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湖北省咸宁市通城二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析



湖北省咸宁市通城二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题: (每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)为了了解全校 200 名学生视力的情况.从中抽取 50 名学生进行测量.下列说法正 确的是() A.总体是 200 B. 个体是每名学生 C. 样本为 50 名学生 D.样本容量为 50 2. (5 分)两圆 x +y ﹣4x+6y=0 和

x +y ﹣6x=0 的连心线方程为() A.x+y+3=0 B.2x﹣y﹣5=0 C.3x﹣y﹣9=0 D.4x﹣3y+7=0 3. (5 分)某单位职工 200 人,不到 35 岁有 90 人,35 岁到 45 岁有 50 人,剩下为 50 岁及以 上的人.用分层抽样从中抽 40 人的样本,则各年龄段分别抽取人数为() A.14.10.16 B.18.10.12 C.14.10.18 D.16.10.14 4. (5 分)下列属于相关关系的是() A.人的身高与年龄关系 B. 正方体体积与边长 C. 买铅笔支数与所付钱数 D.农作物产量与施肥量之间的关系 5. (5 分)从 1,3,5,7,9 这 5 个数中任取 3 个,这三个数能成为三角形三边的概率为() A. B. C. D.
2 2 2 2

6. (5 分)抽查 8 件产品,记事件 A 为‘至少有 3 件次品’则 A 对立事件为() A.至多有 3 件次品 B. 至多 2 件次品 C. 至多有 3 件正品 D.至少有 2 件正品 7. (5 分)“某彩票中奖概率为 A.买 1000 张彩票就一定能中奖 B. 买 1000 张彩票一定能中一次奖 C. 买 1000 张彩票一次奖也不中 D.买一张彩票中奖的可能性为
2

”意味着()

8. (5 分)在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P,以 AP 为半径作圆,使圆面积介于 16cm 2 与 49cm 之间的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)给出如图所示程序:执行该程序时,若输入 x 为 4,则输出 y 值为()

A.3

B. 8
2

C. 9
2

D.64

10. (5 分)直线 ax+by+b﹣a=0 与圆(x+2) +(y﹣3) =25 位置关系为() A.相交或相切 B.相切 C.相离 D.不确定

二、填空(5 分×5) 11. (5 分)1515 与 600 的最大公约数为. 12. (5 分)把二进制数 10110100 化为十进制数为. 13. (5 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=1+2x+x ﹣3x +2x ,当 X=﹣1 时的值,该算法运 算次数为. 14. (5 分)甲乙二个班随机选出 15 名学生数学成绩进行比较,得到成绩茎叶图如下. (单位: 分) 则甲乙班最高成绩分别是,从图中看班平均成绩高.
2 3 4

15. (5 分)一束光线从点 A(﹣2,2)出发.经 X 轴反射到⊙C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 上 的路径最短长度是.

2

2

三、解答(75 分) 16. (12 分)某城市电话号码为 7 位数.如果从电话号码中任取一个电话号码(各位号码数字 不加限制) 求: (1)头二位数字是 7 的概率; (2)头二位数字不超过 7 的概率. 17. (12 分)求平行于 x+y+9=0 且被圆 x +y =25 截得弦长为 5
2 2

的弦所在的直线方程.

18. (12 分)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件巾随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率.
2 2

19. (12 分)实数 x,y 满足 x +y +6x+5=0,求

的最大值与最小值.

20. (12 分)甲.乙两人约定早上 7:00 到 8:00 之间在某地见面.并约定先到者要等候另 一人 20 分钟,过时即可离开.求甲乙两人能见面概率. 21. (15 分)甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛成绩记录如下: 甲:78 76 74 90 82 乙:90 70 75 85 80 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)从甲乙两人成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (Ⅲ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合 适?说明理由.

