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函数的单调性、极值及导数 教案


函数的单调性、极值及导数
考点聚焦 2008 年~2012 年广东高考数学(理科)导数知识点出现情况 题型 题号 分值 选择题:导数与极值 解答题: 导数与函数的单调性 解答题:求导的进一步应用 填空题:导数与函数的极值 解答题:切线方程 填空题:切线方程 解答题:导数与极值 7题 19 题 20 题 12 题 21 题 12 题 21 题 5+14 14 5+14 5+14

年份 2008 2009 2010 2011 2012

知识梳理 1.导数与函数的单调性 在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 2.求解函数 y ? f ( x ) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x ) 的定义域;
' '

(2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 3.导数与函数的极值 求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
4.求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (3)求方程 f ?(x ) =0 的根 (4)用方程 f ?(x ) =0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由 f ?(x ) 在方程 f ?(x ) =0 的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况
1

(2)求函数的导数 f ?(x )

5.导数与函数的最值 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最
大值,最小的一个是最小值. 典型例题解析 题型一:函数的单调性与导数 例题1: (函数与导数的图像) (1).函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f'(x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

(2) 已知二次函数 f . (x) 的图象如图所示, 则其导函数 f′ (x) 的图象大致形状是 (



A

.B

.C

.D



(3).( 2007 浙江)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在 同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

2

(4) .在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 x?f′(x)<0的解集 为( )

A. (-1,0)∪(1,+∞) C. (-2,-1)∪(1,2)

B. (-∞,-1)∪(0,1) D. (-∞,-2)∪(2,+∞)

(5) .f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0时,f(x)+x?f'(x)<0,且 f(-4)=0, 则不等式 xf(x)>0的解集为( A. (-4,0)∪(4,+∞) C. (-∞,-4)∪(4,+∞) 例题 2: (求函数的单调区间) (1)已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ,若 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; ) B. (-4,0)∪(0,4) D. (-∞,-4)∪(0,4)

(2)函数 y=

1 2 x -lnx 的单调递减区间 2

练一练: (1).求 f(x)=x+

1 的单调区间 x

3

(2).求 f(x)=sinx-x 的单调区间

1 点评:○单调区间时,一定要先求函数的定义域,因为函数的单调区间是定义域的子集;

②单调区间的描述,不能写成并集形式,如本题中的单调递增区间一定不能写成 题型二:含有参数的函数单调性的讨论 例题 1: (无需讨论参数范围) (2010 江西)(本小题满分 12 分) . 设函数 f ( x) ? ln x ? ln(2 ? x) ? ax(a ? 0) . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 ? 0,1? 上的最大值为

1 ,求 a 的值. 2

练一练:设函数 f(x)=2x -3(a-1)x +1,其中 a>1. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论 f(x)的极值.

3

2

4

例题 2:设函数 f ( x) ? ae ?
x

(Ⅰ)求 f(x)在 ?0,??? 内的最小值;

1 ? b(a ? 0) ae x
3 x ,求 a,b 的值。 2

(Ⅱ)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=

例题 3: (与二次函数相关)已知函数 f ? x ? ? x ? 调区间.

2 ? a ? 2 ? ln x ? ? a ? 0? ,讨论 f ? x ? 的单 x

5

练一练:已知函数 f(x)=x +(1-a) x -a(a+2)x+b(a,b∈R) . (I)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围.

3

2

例题 4: 2009 安徽)已知函数 f ? x ? ? x ? ( 间.

2 ? a ? 2 ? ln x ? ? a ? 0? ,讨论 f ? x ? 的单调区 x

6

? 1 ,x ? 1 ? 练一练: (2008)设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R , ?? x ? 1,x ≥1 ?
试讨论函数 F ( x ) 的单调性.

题型二:函数的极值及极值点 例题 1: (1).设 p:“定义在 R 上的可导函数在 x=x0 处取得极值”,q:“f′(x0)=0”,则 p 是 q 的( )条件. B.必要不充分 D.既不充分也不必要
3 2

A.充分不必要 C.充分且必要

(2).若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 ( )

7

A.2

B.3

C.6

D.9 )

(3).函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( A.函数 f(x)在(-2,3)内单调递增 B.函数 f(x)在(-4,0)内单调递减 C.函数 f(x)在 x=3 处取极大值 D.函数 f(x)在 x=4 处取极小值

例题 2: (1).若函数 y=e -mx 有极值,则实数 m 的取值范围是( A.m>0 B.m<0 C.m>1
x

) D.m<1

(2).函数 f(x)=ax +x+1 有极值的一个充分而不必要条件是( A.a<0 B.a>0 C.a<-1

3

) D.a<1

(3).若函数 f(x)=x lnx(x>0)的极值点为 α ,函数 g(x)=xlnx (x>0)的极值点 为 β ,则有( A.α >β C.α =β ) B.α <β D.α 与 β 的大小不确定

2

2

练一练: (2008) .设 a ? R ,若函数 y ? e ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则(
ax



A. a ? ?3

B. a ? ?3

C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

8

(2011) 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x=____________处取得极小值。
2

(3).设函数 f(x)=(x-a) lnx,a∈R,若 x=e 为 y=f(x)的极大值点,则实数 a 的值等 于 .

2

课后强化练习 错误!未指定书签。 .在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = ( A.7 B.15 C.20 D.25 ( )



错误!未指定书签。 .不等式 A. ? ?

x ?1 ? 0 的解集为 2x ? 1
. ? ? ?. ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1,??? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2

? ?

1? ?

错误!未指定书签。 .对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 ( A.相离 B.相切
2



C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

错误!未指定书签。 .设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值 为 A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( )

? 且 错误!未指定书签。 .设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1),b ? (1,y ),c ? (2, 4) a ? c, b ? c ,则

a ?b ?
A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10





错误!未指定书签。 . 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x ) 为[0,1] 上的增函数”是“ f ( x ) 为[3,4]上的减函数”的 A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.充要条件 ( ) ( )

错误! 未指定书签。 . 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) -2

y
O 1 2

x

错误!未指定书签。 .设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长 为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 A. (0, 2) B. (0, 3)
9

( C. (1, 2) D. (1, 3)

































? 1 ? A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 则 A ? B 所 表 示 x ? ?

?

?

的平面图形的面积为 A.





3 ? 4

B. ?

3 5

C.

4 ? 7

D.

? 2

二、填空题

+i 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 若 1 + )( 2 )=a+bi , 其 中 a, b ? R, i 为 虚 数 单 位 , 则 . ( i

a ? b ? __________
错 误 ! 未 指 定 书 签 。. 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? _________________ 5 13
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 过 抛 物 线 y 2 ? 2 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若 .

AB ?

25 , AF ? BF , 则 12

AF =_________________.
13.已知向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数, t 求 的取值范围.

?

?

? ?

14.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x -2(1-a)x 的单调性.

2

10

15.(2010 山东)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1, 2?,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

16.设 f ( x) ? a ln x ? 于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值;

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线垂直 2x 2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值.

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