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高一数学对称问题



一.中心对称(关于点的对称) (一)点关于点的对称

点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为 (2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0) 的对称点坐标为(-x,-y).
练习:

(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.
(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(

-7,5).求M 的坐标.

(二)直线关于点的对称

直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直 线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.
例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称 的直线n的方程.
解:(法一)直接代入上面结论 (法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点 落在直线n上. (法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等. 一般地:曲线f(x,y)=0关于点M(m,n)的对称曲线 方程为f(2m-x,2n-y)=0 特别地曲线f(x,y)=0关 于原点(0,0)的对称曲线方程为f(-x,-y)=0 .

二.轴对称(即关于直线的对称)
(一)点关于直线的对称:

例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解(法一) 设B(m,n)由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即;
n ?1 ?2 m ? (?7)

=-1



? m ? 7 n ?1? , ? 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 ? 2 ? ? 2 n ?1 m?7 在直线l上,故有 2 -5=0 ② 2 2

联立①② 解得m=9

n= -7

∴B(9,-7)

(法二)∵直线AB⊥l, 直线AB过点(-7,1)
∴直线AB的方程为y-1=x ? 2y ? 5 ? 0 由 ? ? ?2 x ? y ? 5 ? 0
1 2

(x+7)
y ??3

即x+2y+5=0

解得 x ?1

?

即AB的中点为(1,-3) ,又A(-7,1) 由中点坐标公式得B的坐标为(9,-7).

小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点 Q(x1,y1)的方法: (1)(综合求解) 由点关于直线对称的定义及直 线l垂直平分线段PQ得方程组:

? y1 ? y0 ? A ? ? ? ? ? ? ?1?? (1) ? ? x1 ? x0 ? B ? ? ? A x1 ? x0 ? B y1 ? y0 ? C ? 0?? (2) ? 2 2 ?
由(1)(2)可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标 (2)(分步求解)可先求直线PQ的方程,然后解出 直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标, 最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标. (3)(利用公式)点P(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0 2 A? Ax0 ? By0 ? C ? 2 B? Ax0 ? By0 ? C ? ? ? , y0 ? 的对称点Q的坐标为 ? x0 ? ? 2 2 2 2
? A ?B A ?B ?

一般地:
点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0) 点(x0,y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0,-x0) 点(x0,y0)关于直线y=x+b的对称点为(y0-b,x0+b) 点(x0,y0)关于直线y=-x+b的对称点为(b-y0,-x0+b) 点(x0,y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为( x0,-y0) 点(x0,y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0,y0) 点(x0,y0)关于直线y=m的对称点为(x0,2m-y0) 点(x0,y0)关于直线x=n的对称点为(2n-x0,y0) 注:当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用 上述方法直接求出对称点的坐标。

(二)直线关于直线的对称
例3.求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程.
解:设直线m, l, n的斜率分别为k1 ,k, K2 . 由直线关于直线对称的定义知:直线m到 直线l的角等于直线l到直线n的角.又 k1=1,k=3

y

l
n o m

k ? k1 k2 ? k 3 ?1 k2 ? 3 ? 即 ? ∴ 1 ? kk1 1 ? k2 k 1 ? 3 ?1 1 ? k2 ? 3
解得:k2=-7

x

? x? y?2 ? 0 由 ? ?3x ? y ? 3 ? 0

5 ? ?x ? ? 2 解得 ? 9 ?y ? ?

即直线m,l,n的交点为
∴直线n的方程为

? 5 9? ? ? ,? ? ? 2 2?

