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高一数学1.2.1-1任意角的三角函数课件新课标人教版必修4


1.2

任意角的三角函数

1.2.1 任意角的三角函数 第一课时

问题提出

1.角的概念是由几个要素构成的, 1.角的概念是由几个要素构成的,具体 角的概念是由几个要素构成的 怎样理解? 怎样理解?
(1)角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角为正角, 按逆时针方向旋转形成的角为正角, 正角 按顺时针方向旋转形成的角为负角 负角, 按顺时针方向旋转形成的角为负角,没有 作任何旋转形成的角为零角 零角. 作任何旋转形成的角为零角. (3)角的大小是任意的. 角的大小是任意的.

b = a + 2k p (k  Z )

2.什么叫做1弧度的角? 2.什么叫做1弧度的角?度与弧度是怎 什么叫做 样换算的? 样换算的?
(1)等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. 弧度的角. (2)180°= π rad. 180°

与角α 3. 与角α终边相同的角的一般表达式 是什么? 是什么?
β=α+k·360°(k∈Z)或 k·360° k∈Z) b = a + 2kp(k   ) Z

4.如图,在直角三角形ABC中 sinα, 4.如图,在直角三角形ABC中,sinα, 如图 ABC cosα,tanα分别叫做角 分别叫做角α 正弦、 cosα,tanα分别叫做角α的正弦、余 弦和正切,它们的值分别等于什么? 弦和正切,它们的值分别等于什么?
BC sin a = AB
BC tan a = AC

AC cos a = AB

B α

C

A

5.当角α不是锐角时, 5.当角α不是锐角时,我们必须对 当角 sinα,cosα,tanα的值进行推广 的值进行推广, sinα,cosα,tanα的值进行推广, 以适应任意角的需要. 以适应任意角的需要.

知识探究( ):任意角的三角函数 知识探究(一):任意角的三角函数 思考1 为了研究方便,我们把锐角α 思考1:为了研究方便,我们把锐角α 锐角 放到直角坐标系中,并使角α 放到直角坐标系中,并使角α的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α的终边上取一点P 在角α的终边上取一点P(a,b),设点 , 与原点的距离为r 那么,sinα, P与原点的距离为r,那么,sinα, cosα,tanα的值分别如何表示 的值分别如何表示? cosα,tanα的值分别如何表示?

sin α = cos α = tan

b A sinα = y r P(a, P( ,b) a r cosα = r α b Bx o tanα = a 思考2 对于确定的角α 思考2:对于确定的角α,上述三个比值 是否随点P在角α 是否随点P在角α的终边上的位置的改变 而改变呢?为什么? 而改变呢?为什么?
b a r a r

思考3 为了使sinα,cosα的表示式更 思考3:为了使sinα,cosα的表示式更 sinα 简单,你认为点P的位置选在何处最好? 简单,你认为点P的位置选在何处最好? 此时,sinα,cosα分别等于什么 分别等于什么? 此时,sinα,cosα分别等于什么?

sinα = b
cosα = a
b tanα = a
o

y

1
α

P(a,b) P( ,

x

思考4 在直角坐标系中,以原点O 思考4:在直角坐标系中,以原点O为圆 以单位长度为半径的圆称为单位圆 单位圆. 心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α的终边上一点P 要使|OP|=1 |OP|=1, 对于角α的终边上一点P,要使|OP|=1, 的位置如何确定? 点P的位置如何确定?
α的终边 P

y

O

x

思考5:设α是一个任意角,它的终边 思考5 是一个任意角, 与单位圆交于点P(x,y),为了不与 与单位圆交于点P ),为了不与 当α为锐角时的三角函数值发生矛盾, 为锐角时的三角函数值发生矛盾, 你认为sinα,cosα,tanα对应的值 你认为sinα,cosα,tanα对应的值 sinα 应分别如何定义? 应分别如何定义?

sinα = y
cosα = x

α的终边 P(x, P(x,y)

y

O

x

y tanα = (x ≠ 0) x

思考6 对于一个任意给定的角α 思考6:对于一个任意给定的角α,按 照上述定义,对应的sinα cosα, sinα, 照上述定义,对应的sinα,cosα, tanα的值是否存在 是否惟一? 的值是否存在? tanα的值是否存在?是否惟一?

sinα = y
cosα = x

α的终边 P(x, P(x,y)

y

O

x

y tanα = (x ≠ 0) x

cos 思考7 思考7:对应关系 sinα = y , α = x , y 都是以角为自变量, tanα = (x ≠ 0) 都是以角为自变量,以单位圆
x

上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 分别称为正弦函数 余弦函数和正切函数, 正弦函数、 分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数, 并统称为三角函数 在弧度制中, 三角函数, 并统称为三角函数,在弧度制中,这三个三 角函数的定义域分别是什么? 角函数的定义域分别是什么? 正、余弦函数的定义域为R, 余弦函数的定义域为R
R 正切函数的定义域是 {a 喂 | a p + kp, k   } Z 2

