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2011版高三数学一轮精品复习学案:第九章 算法初步(91基本算法语句与程序框图)



2011 版高三数学一轮精品复习学案:第九章

算法初步

【知识特点】
1.本章内容是新刘标新增加的必修内容, 算法是数学及其应用的重要组成部分, 也是计 算机科学的重要基础,它与前面的知识有密切联系,并且与实际问题的联系也非常密切。 2.算法的三种基本结构蕴含了比较深刻的思想,成了历年高考的重点,在复习中要熟 练掌握算法的逻辑

结构和算法语句的格式,正确阅读、理解程序框图和算法语句。

【重点关注】
1.算法和程序框图 算法和程序框图的核心是程序框图是三种基本逻辑结构, 它与其他知识, 如函数、 方程、 不等式、数列等有密切的联系,应用非常广泛。 2.基本算法语句 基本算法语句是将程序框图转化为程序语句以实现算法的重要手段,是算法的主体内 容,高考试题对算法语句的考查一般是填空题,主要形式有两种,一是对一个算法程序中缺 少的关键语句进行补充;二是写出一个算法执行后的结果,难度不会太大。

【地位和作用】
算法是数学及其应用的重要组成部分, 是计算科学的重要基础. 随着现代信息技术的飞 速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多 方面,算法思想也正在成为普通公民的常识,成为现代人应具备的一种基本数学素养. 从新课改最近几年各省份的高考信息统计可以看出,命题会呈现出以下特点: 1.考查题型以选择、填空题为主,分值约点 3%左右,基本属于容易题; 2.重点考查程序框图的应用和基本算法语句,如条件结构、循环结构,以及它们相对 应的基本算法语句,注重程序框图和基本算法语句的应用及判别; 3.预计本章在今后的高考中仍将在程序框图和算法语句处命题,更加注重考查学生的 识图能力、分析问题和解决问题的能力。

9.1 基本算法语句与程序框图 【高考目标定位】

一、算法与程序框图 (一)考纲点击 1.了解算法的含义,了解算法的思想; 2.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件、循环。 (二)热点提示 1.本节是高考的热点内容,主要考查算法的含义和程序框图的理解和应用; 2.本部分在高考题中以选择、填空为主,属于中档题。 二、基本算法语句 (一)考纲点击 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含 义。 (二)热点提示 1.基本算法语句是算法的主体内容,高考中重在考查对算法语句的理解和应用,其形 式有:一是对一个算法程序中缺少的关键语句进行补充,二是写出一个算法执行后的结果; 2.高考试题对算法语句的考查三种题型均能出现,但是重在选择题、填空题。

【考纲知识梳理】
一、算法与程序框图 1.算法 (1)古代定义:指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。 (2)现代定义:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 (3)应用:算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题。 2.程序框图 (1)定义:程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的 图形。 (2)说明:在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方 向箭头的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序。 3.三种基本逻辑结构 顺序结构 名称 条件结构 循环结构

内容 由若干个依次执行 的步骤组成的,这是 定义 任何一个算法都离 不开的基本结构 向, 条件结构就是处理 这种过程的结构 骤的情况,反复执行的 步骤称为循环体 算法的流程根据条件 是否成立有不同的流 从某处开始,按照一定 的条件反复执行某些步









注:三种基本逻辑结构的共同点是:即只有一个入口和一个出口,每一个基本逻辑结构 的每一部分都有机会被执行到,而且结构内不存在死循环。 二、基本算法语句 1.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 输出语句 息 赋值语句 2.条件语句 (1)算法中的条件结构与条件语句相对应; (2)条件语句的格式及框图 变量=表达式 将表达式的值赋给变量 一般格式 INPUT“提示内容” ;变量 PRINT“提示内容” ;表达式 输入信息 输出常量、 变量的值和系统信 功能

①IF—THEN 格式

②IF—THEN—ELSE 格式

3.循环语句 (1)算法中的循环结构与循环语句相对应。 (2)循环语句的格式及框图。 ①UNTIL 语句

②WHILE 语句

注: 计算机是按怎样的顺序执行循环语句的? (使用循环语句的关键是辨认出算法在执 行过程中的循环特征,若先考虑判断,再进行循环,则使用当型(WHILE 型)循环;若先进

行循环,再判断,则使用直到型(UNTIL 型)循环,直到型循环语句至少执行一次循环体, 而当型循环语句则可能一次也执行循环体,二者本质上是相同的,可以相互转化。 )