9 5 y ? ? ?7( x ? )即7 x ? 2 y ? 22 ? 0 2 2

法(二): 在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直 线l的对称点A1 ? ? 17 , 9 ? 落 在直线n上,然后解出直线l和 ? ? ? 5 5? m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程. 例4.已知△ABC的顶点为A(-3,0), B(0,3), C(3,-12)求:∠A 的内角平分线所在的直线方程. 解(法一)设 :∠A平分线所在直线l的斜率为k ∵直线AC到l的角等于l到直线AB的角,又kAC=-2, kAB=1

∴ 1 ? k ? k ? 2 解得k ? 3 ? 10
1? k 1 ? 2k

∵ ∠A的内角平分线的斜率 K∈(-2,1),

y B

∴K=3- 10 其方程为 y ? (3 ? 10)(x ? 3) 即 (3 ? 10) x ? y ? 3(3 ? 10) ? 0
(法二)设∠A的内角平分线 交直线BC与点T

A

o

∵ AB ? 3 2, AC ? 6 5 CT AC 6 5 ∴ ? ? ? 10 TB AB 3 2 ∴点T分有向线段 CB 的
比为

T

x

? ? 10
C

设T(x,y),由定比分点坐标公式得:

3 ? 10 ? 0 10 ? 1 ? 12 ? 3 10 14 ? 5 10 x? ? ,Y ? ? 3 3 1 ? 10 1 ? 10
? 10 ? 1 14 ? 5 10 ? ? , ∴T ? ? ? 3 3 ? ?
由直线方程的两点式求得∠A内角平分线所在直线的方程 问(1)你会用第三种方法解这道题吗? (2) 你会求∠A外角平分线所在直线的方程吗? 一般地:求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率;也可 以转化为求点关于直线的对称点来解决。 特别地:当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以 下结论直接代入;

设直线方程为f(x,y)=0则: 直线f(x,y)=0关于直线y=x对称的直线方程为f(y,x)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=--x对称的直线方程为f(-y,-x)=0
直线f(x,y)=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f(y-b,x+b)=0

直线f(x,y)=0关于直线y=-x+b对称的直线方程

为f(b-y,-x+b)=0
直线f(x,y)=0关于直线y=0(x轴)对称的直线方程为f(x,-y)=0 直线f(x,y)=0关于直线x=0(y轴)对称的直线方程为f(-x,y)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=m对称的直线方程为f(x,2m-y)=0 直线f(x,y)=0关于直线x=n对称的直线方程为f(2n-x,y)=0

三.对称问题的应用:
(一)涉及定直线l上一点P与两定点A,B的距离和(或差) 的最值问题

1.若A,B两点在直线的同侧:
(1)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的 交点P使得|PA|+|PB|最小;

(2)直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。
2.若A,B两点在直线的异侧: (1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小; (2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点 P使得||PA|-|PB||最大.

例5.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一 点P,使得:
(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;

(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.

(二)涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对 称问题来解决.
例6.自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其 反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在 直线的方程.

练习题:
(1)点M (-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为____关于直线y=2x的对 称点为_ _ 关于点(9,0)的对称点为 (2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为________关 于直线y=-x的对称直线为________关于直线x+3=0对称直线为____ (3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为___________关于y轴 的对称直线方程为_______________关于原点的对称直线方程为 (4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和 反射光线所在的直线方程分别为_____________若光线射到直线 y=2x上呢? 1 3 (5)光线沿着斜率为 的直线l1射在斜率为 的直线l2上反射,若l1和 2 2 l2的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程.

(6)已知△ABC的一个顶点A(4,-1),其内角B,C的平分线方 程分别为y=x-1和x=1,求边BC,AB所在的直线方程. (7)直线y=2x是△ABC中角C的平分线所在的直线方程, A(-4,2),B(3,1)求C的坐标,并判断△ABC的形状. (8) △ABC的两条高线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的 坐标为(1,2),求BC 边所在的直线方程. (9)已知△ABC的一个顶点A(-4,2),中线BD,CE所在的直线方 程分别为3x-2y+2=0和3x+5y-12=0,求边BC所在的直线方程. (10)已知△ABC的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的 直线方程为6x+10y-59=0∠B的平分线所在直线方程为x4y+10=0,求边BC所在的直线方程.

(11)已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P 使|PA|+|PB| 最小 变形:在l上求一点Q使得| |QA|-|QB| |最大. (12)已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P 使|PA|+|PB| 最小.

变形:在直线l上求一点Q使得| |QA| -|QB| |最大.



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