高中数学教学中微积分的应用

轵 诤 　 敛 育磊 赶 ｌ 代扯 　 学 科 弛 学 　 高 中数 学教 学 中微 积分 的应用　 河北 省 怀 来 县沙 城 中 学（ ０ ７ ５ ４ ０ ０ ）刘 炳 瑛　 微积 分的创 立是数 学发 展 中的里程 碑 ，它 的发 展和 广泛　 应 用开 创 了向近代数 学过渡 的新时 期 ，为研 究变量 和函 数提　 由表 中可 知 ， ｘ ＝ 上 为函数 月　 Ｊ 的极小值 点 ， Ｙ撤 小＝一 　 。 　 当ｏ ＜ 　 时， ， ｆ ｘ ） ＜ ０ ， 所 以在 区间ｆ Ｏ ， ｅ ］ 上最大值 为 ８ ， 最 小　 供 了重要 的方法和 手段 。 《 普 通高 中数学 课程标 准》 （ 以下简称　 《 课标》 ） 对微积分教学内容进行了改革。 《 课标》 和过去的高中 　 　 。 　 数学教 学大纲 相比 ，一大特 点是将 一元 函数微 积分 的部 分 内　 值为 一 ｅ 　 容 拿到 高 中教材 中 ， 让 中学生初 步 了解 微积分 的思 想 ， 为 高等　 在 高考 中 ，关于 函数极值 问题 比较 常见 的题型 是 已知 函　 数 学 的学 习打 下基础 。那么 ，微积 分在 高 中数 学 中有哪 些应　 数的极值 确定字母 的取值范 围或值 。 　 用？本 文将举 例说 明微积分 在判定 函数的单 调性 、 极值 ， 讨论　 例： （ ２ ０ ０ ８四川 卷 理 ）已 知 ｘ ＝ ３是 函 数 － 厂ｆ 　 Ｊ ＝ ａ ｌ ｎ （ １ ＋ ｘ ） 　 方 程 的根 ， 证明不 等式和 恒等式 ， 求 切线方程 、 作函 数图 象 、 求　 ＋ ｘ ２ ． １ Ｏ ｘ的一个 极值点 ， 求ａ 。 　 平 面区域 的面积等方 面的应用 。 　 １ 　 导数在高 中数学 中的应 用　 解： 因 为ｆ 　＝ 　｝ １＝ － ＋ ２ ｘ － １ ０ ， 所以ｆ 　 ｒ ３ Ｊ ： ＿ ａ ＿＋ ６ — １ ０ ＝ ０ ， 因此　 ． 　 ｙ　 ‘Ｌ 　 《 课标 》 中对微 积分 的教 学 内容明确 提 出 ： “ 导数概 念是 微　 ａ＝１ ６。 　 ． ３ 导数在方程 解的 问题 上的应 用。 　 积 分的核 心概念 之一 ，它有极 其丰 富的实 际背 景和 广泛 的应　 １ １ ． ３ ． １ 　 利用导 数判定单 调性 ， 可研究方 程根的个 数问题 。 　 用。 要 求学 生通过大 量实 例 ， 经历 由平 均变化率 到瞬时变化 率　 例： ｍ＞ ３ ， 则方程　－ 　斗 ｌ ＝ ０在［ ０ ， ２ ］ 上 有多少根 ？ 　 刻 画现实 问题 的过程 ， 理解 导数概 念 ， 体会导 数 的思想 及其 内　 解 ： 设 ， ｆ 　 Ｊ ＝ 　－ ｍ ￣＋ ｌ ， 贝 ０ ， ， ｆ 　 ） ＝ ３ 　一 ２ ｍ ｘ ， 　 涵； 了解 导数 在研 究 函数 的单调 性 、 极 值 等性 质 中的作 用 ， 初　 步 了解 定积 分的概念 ， 为 以后进一步学 习微积分 打下基础 ” 。 　 当 ｍ＞ ３且 ｍ∈［ ０ ， ２ ］ 时， ， 似Ｊ ＜ ０ ， 　 故　列在（ ０ ， ２ ） 上单调 递 减 ， 而ｆ ｆ ｘ ） 在ｘ ＝ Ｏ与 ｘ ＝ ２处 都连　 １ ． １ 　 导数在 函数单调性 问题上的应 用。函数 的单调性 是 函数　 续 ， 且 ， ｆ Ｏ ） ＝ １ ＞ ０ ， ， ｆ ２ 户９ — ４ ｍ ＜ ０ 　 的最 基本性质之 一 ， 是研究 函数所要掌握 的最基本 的知识 。用