湖北省咸宁市通城二中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)为了了解全校 200 名学生视力的情况.从中抽取 50 名学生进行测量.下列说法正 确的是() A.总体是 200 B. 个体是每名学生 C. 样本为 50 名学生 D.样本容量为 50 考点: 简单随机抽样. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 总体是所有调查对象的全体;个体是每一个调查的对象;样本是所抽查对象的情况; 样本容量为所抽查对象的数量. 解答: 解:A、总体是 200 名学生的视力情况的全体,故本选项错误; B、个体是每个学生的视力情况,故本选项错误; C、样本是从中抽取的 50 名学生的视力情况,故本选项错误;

D、样本容量是 50,故本选项正确, 故选 D. 点评: 本题考查了统计的有关知识,解决此题的关键是掌握总体、样本、样本容量、个体 的定义. 2. (5 分)两圆 x +y ﹣4x+6y=0 和 x +y ﹣6x=0 的连心线方程为() A.x+y+3=0 B.2x﹣y﹣5=0 C.3x﹣y﹣9=0 D.4x﹣3y+7=0 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 将两圆化成标准方程,得到它们的圆心分别为 C1(2,﹣3) 、C2(3,0) ,求出 C1C2 的斜率 k=3,再利用直线方程的点斜式列式,化简即可得到两圆的连心线方程. 解答: 解:将圆 x +y ﹣4x+6y=0 化成标准方程,得(x﹣2) +(y+3) =13, 2 2 ∴圆 x +y ﹣4x+6y=0 的圆心为 C1(2,﹣3) . 2 2 同理可得圆 x +y ﹣6x=0 的圆心为 C2(3,0) , ∴C1C2 的斜率 k= =3,
2 2 2 2 2 2 2 2

可得 C1C2 的直线方程为 y+3=3(x﹣2) ,化简得 3x﹣y﹣9=0,即为两圆的连心线方程. 故选:C 点评: 本题给出两圆的方程,求它们的连心线方程.着重考查了圆的标准方程、直线的基 本量与基本形式等知识,属于基础题. 3. (5 分)某单位职工 200 人,不到 35 岁有 90 人,35 岁到 45 岁有 50 人,剩下为 50 岁及以 上的人.用分层抽样从中抽 40 人的样本,则各年龄段分别抽取人数为() A.14.10.16 B.18.10.12 C.14.10.18 D.16.10.14 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 因为单位里的职工年龄段差异明显,即总体是由差异明显的三个部分组成,所以根 据分层抽样的定义可得此抽样需要选用分层抽样的方法进行抽取. 解答: 解:由题意可得:样本容量与总体的个体数比为 = ,

所以根据分层抽样的定义可得:在每个层次抽取的个体数依次为: ×90=18, ×50=10, ×60=12. 故选 B. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义与步骤.分层抽样:当总体是由差异明显的几个部分 组成的,可将总体按差异分成几个部分(层) ,再按各部分在总体中所占比例进行抽样. 4. (5 分)下列属于相关关系的是() A.人的身高与年龄关系 B. 正方体体积与边长 C. 买铅笔支数与所付钱数

D.农作物产量与施肥量之间的关系 考点: 两个变量的线性相关. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据两个变量之间是否是确定的,来确定是函数关系还是相关关系. 解答: 解:根据两个变量之间是否是确定的,可得 A,C,D 是函数关系,一块农田的水稻 产量与施肥量之间的关系是一种不确定的相关关系, 故选:D. 点评: 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系 是否是确定的,若确定的则是函数关系;若不确定,则是相关关系. 5. (5 分)从 1,3,5,7,9 这 5 个数中任取 3 个,这三个数能成为三角形三边的概率为() A. B. C. D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 列举出所有情况,让这 3 条线段能构成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概 率. 3 解答: 解:任取其中的 3 个数,共有 C5 =10 种结果,并且每个结果出现的机会相同, 能构成三角形的有(3,5,7) ; (3,7,9) ; (5,7,9)共有 3 种情况, ∴P(这 3 个数能构成三角形)= .

