 y2 ? ? 1. 36 9

36 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

6

(?1,?) (2)由对称性,设点 A、B 的极坐标分别为 ,(? 2,? ?
|OA | | ? OB | ? ?1 ×?2 ? 则 6 cos ? ? 4sin ?
2 2

?
2
?

) ,其中 ? ? ?0, )
2

?

?

6
2 2 cos( ?? ) ? 4sin( ?? ) 2 2

?

?

6 1 ? 3 sin 2 ?

?

6 1 ? 3cos2?

?

36 4 ? 9 sin 2 ? cos2 ?

?

36 9 4 ? sin 2 2? 4

?

72 . 5

当且仅当 sin 2 2θ = 1 即 ? ?

? 72 |OA | | ? OB | , 取到最小值 . 4 5

7



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