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复数的概念教案


17.1 复数的概念教案
课题:复数的概念 授课类型:新授课 教学目标: 1. 知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位 i 2. 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
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3. 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚 数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
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教学重点:复数的有关概念. 教学难点:虚数单位 i 的引进及复数的概念. 教学设想:生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学 科本身来说, 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾, 分数 解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛 盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾. 课时安排:1 课时 教学过程: 一、 创设情境、导入新课 1. 复习回顾:数系的扩充 自然数集 整数集 有理数集 实 数 集
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2.问题情境:在实数集中方程 x2+1=0 有解吗?

x 2 ? 1 ? 0 ? x 2 ? ?1
很明显此方程无实数解. 思考: 负数能否开平方? 为了解决负数开平方问题, 我们能否将实数集进行扩 充, 使得在新的数集中, 该问题能得到圆满解决呢?数学家大胆引入一个新数

i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定:
1

(1) i 2 ? ?1 (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运 算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 这样就会出现许多新数, 形如 二、讲解新课: 1.虚数单位 i : (1)它的平方等于-1,即
i 2 ? ?1 ;

如 2i 、3i 、2 ? i 、3 ? i 等.

的数,我们把它们叫做复数

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然 成立. 2.复数与复数集的概念: 形如 a ? bi( a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体
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复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式:

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复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形 式,叫做复数的代数形式 4. 复数的分类: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时, 复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a; 当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当 且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.
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2

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我 们就说这两个复数相等
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这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d
特别地,a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

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复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据

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一般地,

两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大 小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 复数都是实数,就可以比较大小 大小
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如果两个

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只有当两个复数不全是实数时才不能比较

三、例题讲解 例 1 请说出复数 2 ? 3i,?3 ? 数? 解:它们都是虚数,它们的实部分别是 2,-3,0,- 3 ;虚部分别是 3,

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部, 有没有纯虚 2 3

1 1 1 ,- ,- 5 ;- i 是纯虚数. 2 3 3
例 2(课本例 1)实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是:
3

(1)实数? (2)虚数?

(3)纯虚数?

[分析]因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实数、虚 数和纯虚数的条件可以确定 m 的值. 解: (1)当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数; (2)当 m-1≠0,即 m≠1 时,复数 z 是虚数; (3)当 m+1=0,且 m-1≠0 时,即 m=-1 时,复数 z 是纯虚数. 例3 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y.

解:根据复数相等的定义,得方程组 ? 四、课堂练习 课本 P62 五、课堂小结 1.虚数单位 i 的引入 2.复数与复数集的概念: 练习 1、2、

?2 x ? 1 ? y , 5 ,所以 x= ,y=4 2 ?1 ? ?(3 ? y )

形如 a ? bi( a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体
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复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式:

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复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形 式,叫做复数的代数形式 4. 复数的分类: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时, 复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a; 当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当 且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等
4

这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d
特别地,a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

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本节内容记忆口诀: -1 开方再不难,引入 i 数集扩; 代数形式要记牢,实部虚部分得清; 复数相等充要性,实实虚虚对应好 六、课后作业 课本第 62 页 教学小结: 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部 及有关分类问题,复数相等的充要条件等等.基本思想是:利用复数的概念, 联系以前学过的实数的性质, 对复数的知识有较完整的认识, 以及利用转化的 思想将复数问题转化为实数问题 师生反思: 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味, 学生不易接受, 教学时, 我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史, 让学生体会到数集 的扩充是生产实践的需要, 也是数学学科自身发展的需要; 介绍数的概念的发 展过程,使学生对数的形成、发展的历史和规律,各种数集中之间的关系有着 比较清晰、 完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、 复数的概念、 复数的分类
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习题 3.1

1

3 4

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