【热点难点精析】
一、算法与程序框图 ※相关链接※ 1.算法的特征 (1)概括性:写出的算法必须能解决某一类问题,并且能够重复使用; (2)逻辑性:算法从它的初始步骤开始,分为若干明确的步骤,前一步是后一步的前 提,只有执行完前一步才能进行后一步,而且每一步都是正确无误的,从而组成了一个有着 很强逻辑性的序列; (3)有穷性:算法有一个清晰的起始步,终止步时表示问题得到解答或指出问题没有 解答,所有序列必须在有限个步骤内完成,不能无停止地执行下去; (4)不唯一性:求解某一问题的算法不一定只有唯一的一个,可以有不同的算法,当 然这些算法有简繁之分、优劣之别; (5)普遍性:很多具体的问题,都可以通过设计合理的算法去解决。例如手算法、心 算或用算盘、 计算器去计算都要经过有限的、 事先设计好的步骤加以解决。 同样, 工作计划、 生产流程等都可以认为是算法。 注:算法要求“按部就班地做” ,每做一步都有唯一的结果。 2.给出一个问题,设计算法时应注意: (1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学方法; (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况; (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤; (4)用简练的语言将各个步骤表示出来。 ※例题解析※ 〖例〗写出找出 1 至 1 000 内 7 的倍数的一个算法. 解答:算法 1: S1 令 A=0; S2 将 A 不断增加 1,每加一次,就将 A 除以 7,若余数为 0,则找 到了一个 7 的倍数,将其输出;

S3 反复执行第二步,直到 A=1 000 结束. 算法 2: S1 令 k=1; S2 输出 k·7 的值; S3 将 k 的值增加 1,若 k·7 的值小于 1 000,则返回 S2,否则结 束. 算法 3: S1 令 x=7; S2 输出 x 的值; S3 将 x 的值增加 7,若没有超过 1 000,则返回 S2,否则结束. (二)算法的顺序结构和条件结构 ※相关链接※ 1.顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下顺序进 行的。程序框图中一定包含顺序结构。 2.解决分段函数的求值问题时,一般采用条件结构设计算法。利用条件结构解决算法 问题时, 要引入判断框, 要根据题目的要求引入一个或多个判断框。 而判断框内的条件不同, 对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化,故要逐个分析判断框内的条件。 3.画程序框图的规则 (1)使用标准的框图符号; (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画; (3)除判断框外,大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点,判断框 是具有超过一个退出点的唯一符号; (4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 注: (1)终端框(起止框)是任何程序框图不可少的,表明程序开始和结束。 (2)输入 框和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置。 ※例题解析※ 〖例〗已知函数 y ? ? 图。 思路解析:分析算法 ?写出算法 ?选择合适的逻辑结构 ?画出程序框图。

?2 x ? 3 ?x ? 2
2

( x ? 0) ( x ? 0)

,写出求该函数的函数值的算法并画出程序框

解答:算法如下: 第一步:输入 x ; 第二步:如果 ( x ? 0) ,那么使 y ? 2 x ? 3 , 否则 y ? x2 ? 2 ; 第三步:输出 y 。 程序框图如下:

(三)算法的循环结构 〖例〗设计算法求

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值,并画出程序框图。 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

思路解析: (1)这是一个累加求和问题,共 99 项相加; (2)设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一算法。 解答:算法如下: 第一步:令 S=0, i ? 1; 第二步:若 i ? 99 成立,则执行第三步; 否则,输出 S,结束算法; 第三步: S ? S ?

1 ; i (i ? 1)

第四步: i ? i ? 1 ,返回第二步。 程序框图: 方法一:当型循环程序框图:

方法二:直到型循环程序框图:

注: 利用循环结构表示算法, 一定要先确定是利用当型循环结构, 还是直到型循环结构; 第二要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪一步开始循环。 (四)算法的实际应用 〖例〗 意大利数学家菲波拉契,在 1202 年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子 饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存 活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔. 问这样下去到年底

应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序. 解答: 根据题意可知,第一个月有 1 对小兔,第二个月有 1 对成年兔子,第三个月有两对兔 子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第 N 个月有 F 对兔子, 第 N ? 1 个月有 S 对兔子,第 N ? 2 个月有 Q 对兔子,则有 F ? S ? Q ,一个月后,即第 N ? 1 个月时,式中变量 S 的新值应变第 N 个月兔子的对数( F 的旧值),变量 Q 的新值应变为第

