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我的高考--椭圆知识点总结


椭圆知识点
一、椭圆的定义 平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点

P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形. 二、椭圆的标准方程 1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 a2 b2

y2 x2 2 2 2 2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c ? a ? b ; a b
注:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c ? a ? b ;
2 2 2

3.椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c ) , (0,?c) 三、椭圆的简单几何性质 椭圆:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 说明:把 x 换成 ? x 、或把 y 换成 ? y 、或把 x 、 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴 a2 b2

(1)对称性:对于椭圆标准方程

y 同时换成 ? x 、 ? y 、原方程都不变,所以椭圆

对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范 围:椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足

x ?a, y ?b。

1

(3)顶 点:① 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ② 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 a2 b2

A1 (?a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b)
③ 线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2

? 2a , B1 B2 ? 2b 。

a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率:① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

② 因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而

b ? a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近
于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形 变为圆,方程为 x ? y ? a 。
2 2

注:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如右图): a2 b2

(1) PF 1 ? PF 2 ? 2a ;

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e;
2a 2 ; c

(椭圆的第二定义)

PM1 ? PM 2 ?

(2) BF 1 ? BF 2 ? a;

OF1 ? OF2 ? c ;

A1 B ? A2 B ? a 2 ? b 2 ;

(3) A 1F 1 ? A 2F 2 ? a ?c ; A 1F 2 ? A 2F 1 ? a ? c ; a ? c ? PF 1 ? a?c ;

2

四、椭圆

x2 y2 y2 x2 与 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 a2 b2 a2 b2

标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴长

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

(0,? a) , (?b,0)

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

焦半径

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

x2 y2 y2 x2 注:关于椭圆 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的说明: a b a b
相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有 (a ? b ? 0) 和 e ? 不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。

c (0 ? e ? 1) , a 2 ? b 2 ? c 2 ; a

3

规律方法: 1、如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标 轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。

?两个定形条件, ? 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件: ?一个定位条件焦点坐标, ?由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 ?

2、椭圆标准方程中的三个量 a, b, c 的几何意义
椭圆标准方程中, a, b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示

(a ? b ? 0) ,(a ? c ? 0) , 椭圆的长半轴长、 短半轴长和半焦距长, 均为正数, 且三个量的大小关系为:
且 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 。 可借助右图理解记忆: 显然: a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是斜边,b、c 为两条 直角边。

3、如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x , y 2 的分母的大小,哪个 分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
2

4、方程 Ax2 ? By2 ? C( A, B, C均不为零) 是表示椭圆的条件
方程 Ax2 ? By 2 ? C 可化为

x 2 By 2 Ax 2 By 2 ? ? 1 ,所以只有 A、B、C 同号,且 A ? B ? ? 1 ,即 C C C C A B

时,方程表示椭圆。当

C C C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上;当 ? 时,椭圆的焦点在 y 轴上。 A B A B

5、求椭圆标准方程的常用方法:
① 待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确 定方程中的参数 a, b, c 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; ② 定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。

6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点,则 c 相同。与椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 共焦点的椭圆方程可设为 a2 b2

x2 y2 ? 2 ? 1 (m ? ?b 2 ) ,此类问题常用待定系数法求解。 2 a ?m b ?m
4

7.判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据:
① 若把曲线方程中的 x 换成 ? x ,方程不变,则曲线关于 y 轴对称; ② 若把曲线方程中的 y 换成 ? y ,方程不变,则曲线关于 x 轴对称; ③ 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 ? x 、 ? y ,方程不变,则曲线关于原点对称。

8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析: 与焦点三角形△ PF1F2 有关的计算问题时, 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理 (或勾股定理) 、 三角形面积公式 S ?PF1F2 ?

1 PF1 ? PF2 ? sin ?F1 PF2 相结合的方法进行计算解题。将有关 2

线 段 PF PF2 、 F1 F2 , 有 关 角 ?F1 PF2 ( ?F1 PF2 ? ?F1 BF2 ) 结 合 起 来 , 建 立 1、

PF1 ? PF2 、 PF1 ? PF2 之间的关系.
焦点三角形面积公式: S?PF1F2 ? b ? tan ?
2

? ?F1 PF2 ? ? (P 为椭圆上任一一点) 2 ? ?

9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 e ?

c (0 ? e ? 1) , 因 为 c 2 ? a 2 ? b 2 , a

a ? c ? 0 ,用 a、 b 表示为 e ? 1 ? ( ) 2 (0 ? e ? 1) 。
显然:当

b a

b 越小时, e(0 ? e ? 1) 越大,椭圆形状越扁; a b 当 越大, e(0 ? e ? 1) 越小,椭圆形状越趋近于圆。 a

5

(一)

椭圆及其性质

1、椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 (2) 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e , 那么这个点的轨迹叫做椭 圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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2、椭圆的标准方程:

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 a ? b ? 0 或 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ? ? a 2 b2 a 2 b2

3、椭圆的参数方程 ?

? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?
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4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ? 5、椭圆的准线方程:左准线 l1 : x ? ?

c b ? e ? 1 ? ( )2 a a

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0 ? e ?1

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a2 c

右准线 l 2 : x ?

a2 c

(二) 、

椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:

焦点在 x 轴上的椭圆的焦半径公式: ?