故选:B. 点评: 本题是一个列举法求概率与三角形的三边关系相结合的题目.古典概型概率求法: 概率=所求情况数与总情况数之比. 关键是利用三角形的三边关系得到构成三角形的 3 种情况. 6. (5 分)抽查 8 件产品,记事件 A 为‘至少有 3 件次品’则 A 对立事件为() A.至多有 3 件次品 B. 至多 2 件次品 C. 至多有 3 件正品 D.至少有 2 件正品 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 规律型;概率与统计. 分析: 根据互斥事件、对立事件的定义,求得事件 A 的对立事件. 解答: 解:抽查 8 件产品,记事件 A 为“至少 3 件次品”, 根据对立事件的定义,事件和它的对立事件不会同时发生,且他们的和事件为必然事件, 故事件 A 的对立事件为:“至多 2 件次品”, 故选:B. 点评: 本题主要考查互斥事件、对立事件的定义,属于基础题.

7. (5 分)“某彩票中奖概率为 A.买 1000 张彩票就一定能中奖 B. 买 1000 张彩票一定能中一次奖

”意味着()

C. 买 1000 张彩票一次奖也不中 D.买一张彩票中奖的可能性为

考点: 概率的意义. 专题: 创新题型. 分析: 概率是反映事件发生机会的大小的概念,只是表示发生的机会的大小,是否中奖是 随机事件. 解答: 解:A、根据常识,彩票总数目远大于 1000 张,所以买 1000 张也不一定中奖,故本 选项错误; B、根据彩票总数目远大于 1000 张,所以买 1000 张也不一定中一次奖,故本选项错误; C、买任何 1 彩票的中奖率都是 彩票也可能中奖,故本选项错误. D、买 1 张彩票的中奖率是 ,具有偶然性,故本选项正确. ,都具有偶然性,可能中奖,也可能不中奖,买 1000 张

故选 D. 点评: 本题考查了概率的意义,概率是反映事件发生机会的大小的概念,只是表示发生的 机会的大小,机会大也不一定发生,机会小也有可能发生. 8. (5 分)在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P,以 AP 为半径作圆,使圆面积介于 16cm 2 与 49cm 之间的概率为() A. B. C. D.
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 先算出事件发生的总区域的测度,即为线段 AB 的长度,再计算出圆的面积介于 2 2 2 2 16πcm 到 49πcm 的包含的区域长度,它们的比值就是圆的面积介于 16πcm 到 49πcm 的概 率. 解答: 解:因为事件满足几何概型,事件发生的总区域为线段 AB 的长度 10cm, 设“圆的面积介于 16cm 到 49cm ”为事件 B,事件 B 包含的区域长度为 ∴P(B)= ;
2 2

=3,

故选 B. 点评: 本题主要考查了几何概型,几何概型的特点有下面两个: (1)试验中所有可能出现 的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.关键是明确事件的集合是利用 线段长度或者区域面积或者体积表示,属于基础题. 9. (5 分)给出如图所示程序:执行该程序时,若输入 x 为 4,则输出 y 值为()

A.3 考点: 专题: 分析: 解答: x=4 y=2×4=8

B. 8

C. 9

D.64

程序框图. 算法和程序框图. 该程序的功能是计算分段函数的值,当 x=4 时,有 y=2*4=8. 解:执行程序,有

输出 y 的值为 8. 故选:B. 点评: 本题主要考察了程序和算法,属于基础题. 10. (5 分)直线 ax+by+b﹣a=0 与圆(x+2) +(y﹣3) =25 位置关系为() A.相交或相切 B.相切 C.相离 D.不确定 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得直线经过定点 A(1,﹣1) ,而点 A 在圆上,故直线和圆一定有交点,从 而得出结论. 解答: 解:由于直线 ax+by+b﹣a=0,即 a(x﹣1)+b(y+1)=0,经过定点 A(1,﹣1) , 而点 A 到圆心 C(﹣2,3)的距离为 AC=5,正好等于半径,故点 A 在圆上,故直线和圆一 定有交点, 故直线和圆相交或相切, 故选:A. 点评: 本题主要考查直线经过定点问题,直线和圆的位置关系的判定,属于基础题. 二、填空(5 分×5) 11. (5 分)1515 与 600 的最大公约数为 15. 考点: 用辗转相除计算最大公约数. 专题: 算法和程序框图. 分析: 利用辗转相除法即可得出. 解答: 解:1515=600×2+315,600=315+285,315=285+30,285=30×9+15,30=15×2. ∴1515 与 600 的最大公约数为 15. 故答案为:15. 点评: 本题考查了辗转相除法,属于基础题. 12. (5 分)把二进制数 10110100 化为十进制数为 180.
2 2