N ? 1 个月兔子的对数( S 的旧值),这样,用 S ? Q 求出变量 F 的新值就是 N ? 1 个月兔子的
数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第 12 项就是年底应有兔子对数,我们可以先确 定前两个月的兔子对数均为 1 ,以此为基准,构造一个循环程序,让表示 “第×个月的 I 从 3 逐 次增加 1 ,一直变化到 12 ,最后一次循环得到的 F 就是所求结果. 流程图和程序如下:

注: (1)实际生活中很多问题都可以利用框图的方法处理,而解决实际问题的方法本身就是 对算法的一个体现。解决此类问题时,首先要认真分析,联系解决此类问题的数学方法,综合考 虑此类问题中可能涉及的问题,明确选择合适的算法逻辑结构来画出程序框图。 (2)在算法中,遇到不同形式的选择问题,需要考虑利用条件结构,对式子呈现一定规律 且计算项较多时,需要考虑利用循环结构,要注意第一次循环和最后一次循环的结果,以免多算 或漏算。

二、基本算法语句

(一)输入、输出、赋值语句的应用 ※相关链接※ 1.输入、输出、赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句。 一个语句可以输出多个表达 式。在赋值语句中,变量的值始终等于最近一次赋给它的值,先前的值将被替换。 2.一个赋值语句只给一个变量赋值,但一个语句行可以写出多个赋值语句。 3.不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等) 。 注:输入语句没有计算功能,而输出语句、赋值语句有计算功能。 4.在 BASIC 语言中,常见运算符号的书写方式

5.BASIC 语言中的运算规则 先乘除,后加减;乘幂优先于乘除;函数优先于乘幂;同级运算从左向右按顺序进行;括号 内最优先。 ※例题解析※ 〖例〗某企业为职工计算工资时按时间计,每月的总工资=每月劳动时间×每小时工资,从 总工资中扣除 15%作为医疗保险金,再以总工资的 5?作为奖金,要求输入劳动时间和每小时工 资数,输出每位职工应发工资。设计算法并画出程序框图,写出程序。 思路解析: (1)设出每小时工资,每月劳动时间,每月总工资,先求出每月总工资,再求应 发工资; (2)在程序编写中赋值语句是其中关键的基本语句。 解答:算法分析: 第一步:输入月劳动时间 t 和每小时工资 a ; 第二步:求每月总工资 y =每月劳动时间 t ×每小时工资 a ; 第三步:求应发工资 z =每月总工资 y ×(1-15%)+5?; 第四步:输出应发工资 z 程序框图:

程序:

(二)条件语句的应用 ※相关链接※ 1.条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中,求分段函数的函数值往往用条件 语句编写程序。 2.条件语句可以嵌套,即条件语句的 THEN 或 ELSE 后面还可以跟条件语句,其一般形式是:

对应的程序框图为:

3.条件语句常用运算符

注:条件语句必须以 IF 语句开始,以 END IF 语句结束,一个 IF 语句必须和一个 END IF 对应,尤其对条件语句的嵌套编程时,不要漏掉 END IF。 ※例题解析※ 〖例〗如图,已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7cm,腰长为 2 2 cm,当一条 垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从 B 点开始由左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直 线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x(0≤x≤7),左边部分的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式, 并画出程序框图,写出程序。 思路解析:分析题意 ? 求出所有数据 ? 求三角形面积 ? 求梯形面积 ? 得解析式 ? 画出 框图 ?写出程序。 解答:过点 A、D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G、H。∵ABCD 是等腰梯形,底角是 45 ,AB= 2 2 cm,∴BG=AG=DH=HC=2cm。又 BC=7cm,∴AD=GH=3cm,
0 0

?1 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? (2 ? x ? 5) 所以 y ? ? 2 x ? 2 ? 1 ?? ( x ? 7) 2 ? 10 (5 ? x ? 7) ? 2
程序框图如图

程序一:

程序二:

