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三角函数公式



锐角三角函数公式
sin α =∠α 的对边 / 斜边 cos α =∠α 的邻边 / 斜边 tan α =∠α 的对边 / ∠α 的邻边 cot α =∠α 的邻边 / ∠α 的对边

降幂公式
sin^2(α )=(1-cos(2α ))/2=versin(2α )/2 cos^2(α )=(1+cos(2α ))/2=covers(2

α )/2 tan^2(α )=(1-cos(2α ))/(1+cos(2α ))

半角公式 倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是 sinA 的平方 sin2(A) ) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三倍角公式
sin3α =4sinα ·sin(π/3+α )sin(π/3-α ) cos3α =4cosα ·cos(π/3+α )cos(π/3-α ) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina

三角和
sin(α +β+γ )=sinα ·cosβ·cosγ +cosα ·sinβ·cosγ +cosα ·cosβ·sinγ -sinα ·sinβ·sinγ cos(α +β+γ )=cosα ·cosβ·cosγ -cosα ·sinβ·sinγ -sinα ·cosβ·sinγ -sin α ·sinβ·cosγ tan(α +β+γ )=(tanα +tanβ+tanγ -tanα ·tanβ·tanγ )/(1-tanα ·tanβ -tanβ·tanγ -tanγ ·tanα )

两角和差 辅助角公式
Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)sin(α +t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)cos(α -t),tant=A/B cos(α +β)=cosα ·cosβ-sinα ·sinβ cos(α -β)=cosα ·cosβ+sinα ·sinβ sin(α ±β)=sinα ·cosβ±cosα ·sinβ tan(α +β)=(tanα +tanβ)/(1-tanα ·tanβ) tan(α -β)=(tanα -tanβ)/(1+tanα ·tanβ)

1

和差化积
sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

tan(π/2-α )=cotα tan(π-α )=-tanα tan(π+α )=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限

万能公式
sinα =2tan(α /2)/[1+tan^(α /2)] cosα =[1-tan^(α /2)]/1+tan^(α /2)]

积化和差
sinα sinβ = [cos(α -β)-cos(α +β)] /2 cosα cosβ = [cos(α +β)+cos(α -β)]/2 sinα cosβ = [sin(α +β)+sin(α -β)]/2 cosα sinβ = [sin(α +β)-sin(α -β)]/2

tanα =2tan(α /2)/[1-tan^(α /2)]

其它公式
① (sinα )^2+(cosα )^2=1 ② 1+(tanα )^2=(secα )^2 ③ 1+(cotα )^2=(cscα )^2

诱导公式
sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α ) = cosα cos(π/2-α ) = sinα sin(π/2+α ) = cosα cos(π/2+α ) = -sinα sin(π-α ) = sinα cos(π-α ) = -cosα sin(π+α ) = -sinα cos(π+α ) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α )=-cotα

④ 对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ⑤ cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 ⑥ cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) ⑺ (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC ⑧(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC ⑨ sinα +sin(α +2π/n)+sin(α +2π*2/n)+sin(α +2π*3/n)+…… +sin[α +2π*(n-1)/n]=0 cosα +cos(α +2π/n)+cos(α +2π*2/n)+cos(α +2π*3/n)+…… +cos[α +2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α )+sin^2(α -2π/3)+sin^2(α +2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

2

推导公式
tanα +cotα =2/sin2α tanα -cotα =-2cot2α 1+cos2α =2cos^2α 1-cos2α =2sin^2α 1+sinα =(sinα /2+cosα /2)^2 =2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina =3sina-4sin?a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos?a-1)cosa-2(1-sin?a)cosa =4cos?a-3cosa sin3a=3sina-4sin?a =4sina(3/4-sin?a) =4sina[(√3/2)?-sin?a] =4sina(sin?60°-sin?a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60° -a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos?a-3cosa =4cosa(cos?a-3/4) =4cosa[cos?a-(√3/2)?] =4cosa(cos?a-cos?30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin [(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

3



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