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高考试卷全国2015届高三最后一次模拟(I卷)数学(文)试题



免费在线作业标准 100 分答案

2015 年高考文科数学押题密卷(全国新课标 I 卷)
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部 分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用 橡皮

将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项符合题目要求. (A) ??1,0,1?

2 (1)设集合 M ? ??1, 0,1? , N ? x | x ? x ,则 M ? N ?

?

(C) ?1? 1-3i (2)复数 z= ,则 1+2i (A)|z|=2 (C)z 的虚部为-i x-1 (3)不等式 2 >0 的解集是 x -4 (A)(-2,1)∪(2,+∞) (C)(-2,1)

(D) ?0?

(B) ?0,1?

?

(B)z 的实部为 1 (D)z 的共轭复数为-1+i
开始

(B)(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)

输入 x k=0

(4)执行右面的程序框图,若输出的 k=2,则输入 x 的取值范 围是 (A)(21,41) (B)[21,41] (C)(21,41] (D)[21,41) (5)已知 p: ?x∈R,ax -ax+1≥0,q:(a-1) ≤1;则 p 是 q 成立的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)函数 f (x)=(x+2)3- (A)(-2,-1) (C)(0,1) 1 (2 ) 的零点所在区间是 (B)(-1,0) (D)(1,2)
x 2 2

k=k+1 x=2x-1 x≤81? 否 输出 k 结束 是

(7)已知向量 a=(1, 2) ,b=(2, 3)若(c+a)∥b,c⊥ (b+a) ,则 c= 7 7 7 7 (A) , (B ) , 9 3 3 9

2









11 正视图

3

侧视图

俯视图

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(C)

7 7 (3 , ) 9

(D) -



7 7 ,- 9 3



(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 11 3 (A) (B) 3 6 5 3 4 3 (C) (D) 3 3 5 5 Sn (9)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1+a3= ,且 a2+a4= ,则 = 2 4 an n-1 n (A)4 (B)4 -1 - (C)2n 1 (D)2n-1 (10)已知函数 f (x)=cos 2x+ 图象重合 π (A)向右平移 12 π (C)向左平移 12 π 6 π (D)向右平移 6 (B)向左平移

(

π 2π ,g (x)=sin 2x+ ,将 f (x)的图象经过下列哪种变换可以与 g (x)的 3 3

)

(

)

x2 y2 (11)过双曲线 2- 2=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点)的垂 a b 直平分线上,则双曲线的离心率为 (A) 2 (B)2 (C) 5 (D) 3

(12)函数 (A)(1,-1) (C)(0,1)

,其图像的对称中心是
(B)(-1,1) (D)(0,-1)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)在等差数列{an}中,a7=8,前 7 项和 S7=42,则其公差是为_________. (14) 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 2的正方形, 侧棱长都等 则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________.
C

于 4 5,

d1 d2 A

d3 P

B

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(15)点 P 在△ ABC 内部(包含边界) ,|AC|=3, |AB|=4,|BC|=5, 点 P 到三边的距离分别是 d1, d2 , d3 ,则 d1+d2+d3 的取值范围是_________. (16)△ ABC 的顶点 A 在圆 O:x2+y2=1 上,B,C 两点在直线 3x+y+3=0 上, 若| AB - AC |=4,则△ ABC 面积的最小值为_____. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选考题.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a≥b,sin A+ 3cos A=2sin B. (Ⅰ)求角 C 的大小; a+b (Ⅱ)求 的最大值. c

(18) (本小题满分 12 分) 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下: 甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3 (Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析,求抽到恰好有 1 场 得分不足 10 分的概率.
C
1C

(19) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 ABB1A1 形 , 侧 面 BB1C1C 为 菱 形 , ∠CBB1 = 60? , BB AB⊥B1C. (Ⅰ)求证:平面 ABB1A1⊥BB1C1C; (Ⅱ) 若 AB=2, 求三棱柱 ABC-A1B1C1 体积.

为正方
OB

AA

1A1

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(20) (本小题满分 12 分) x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M (-2,-1),离心率为 .过点 M 作倾斜角互补 a b 2 的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)试判断直线 PQ 的斜率是否为定值,证明你的结论.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)已知 x 轴是函数图象的一条切线.



请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为BC的中点,E 为 点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
B D

BC 的 中
E A O C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中, 直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2, M 是 C1 上任意一点, 点 P 在射线 OM 上, 且满足|OP|· |OM|=4,记点 P 的轨迹为 C2. (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; ? (Ⅱ)求曲线 C2 上的点到直线 ρcos θ+ = 2距离的最大值. 4

(

)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f (x)=|x-3|+|x-4|. (Ⅰ)解不等式 f (x)≤2; (Ⅱ)若存在实数 x 满足 f (x)≤ax-1,试求实数 a 的取值范围.

2015 年高考文科数学押题密卷(全国新课标 I 卷)

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参考答案
一、选择题: BDACB BDCDA AC 二、填空题: 2 (13) ; (14)100?; 3 三、解答题: (17)解: (Ⅰ) sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+

(15)

[ 12 5

,4

]



(16)1.

