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2007学年浙江省杭州二中高三年级第1次月考数学试卷(理科)



2007 学年浙江省杭州二中高三年级第 1 次月考数学试卷(理科) 学年浙江省 浙江省杭州二中高三年级第 次月考数学试卷(理科) 第 I 卷(共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1.全集为实数集 R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},则( ? RM)∩N= A.{x|x<-2} A. 2π ,2
2 2

( (

) )

B.{x|-2<x<1} B. π ,2

C.{x|x<1} C. 2π ,1

D.{x|-2≤x<1} D. π ,1 ( )

2.函数 y = 4 sin x cos x 的最小正周期及最大值分别是 3.函数 y= log 1 ( x ? 6 x + 17) 的值域是 A.R B. [8,+ ∞) C. (-∞,-3 ] D. [3, +∞)

4.对于直线 m、n 和平面 α ,下面命题中的真命题是 A.如果 m ? α , n ? α , m 、n 是异面直线,那么 n // α B.如果 m ? α , n ? α , m 、n 是异面直线,那么 n与α 相交 C.如果 m ? α , n // α , m 、n 共面,那么 m // n D.如果 m // α , n // α , m 、n 共面,那么 m // n 5.已知 f ( x ) 在(0,2)上是增函数, f ( x + 2) 是偶函数,那么正确的是 A. f (1) < f ( ) < f ( )









5 7 2 2 7 5 C. f ( ) < f ( ) < f (1) 2 2

7 5 2 2 5 7 D. f ( ) < f (1) < f ( ) 2 2
B. f ( ) < f (1) < f ( ) ( )

6.已知 y = f (x ) 的图像如下图,则 y = f (1 ? x ) 的图像为

7.已知函数 y = f (x ) ,对任意的两个不相等的实数 x1 , x 2 ,都有 f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) 成立,且 f (0) ≠ 0 ,则 f ( ?2006) f ( ?2005) L f (2005) f (2006) 的值是( A.0 8.△ ABC 中, A = B.1 C. 2006! ) D. (2006!) 2 )

π
3

, BC = 3 ,则△ ABC 的周长为(

A. 4 3 sin( B + C. 6sin( B +

π
3

)+3

B. 4 3 sin( B + D.

π
6

)+3

π
3

)+3

6sin( B + ) + 3 6

π

9.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.

3+2 6 3

B.2+

2 6 3

C.4+

2 6 3

D.

4 3+2 6 3

?2? x ? a 10.设 f ( x) = ? ? f ( x ? 1)
( ) A. ( ?∞, 2 )

( x ≤ 0) ,若 f ( x ) = x 有且仅有两个实数解,则实数 a 的取值范围是 ( x > 0)
B. [1, 2 ) C. [1, +∞ ) D. ( ?∞,1]

第 II 卷(共 100 分)
小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 填空题: 11.已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y = ?1 + i, 则(1 + i ) x + y 的值为 .

12. lim

x2 ?1 = x →1 2 x 2 ? x ? 1

.

13. ?ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b 2 + c 2 + 3bc = a 2 , 则∠A 等 在 于 .

14.如果函数 y = ?

?2 x ? 3 ? f ( x)

( x > 0) ( x < 0)

是奇函数,则 f ( x ) =

. .

15.已知函数 f ( x ) = a x ? 4a + 3 的反函数的图像经过点 (?1,2) ,那么 a 的值等于 16.如图,矩形 ABCD 中,DC= 3 ,AD=1,在 DC 上截取 DE=1, 将△ADE 沿 AE 翻折到 D1 点,点 D1 在平面 ABC 上的射影落在 AC 上时,二面角 D1—AE—B 的平面角的余弦值是 . 17.给出下列四个命题: ① 函数 f ( x) = x x + bx + c 为奇函数的充要条件是 c =0; ② 函数 y = 2 ? x ( x > 0) 的反函数是 y = ? log 2 x(0 < x < 1) ;

1 ? 2x ( x ≥ 1) ,数列 {a n } 满足 an = f ( n ) , n ∈ N * ,则 {a n } 是单调递减数列; x +1 ④ 若函数 y = f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y = f (x ) 的图像关于直线 x = 0 对称。其中所有正
③ 设 f ( x) = 确命题的序号是 .

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 18. (本题满分 14 分) △ABC 中,角 A、B、 所对边分别为 a、b、c,已知 tan A = C 且最长边边长为 l. 求: (1)角 C 的大小; (2)△ABC 最短边的长.

1 1 , tan B = , 2 3

19. (本题满分 14 分) 已知抛物线 y = n( n + 1) x 2 ? (2n + 1) x + 1 ,当 n = 1, 2, 3,L 时, 该抛物线在 x 轴上所截得的线段长依次组成数列 {an } ,其顶点的纵坐标依次组成数列 {bn } , 求 lim[( a1 + a2 + L + an ) ? (b1 + b2 + L + bn )] .
n →∞

20. (本题满分 14 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是 AB=2,BC= 2 的矩形,侧面 PAB 是 等边三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD (1)证明:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (3)求直线 AB 与平面 PCD 的距离.

21. (本题满分 15 分)某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用为每日 115 元。根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元, 则每超过 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆。 为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日总收入必 须高于这一日的管理费用,用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收 入减去管理费后的所得) 。 (1)求函数 y = f (x ) 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? (必要时可参考以下数据 282=784,292=841).