考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是算法的概念,由二进制转化为十进制的方法,我们只要依次累 加各位数字上的数×该数位的权重,即可得到结果. 解答: 解:10110100(2)=1×2 +1×2 +1×2 +1×2 =180 故答案为:180. 点评: 进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重. 13. (5 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=1+2x+x ﹣3x +2x ,当 X=﹣1 时的值,该算法运 算次数为 8. 考点: 秦九韶算法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 利用秦九韶算法即可得出. 2 3 4 解答: 解:∵f(x)=1+2x+x ﹣3x +2x =( ( (2x﹣3)x+1)x+2)x+1, 当 X=﹣1 时的值,该算法运算次数为 8:其中 4 次乘法,4 次加法. 故答案为:8 点评: 本题考查了秦九韶算法,属于基础题. 14. (5 分)甲乙二个班随机选出 15 名学生数学成绩进行比较,得到成绩茎叶图如下. (单位: 分) 则甲乙班最高成绩分别是 94、90,从图中看乙班平均成绩高.
2 3 4 2 4 5 7

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图中的数据,得出甲、乙两班的最高成绩是多少; 分析茎叶图中的数据,得出乙的平均数应高于甲班. 解答: 解:根据茎叶图知, 甲、乙两班的最高成绩分别是 94 和 90; 分析茎叶图中的数据知,甲的数据是单峰分布的,数据都集中在 70 左右,平均数应在 70 左 右; 乙的数据也是单峰分布的,数据都集中在 70、80 左右,平均数应在 70﹣﹣80 之间; 由此知,乙的平均数应高于甲班. 故答案为:94、90,乙. 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,解题时应根据图中数据进行分析计算,是基础题.

15. (5 分)一束光线从点 A(﹣2,2)出发.经 X 轴反射到⊙C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 上 的路径最短长度是 ﹣1. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 求出点 A 关于 x 轴的对称点 A′,则要求的最短路径的长为 A′C﹣r(圆的半径) ,计 算求得结果. 解答: 解:由题意可得圆心 C(2,3) ,半径为 r=1,点 A 关于 x 轴的对称点 A′(﹣2,﹣2) , 求得 A′C= ,则要求的最短路径的长为 A′C﹣r= ﹣1, 故答案为: ﹣1.

2

2

点评: 本题主要考查反射定理的应用,求一个点关于直线的对称点的方法,体现了转化、 数形结合的数学思想,属于基础题. 三、解答(75 分) 16. (12 分)某城市电话号码为 7 位数.如果从电话号码中任取一个电话号码(各位号码数字 不加限制) 求: (1)头二位数字是 7 的概率; (2)头二位数字不超过 7 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由分步计数原理可得总的基本时间共 100 种, (1)符合题意的共 1 种, (2)符合题 意的共 64 种,分别有古典概型的概率公式可得. 解答: 解:∵头两位数字分别有 10 种取法,∴基本事件总数为 10×10=100. (1)头两位数字为 7 仅一种取法,∴所求概率 P= ; = .

(2)头两位数字不超过 7 有 8×8=64 种取法,∴所求概率 P′=

点评: 本题考查古典概型及其概率公式,涉及分步计数原理,属基础题. 17. (12 分)求平行于 x+y+9=0 且被圆 x +y =25 截得弦长为 5
2 2

的弦所在的直线方程.

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设所求直线方方程为 x+y+c=0,利用直线被圆 x +y =25 截得弦长为 5 ,即可求出直线方程. 解答: 解:设所求直线方方程为 x+y+c=0,则, ∵直线被圆 x +y =25 截得弦长为 5 ∴ ,
2 2 2 2

,可得



∴c=±5, ∴所求直线方方程为 x+y±5=0. 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,勾股定理,垂径定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (12 分)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件巾随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;收集数据的方法. 专题: 图表型;概率与统计. 分析: (1)通过频率分布表得推出 m+n=0.45.利用等级系数为 5 的恰有 2 件,求出 n,然 后求出 m. (2)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数,“从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中 任取两件,等级系数相等”的事件数,求解即可. 解答: 解: (1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45.…(2 分) 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 得 .…(4 分)