? ? =2sin B,则 sin A+ =sin B. …3 分 3 3 因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ =?-B,故 A+B= ,C= . ……………………………6 分 3 3 3 (Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? = = sin A+sin A+ = 3sin A+cos A=2sin A+ .…10 分 c sin C 3 6 3 a+b ? 当 A= 时, 取最大值 2. ……………………………12 分 3 c (18)解: (Ⅰ) 1 - 甲= (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, x 8 - 乙= 1 (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, x 8 1 2 s甲 = [(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75, 8 1 2 s乙 = [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) . …4 分 (Ⅱ)题设所述的 6 个场次乙得分为: 7,8,10,15,17,19. ……………………………7 分 从中随机抽取 2 场,这 2 场比赛的得分如下: (7,8),(7,10),(7,15),(7,17),(7,19), (8,10),(8,15),(8,17),(8,19), (10,15),(10,17),(10,19), (15,17),(15,19), (17,19), 共 15 种可能, ……………………………9 分 其中恰好有 1 场得分在 10 分以下的情形是: (7,10),(7,15),(7,17),(7,19), (8,10),(8,15),(8,17),(8,19), 8 共 8 种可能,所求概率 P= . ……………………………12 分 15

(

)

(

)

[

(

)]

(

)

(19)解: (Ⅰ)由侧面 ABB1A1 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C,

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又 AB?平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥BB1C1C.

…4 分

B1 B1

(Ⅱ)设 O 是 BB1 的中点,连结 CO,则 CO⊥BB1. 3 3 由(Ⅰ)知,CO⊥平面 ABB1A1,且 CO= BC= AB= 3. 2 2 1 1 2 3 连结 AB1,则 VC-ABB1= S△ ABB1· CO= AB2· CO= . …8 分 3 6 3 1 2 3 因 VB1-ABC=VC-ABB1= VABC-A1B1C1= , 3 3 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 VABC-A1B1C1=2 3. ………………………12 分 (20)解: 4 1 (Ⅰ)由题设,得 2+ 2=1, a b a2-b2 2 且 = , a 2 ① ②

由①、②解得 a2=6,b2=3, x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1.………………………………………………5 分 6 3 (Ⅱ)记 P (x1,y1)、Q (x2,y2). 设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2),与椭圆 C 的方程联立,得 (1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0, 8k2-8k-4 -4k2+4k+2 -2,x1 是该方程的两根,则-2x1= ,x1= . 1+2k2 1+2k2 设直线 MQ 的方程为 y+1=-k(x+2), -4k2-4k+2 同理得 x2= .………………………………………………9 分 1+2k2 因 y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2), 8k 2 y1-y2 k(x1+2)+k(x2+2) k(x1+x2+4) 1+2k 故 kPQ= = = = =1, 8k x1-x2 x1-x2 x1-x2 2 1+2k 因此直线 PQ 的斜率为定值. ……………………………………………12 分 (21)解: (Ⅰ)f ?(x) = 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减, 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. …………………………2 分 ∵ x 轴是函数图象的一条切线,∴切点为(a,0) . f (a)=lna+ 1=0,可知 a=1. ……………………………5 分

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(Ⅱ)令 1+

,由 x>0 得知 t>1,
.

,于是原不等式等价于:
……………………………7 分



,由(Ⅰ)知: 当 t∈(0,1)时,g ?(t)<0,g (t)单调递减, 当 t∈(1,+∞)时,g ?(t)>0,g (t)单调递增.
∴ g (t)> g (1)=0,也就是

. .
……………………………12 分

∴ (22)证明:

︵ (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为BC的中点,E 为 BC 的中点,所以 OED 三点共线. 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点,所以 OE∥AB,故 DE∥AB. ︵ B (Ⅱ)因为 D 为 BC 的中点,所以∠BAD = ∠BAD=∠DCB?∠DAC=∠DCB. D 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△ DAC∽△ ECD. AC AD E ? = ?AD· CD=AC· CE CD CE ? 2AD· CD=AC· 2CE A C O ? 2AD· CD=AC· BC. (23)解: (Ⅰ)设 P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. ……………………………3 分 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ………………………5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. ………………………… …7 分 3 2 C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d= , 2 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ . ………………………10 分 2 ? ?7-2x,x<3, 3≤x≤4, (24) (Ⅰ)f (x)=|x-3|+|x-4|=?1, ………………………2 分 ?2x-7,x>4. ? 5 9 作函数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 和 ,由图象知 2 2 5 9 不等式 f (x)≤2 的解集为 , . ………………………5 分 2 2

∠DAC , 又

[

]

B1 1C

免费在线作业标准 100 分答案 y a=-2 y=f (x) y=ax-1 y=2 O -1 a= y=ax-1 5 3 4 9 2 2 x 1 2

(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x. 1 由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪ ,+∞ . …………………10 分 2

[

)

AA1A1

C1

-END-

-END-

-END-



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