? ? MF1 =a ? ex0 ? ? MF2 =a ? ex0

( 其中 F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点)

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焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ?

? MF1 ? a ? ey0 ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点) ? MF2 ? a ? ey0

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(三) 、

直线与椭圆问题(韦达定理的运用)

1、弦长公式:若直线 l : y ? kx ? b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则:弦长 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? (kx 1 ? kx 2 ) 2 ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
例 1. 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y=x+m。
2 2

(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

6

x2 y2 2、 已知弦 AB 的中点, 研究 AB 的斜率和方程 AB 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一条弦, 中点 M 坐标为(x0, y0), a b b2x0 则 AB 的斜率为- 2 . a y0 运用点差法求 AB 的斜率,设 A(x1,y1),B(x2,y2).

A、 B 都在椭圆上,∴

? ?x ?a

x1 2 y1 2 + =1, a2 b2
2 y2 2 2 2 + 2 =1,

b

x1 2-x2 2 y1 2-y2 2 两式相减得: + =0, a2 b2 ?x1-x2? ? x1+x2? ?y1-y2? ? y1+y2? ∴ + =0, a2 b2 y1-y2 b2?x1+x2? b2x0 即: =- 2 =- 2 . a y0 x1-x2 a ?y1+y2? b2x0 故:kAB=- 2 . a y0

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线的方程。 例 2、过椭圆 16 4

7

(四) 、

四种题型与三种方法

四种题型
1、已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(2,1) ,F 是椭圆 C 的左焦点,P 为椭圆 C 上的动点. 25 16

求:|PA|+

5 |PF|的最小值。 3

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(2,1),F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点. 2、已知椭圆 25 16
求:|PA|+|PF|的最大值与最小值。

3、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 外一点 A(5,6),l 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点 P 到 l 的距离为 d, 25 16 3 求:|PA|+ d 的最小值。 5

2b 2 x2 y2 4、定长为 d( d ? )的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上移动. a a b 求:AB 的中点 M 到椭圆右准线 l 的最短距离。

8

三种方法 1、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的切线与两坐标轴分别交于 A,B 两点, 求:三角形 OAB 的最小面积 。 a 2 b2

2、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 和直线 l:x-y+9=0 ,在 l 上取一点 M ,经过点 M 且以椭圆的焦 12 3

点 F1 , F2 为焦点作椭圆,求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程 。

3、过椭圆 2 x ? y ? 2 的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ,求 ?AOB 面积的最大值 。
2 2

9

课后同步练习
1. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 25 169

, 离心率是________,准线方程是_________.

2. 已知 F1、F2 是椭圆 ( 3. 椭圆 )
2 2

x2 y 2 ? ? 1的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则△ MNF2 的周长为 16 9
B.16 C.25 D.32 )

A.8

x y ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B. 6
2 2

A. 5 4. 已知椭圆方程为

C. 4

D. 10

x y ? ? 1 ,那么它的焦距是 ( ) 20 11 A. 6 B. 3 C. 3 31 D. 31 2 2 5. 如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
A.(0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 6.设 F1 , F2 为定点,| F1 F2 |=6,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨迹是( A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 7. 已知方程
x2 y2 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为 m ?1 2 ? m



. ___

8. 已知椭圆的两个焦点坐标是 F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) , 并且经过点 P ( 9. 过点 A(-1,-2)且与椭圆

5 3 ,? ) , 则椭圆标准方程是__ 2 2
__
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x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ 6 9 10. 过点 P( 3 ,-2) ,Q(-2 3 ,1)两点的椭圆标准方程是_ __ ___
11. 若椭圆

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x2 12. 已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3 BC 边上,则△ ABC 的周长是 .

x2 y2 ? ? 1的离心率是 1 ,则 k 的值等于 2 k ?8 9

.

x2 y 2 13. F1、F2 分别为椭圆 2 + 2 =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△ POF2 是面积为 a b
的值是 14. 设 M 是椭圆

3 的正三角形,则 b2

? x2 y 2 ? ? 1 上一点,F1、F2 为焦点, ?F1MF2 ? ,则 S?MF1F2 ? 6 25 16

15. 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为 (A) 2 (B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

16. 设 A ? x1 , y1 ? , B ? 4, ? , C ? x2 , y2 ? 是 右 焦 点 为 F 的 椭 圆 “ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的( (A)充要条件 (C)充分不必要条件 )

? ?

9? 5?

x2 y 2 ? ?1 上 三 个 不 同 的 点 , 则 25 9

(B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要
10

17. 如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 25 16

F 是椭圆的一个焦点,则 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?

.

18、已知定点 A(a,0) ,其中 0 ? a ? 3 ,它到椭圆

x2 y 2 ? ? 1上的点的距离的最小值为 1,求 a 的值。 9 4

19、已知F1?F2是椭圆 (1) 若∠F1PF2=

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P是椭圆上任一点. 100 64

? ,求△ F1PF2的面积。 3

(2) 求:|PF1|· |PF2|的最大值。

11



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