思考8:若点P(x,y)为角α终边上任 思考8 若点P 为角α 意一点,那么sinα,cosα,tanα对应 意一点,那么sinα,cosα,tanα对应 sinα 的函数值分别等于什么? 的函数值分别等于什么?
sinα =
tan α = y x

y x +y
2 2

y

cosα =

x x +y
2 2

O

x
P(x, P(x,y)

y tanα = x

知识探究( ):三角函数符号与公式 知识探究(二):三角函数符号与公式 思考1 当角α在某个象限时, 思考1:当角α在某个象限时,设其终 边与单位圆交于点P ),根据三 边与单位圆交于点P(x,y),根据三 角函数定义,sinα,cosα,tanα的 角函数定义,sinα,cosα,tanα的 函数值符号是否确定?为什么? 函数值符号是否确定?为什么?

sinα = y
cosα = x

α的终边 P(x, P(x,y)

y

y tanα = (x ≠ 0) x

O

x

思考2 思考2:设α是一个任意的象限角,那么 是一个任意的象限角, 在第一、 四象限时, 当α在第一、二、三、四象限时,sinα 的取值符号分别如何?cosα,tanα的 的取值符号分别如何?cosα,tanα的 取值符号分别如何? 取值符号分别如何?

sinα = y
cosα = x
y tanα = (x ≠ 0) x

思考3 综上分析, 思考3:综上分析,各三角函数在各个象限 的取值符号如下表: 的取值符号如下表:
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
cos α

sinα
cos α sin α

+ + +

+ - -

- - +

- + -

cosα
tanα

你有什么办法记住这些信息? 你有什么办法记住这些信息?

思考4 如果角α 思考4:如果角α与β的终边相同,那么 的终边相同, sinα与sinβ有什么关系 cosα与cosβ有 有什么关系? sinα与sinβ有什么关系?cosα与cosβ有 什么关系?tanα与tanβ有什么关系 有什么关系? 什么关系?tanα与tanβ有什么关系? 思考5 上述结论表明, 思考5:上述结论表明,终边相同的角的同 名三角函数值相等, 名三角函数值相等,如何将这个性质用一组 数学公式表达? 数学公式表达? 公式一: 公式一: sin(α + 2kπ ) = sinα
cos(α + 2kπ ) = cosα

k ∈Z

( tan(α + 2kπ ) = tanα k ∈Z)

2p

思考6 思考6:若sinα=sinβ,则角α与β的 sinα=sinβ,则角α 终边一定相同吗? 终边一定相同吗?

思考7 在求任意角的三角函数值时, 思考7:在求任意角的三角函数值时,上 述公式有何功能作用? 述公式有何功能作用?
2p

可将求任意角的三角函数值,转化为求0 可将求任意角的三角函数值,转化为求0~2p 360° 范围内的三角函数值. (或0°~360°)范围内的三角函数值. 思考8 思考8:函数的对应形式有一对一和多对一两 三角函数是哪一种对应形式? 种,三角函数是哪一种对应形式?

理论迁移

例1 求
5 π 3

5π 的正弦、余弦和正切值. 3 的正弦、余弦和正切值.

y x

y x O
1 3 P( , ) 2 2
P(-3,-4)

O

已知角的终边过点P(-3,-4 例2 已知角的终边过点P(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值. 求角的正弦、余弦和正切值.

求证: 例3 求证:当且仅当不等式组
?sinθ < 0 成立时, 为第三象限角. 成立时,角θ为第三象限角. ? ?tanθ > 0

例4 确定下列三角函数值的符号. 确定下列三角函数值的符号. π ° ° (1)cos250 ;(2)sin(? ) ;(3)tan(?672 ) ;
4
(4 ) tan3π

9π 11 π tan( ; (5)cos ; (6 ) ? ) . 6 4

小结作业

1.三角函数都是以角为自变量, 1.三角函数都是以角为自变量,在弧度 三角函数都是以角为自变量 制中, 制中,三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 在实数范围内取值.

2.三角函数的定义是三角函数的理论基 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 三角函数的定义域、函数值符号、 础,三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等,都是在此基础上推导出来的. 公式一等,都是在此基础上推导出来的.

3.若已知角α的一个三角函数符号, 3.若已知角α的一个三角函数符号,则 若已知角 所在的象限有两种可能; 角α所在的象限有两种可能;若已知角 的两个三角函数符号,则角α α的两个三角函数符号,则角α所在的 象限就惟一确定. 象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关,与点P 终边位置有关,与点P(x,y)在终边上 的位置无关. 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化, 周期性变化,即角的终边绕原点每旋转 一周,函数值重复出现. 一周,函数值重复出现.

作业: 作业: 练习: P15 练习:1,2,5,7.
3,4,6 做在书上


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