所以 m=0.45﹣0.1=0.35.…(5 分) (2) :由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2) , (x1, x3) , (x1,y1) , (x1,y2) , (x2,x3) , (x2,y1) , (x2,y2) , (x3,y1) , (x3,y2) , (y1,y2) 共计 10 种.…(9 分) 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为(x1,x2) , (x1,x3) , (x2,x3) , (y1,y2)共 4 个.…(11 分) 故所求概率为 .…(13 分)

点评: 本题考查概率、统计等基本知识,考查数据处理能力、运算能力、应用意识.

19. (12 分)实数 x,y 满足 x +y +6x+5=0,求

2

2

的最大值与最小值.

考点: 直线与圆的位置关系;直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 化简圆的方程为标准方程,求出圆心与半径,利用所求表达式的几何意义求解即可. 解答: (12 分)解:由已知可知圆: (x+3) +y =4 是(﹣3,0)为圆心,2 为半径的圆. 表示圆上的点与(1,2)的斜率,由图可知最小值为 0,最大值时设斜率为 k, 则直线为:y﹣2=k(x﹣1) , 利用此时直线与圆相切, 可得: 可求得 k= ,即为最大值.
2 2

的最大值与最小值分别为: ;0.

点评: 本题考查直线与圆的方程的位置关系,基本知识的考查. 20. (12 分)甲.乙两人约定早上 7:00 到 8:00 之间在某地见面.并约定先到者要等候另 一人 20 分钟,过时即可离开.求甲乙两人能见面概率. 考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个几何概型,试验包含的所有事件是 Ω={(x,y)|7<x<8,7<y <8},做出事件对应的集合表示的面积,写出满足条件的事件是 A={(x,y)|7<x<8,7<y <8,|x﹣y|< },算出事件对应的集合表示的面积,根据几何概型概率公式得到结果.

解答: 解:由题意知本题是一个几何概型,设事件 A 为“两人能会面”, 试验包含的所有事件是 Ω={(x,y)|7<x<8,7<y<8},并且事件对应的集合表示的面积是 s=1, 满足条件的事件是 A={(x,y)|7<x<8,7<y<8,|x﹣y|< 所以事件对应的集合表示的面积是 1﹣2× = , }

根据几何概型概率公式得到 P= . 点评: 本题是一个几何概型,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含的事件同集合 结合起来,根据集合对应的图形做出面积,用面积的比值得到结果. 21. (15 分)甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛成绩记录如下: 甲:78 76 74 90 82 乙:90 70 75 85 80 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)从甲乙两人成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (Ⅲ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合 适?说明理由. 考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)直接由图表给出的数据画出茎叶图即可; (Ⅱ)利用列举法写出从甲乙两人成绩中各随机抽取一个的所有情况,查出甲的成绩比乙高 的情况个数,由古典概型的概率计算公式求解; (Ⅲ)求出两组数据的平均数及方差,则答案可求. 解答: 解: (Ⅰ)茎叶图如图,

(Ⅱ)解法一:从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个,所有情况如下: (78,90) (78,70) (78,75) (78,85) (78,80) (76,90) (76,70) (76,75) (76,85) (76,80) (74,90) (74,70) (74,75) (74,85) (74,80) (90,90) (90,70) (90,75) (90,85) (90,80) (82,90) (82,70) (82,75) (82,85) (82,80) 共有 25 种,而甲大于乙的情况有 12 种 所以 p= .

解法二:从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个,所有情况种数:5×5=25 种 其中甲大于乙的情况有(78,70) , (78,75) , (76,70) , (76,75) , (74,70) , (90,70) , (90,75) , (90,85) , (90,80) , (82,70) , (82,75) , (82,80)共 12 种 所以 p= .

(Ⅲ) ,



=32,

=50. 因为 ,

所以选甲参加更合适. 点评: 本题考查了茎叶图,考查了古典概型及其概率计算公式,考查了平均数与方差,是 基础的运算题.



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湖北省咸宁市通城二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
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