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高中数学教学中微积分的应用


轵 诤   敛 育磊 赶 l 代扯   学 科 弛 学   高 中数 学教 学 中微 积分 的应用  河北 省 怀 来 县沙 城 中 学( 0 7 5 4 0 0 )刘 炳 瑛  微积 分的创 立是数 学发 展 中的里程 碑 ,它 的发 展和 广泛  应 用开 创 了向近代数 学过渡 的新时 期 ,为研 究变量 和函 数提  由表 中可 知 , x = 上 为函数 月  J 的极小值 点 , Y撤 小=一   。   当o <   时, , f x ) < 0 , 所 以在 区间f O , e ] 上最大值 为 8 , 最 小  供 了重要 的方法和 手段 。 《 普 通高 中数学 课程标 准》 ( 以下简称  《 课标》 ) 对微积分教学内容进行了改革。 《 课标》 和过去的高中     。   数学教 学大纲 相比 ,一大特 点是将 一元 函数微 积分 的部 分 内  值为 一 e   容 拿到 高 中教材 中 , 让 中学生初 步 了解 微积分 的思 想 , 为 高等  在 高考 中 ,关于 函数极值 问题 比较 常见 的题型 是 已知 函  数 学 的学 习打 下基础 。那么 ,微积 分在 高 中数 学 中有哪 些应  数的极值 确定字母 的取值范 围或值 。   用?本 文将举 例说 明微积分 在判定 函数的单 调性 、 极值 , 讨论  例: ( 2 0 0 8四川 卷 理 )已 知 x = 3是 函 数 - 厂f   J = a l n ( 1 + x )   方 程 的根 , 证明不 等式和 恒等式 , 求 切线方程 、 作函 数图 象 、 求  + x 2 . 1 O x的一个 极值点 , 求a 。   平 面区域 的面积等方 面的应用 。   1   导数在高 中数学 中的应 用  解: 因 为f  =  } 1= - + 2 x - 1 0 , 所以f   r 3 J : _ a _+ 6 — 1 0 = 0 , 因此  .   y  ‘L   《 课标 》 中对微 积分 的教 学 内容明确 提 出 : “ 导数概 念是 微  a=1 6。   . 3 导数在方程 解的 问题 上的应 用。   积 分的核 心概念 之一 ,它有极 其丰 富的实 际背 景和 广泛 的应  1 1 . 3 . 1   利用导 数判定单 调性 , 可研究方 程根的个 数问题 。   用。 要 求学 生通过大 量实 例 , 经历 由平 均变化率 到瞬时变化 率  例: m> 3 , 则方程 -  斗 l = 0在[ 0 , 2 ] 上 有多少根 ?   刻 画现实 问题 的过程 , 理解 导数概 念 , 体会导 数 的思想 及其 内  解 : 设 , f   J =  - m  ̄+ l , 贝 0 , , f   ) = 3  一 2 m x ,   涵; 了解 导数 在研 究 函数 的单调 性 、 极 值 等性 质 中的作 用 , 初  步 了解 定积 分的概念 , 为 以后进一步学 习微积分 打下基础 ” 。   当 m> 3且 m∈[ 0 , 2 ] 时, , 似J < 0 ,   故 列在( 0 , 2 ) 上单调 递 减 , 而f f x ) 在x = O与 x = 2处 都连  1 . 1   导数在 函数单调性 问题上的应 用。函数 的单调性 是 函数  续 , 且 , f O ) = 1 > 0 , , f 2 户9 — 4 m < 0   的最 基本性质之 一 , 是研究 函数所要掌握 的最基本 的知识 。用

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