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全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---导数及其应用(一)



全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 《导数及其应用》 三、计算题 a ; x (Ⅰ)当 a ? 0 时,判断 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 2,求 a 的值; 【 解 】( Ⅰ ) 由 题 意 : f ( x ) 的 定 义 域 为 ( 0 ?? , , ) 且 1 a x?a f ?( x) ? ? 2 ?

2 . x x x a ? 0,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上是单调递增函数. x?a (Ⅱ)由(1)可知: f ?( x) ? x2 ① 若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x ) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, 此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为增函数, ? f ?x??min ? f ?1? ? ?a ? 2 ? a ? ?2 (舍去) ② 若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上为减函数, a ? ? f ?x ??min ? f ?e ? ? 1 ? ? 2 所以, a ? ?e e ③ 若 ?e ? a ? ?1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a , 当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (1, ?a) 上为减函数, ? f (x )在 (?a, e) 上 为增函 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0, 1.已知函数 f ( x) ? ln x ? 数, ? f ?x??min ? f ?? a? ? ln(?a) ? 1 ? 2 综上可知: a ? ?e a ? ?e (舍去) , 2.设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) , a , b ? R 。 (1)若 a ? b , ab ? 0 ,过两点 O (0, 0) 和 A( a , 0) 的中点作 x 轴的 垂线交曲线 y ? f ( x) 于点 P( x0 , f ( x0 ) ) ,求证:曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线 l 过点 ( b , 0 ) ; (2) 若b ? a ? 0, 当 x ? [ 0 , | a | ] 时 f ( x) ? 2 a2 恒成立, 求实数 a 的取值范围。 【解】 (1)由已知得 x 0 ? a , 2 f ( x0 ) ? , a a ? (? 2 2 a a a , (b ? ) ) , 2 4 2 3 2 由 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ? x ? (a ? b) x ? abx ,得 即 P( , 2 f / ( x) ? 3x2 ? 2(a ? b ? 曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线 l 的斜率 a a a a2 k ? f / ( ) ? 3( ) 2 ? 2(a ? b) ? ? ab ? ? , 2 2 2 4 2 2 a a a a (b ? ) ? ? ( x ? ) , 方程为 y ? 4 2 4 2 2 2 a a a a (b ? ) ? ? (b ? ) ,故 当 x ? b 时, y ? 4 2 4 2 y? , 所以点 ( b , 0 ) 在切线 l 上, 即曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线 l 过点 a2 a a2 (b ? ) ? (b 4 2 4 (b,0)


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