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) =

x , x ∈ (0,1). 1 + x2

(1) 设 x1 , x2 ∈ (0,1) ,证明: ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ≥ 0 ;

(2) 设 x ∈ (0,1) ,证明:

3x 2 ? x 9 1 ≥ (x ? ) ; 2 1+ x 10 3
2 2 3 x12 ? x1 3 x2 ? x2 3 x3 ? x3 + + 的最小 2 2 1 + x12 1 + x2 1 + x3

(3) 设 x1 , x2 , x3都是正数 ,且 x1 + x2 + x3 = 1 ,求 u = 值.

2007 学年杭州二中高三年级第 1 次月考数学答题卷(理科) 学年杭州二中高三年级第 次月考数学答题卷 理科) 数学答题卷(
小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 选择题:

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 填空题: 11. 14. 17. 小题, 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分 解答题: 18. 12. 15. 13. 16.

19.

20.

21.

22.

答案
1A2B 3 C 9 C 4C 5B 12 6B 7B 8D 13

10 A 11

?4

150o

14

2x + 3

15 2

16 2 ? 3 17.①②③ 18.解: (I)tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) (2 分)

1 1 + tan A + tan B = = ? 2 3 = ?1 1 1 1 ? tan A tan B 1? × 2 3 3π ∴C = 4
(II)∵0<tanB<tanA ∴A、B 均为锐角且 B<A 又 C 为钝角. ∴最短边为 b 由 tan B =

(4 分)

(5 分)

(7 分) (9 分)

1 10 , 解得 sin B = 3 10



b c = sin B sin C

∴b =

c ? sin B = sin C



10 10 = 5 5 2 2

(12 分)

5 19. 4
20. (I)证明:在矩形 ABCD 中,BC⊥AB 又∵面 PAB⊥底面 ABCD 侧面 PAB∩底面 ABCD=AB ∴BC⊥侧面 PAB 又∵BC ? 侧面 PBC ∴侧面 PAB⊥侧面 PBC) (II)解:取 AB 中点 E,连结 PE、CE 又∵△PAB 是等边三角形 ∴PE⊥AB 又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,∴PE⊥面 ABCD ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角
3 BA = 3 CE = BE 2 + BC 2 = 3 2 在 Rt△PEC 中,∠PCE=45°为所求 (Ⅲ)解:在矩形 ABCD 中,AB//CD ∵CD ? 侧面 PCD,AB ? 侧面 PCD,∴AB//侧面 PCD PE =

取 CD 中点 F,连 EF、PF,则 EF⊥AB 又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面 PEF 又∵AB//CD ∴CD⊥平面 PEF ∴平面 PCD⊥平面 PEF 作 EG⊥PF,垂足为 G,则 EC⊥平面 PCD 在 Rt△PEF 中,EG=

PE ? EC 30 为所求. = PF 5

21. (I)当 x ≤ 6时, y = 50 x ? 115. ……………………………………………………………………1 分
令 50 x ? 115 >

0, 解得x > 2.3. Q x ∈ N ,∴ x ≥ 3. ∴ 3 ≤ x ≤ 6, x ∈ N . ………………2 分

当 x > 6时, y = [50 ? 3( x ? 6)]x ? 115. ………………………………………………………4 分 令 [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 > 0, 有3 x 2 ? 68 x + 115 < 0. 上述不等式的整数解为 2 ≤ x ≤ 20( x ∈ N ). ∴ 6 < x ≤ 20.( x ∈ N ) ………………………………5 分 故y=?

?50 x ? 115,
2

(3 ≤ x ≤ 6, x ∈ N ).

?? 3 x + 68 x ? 115

定义域为3 ≤ x ≤ 20, x ∈ N . ……………7 分 (6 < x ≤ 20, x ∈ N ),

(II)对于 y = 50 x ? 115(3 ≤ x ≤ 6, x ∈ N ).显然当x = 6时, y max = 185(元) ………………8 分 对于 y = ?3 x 2 + 68 x ? 115 = ?3( x ?

34 2 811 ) + 3 3

(6 < x ≤ 20, x ∈ N ), ……………………10 分



x = 11时, y max = 270(元) …………………………………………………………………………11 分
综上所述当每辆自行车日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最高.

(1) ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] =

( x1 ? x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) ≥ 0; 2 (1 + x12 )(1 + x2 )
1 x 3 3x 2 ? x 9 1 ? ) ≥ 0 整理得 ≥ (x ? ) ; 2 2 3 1 + x 10 1+ x 10 3

(2)由(1)得 ( x ? )[ f ( x ) ? ] ≥ 0 ,即 ( x ? )(

1 3

1 3

(3)由(3)得 u =

2 2 3 x12 ? x1 3 x2 ? x2 3 x3 ? x3 9 1 1 1 + + ≥ ( x1 ? + x2 ? + x3 ? ) = 0 2 2 2 1 + x1 1 + x2 1 + x3 10 3 3 3

22(文) (1) (1 + x1 )(1 + x2 ) =1(2)由方程的 ≥ 0 ,可推得二次函数 f ( x ) = ax + x + 1 图象的
2

对称轴 x = ?

1 < ?1 ,又由于 f (?1) = a > 0 ,所以 f ( x) 的图象与 x 轴的交点均位于 (?1, 0) 的 2a

左侧,故得证; (3)结合(1)的结论可得, ?

1 1 10 1 1 1 1 ∈ [ , ] ,而 a = = ?[(? ) ? ]2 + 。 x2 11 11 x1 x2 x2 2 4

所以 a 的最大值为

1 。 4



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