(三)循环语句的应用 〖例〗2008 年 9 月发生了“三鹿奶粉污染”事件,主要是在一些企业生产的奶制品中检测 出三聚氰胺,三聚氰胺是一种有毒的化工原料,俗称“假蛋白” 。蛋白质主要由氨基酸组成,蛋 白质平均含氮量 16%左右,而三聚氰胺的含氮量为 66%左右,不法分子往往在奶制品中加三聚氰 胺主要是因为它能冒充蛋白质。2008 年 9 月 16 晶国家质检总局公布了 22 家企业生产的婴幼儿 配方奶粉中含有三聚氰胺, 其中最高含量为 2563mg/kg, 最低含量为 0.09mg/kg.设计一个求含量 高于 20 mg/kg 的婴幼儿配方奶粉的平均含量的程序框图,并写出程序。 思路解析: (1)由于涉及到 22 家企业,因此使用循环结构来控制企业数; (2)用条件结构来判断含量是否高于 20,同时统计高于 20mg/kg 的总和与企业数。 解答:程序框图:

程序:

注: (1)在解决实际问题时,要正确理解其中的算法思想,根据题目写出其关系式,再写出 相应的算法。在循环语句中,也可以嵌套条件语句,甚至是循环语句,此时需要注意嵌套这些语 句需要保证语句的完整性,否则就会造成程序无法执行。 (2)涉及到利用循环结构或循环语句解决的问题都可利用两种形式去解决,在用 WHILE 语 句和 UNTIL 语句编写程序时,一定要注意它们的格式及条件的表示方法。

【感悟高考真题】
1. (2010·浙江理数) (2)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内位

(A) k>4? (B)k>5? (C) k>6? (D)k>7? 解析:选 A,本题主要考察了程序框图的结构,以及与数列有关的简单运算,属容易题 2. (2010·辽宁理数)(4)如果执行右面的程序框图,输入正整 数 n,m,满足 n≥m,那么输出的 P 等于
m (A) Cn ?1 m (B) An ?1 m (C) Cn m (D) An

【答案】D 【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式,考 查了学生的视图能力以及观察、推理的能力 【解析】第一次循环:k=1,p=1,p=n-m+1; 第二次循环:k=2,p=(n-m+1)(n-m+2); 第三次循环:k=3,p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3) ?? 第 m 次循环:k=3,p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)?(n-1)n
m 此时结束循环,输出 p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)?(n-1)n= An

3. (2010·湖南文数)12.图 1 是求实数 x 的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填

4. (2010·山东理数) (13)执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 10 ,则输出 y 的值 为 .

【答案】 ?

5 4 1 ? 10-1=4 ,此时|y-x|=6; 2

【解析】当 x=10 时,y= 当 x=4 时,y=

1 1 1 3 ? 4-1=1 ,此时|y-x|=3;当 x=1 时,y= ?1-1=- ,此时|y-x|= ; 2 2 2 2 1 1 1 5 3 5 ( -1=- ,此时|y-x|= <1 ,故输出 y 的值为 ? 。 当 x= ? 时,y= ? ? ) 2 2 2 4 4 4
【命题意图】本题考查程序框图的基础知识,考查了同学们的试图能力。

【考点精题精练】
一、选择题 1.如图给出了一个算法流程图,该算法流程图的功能是( )

A、求三个数中最大的数 到小排列 答案 B

B、求三个数中最小的数

C、按从小到大排列

D、按从大

2.执行如图的程序框,输出的 A 为

A.2047 答案 A

B.2049

C.1023

D.1025

3.(2009 青岛一模理)若右面的程序框图输出的 S 是 126 ,则①应为

A. n ? 5 ? 答案 B

B. n ? 6 ?

C. n ? 7 ? D. n ? 8 ?

4、 (2009 广州一模)阅读图 2 的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“: =”),若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是

A.i>5 答案 A

B i> 6

C.i> 7

D.i> 8

5、 (2009 宁波十校联考)我市某机构调查小学生课业负担的情况,设平均每人每做作业时 间 X (单位:分钟) ,按时间分下列四种情况统计:0~30 分钟;②30~60 分钟;③60~90 分 钟;④90 分钟以上,有 1000 名小学生参加了此项调查,右图是此次调查中某一项的流程图,其 输出的结果是 600,则平均每天做作业时间在 0~60 分钟内的学生的频率是 A.0.20 B.0.40 C.0.60 D.0.80

答案 B 6.(2009 日照一模)如图,程库框图所进行的求和运算是

1?
A

1 1 1 ? ? ??? ? 2 3 10

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 3 5 19 B

C

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 4 6 20

D

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 2 2 2 2
答案 C

7. (2009 台州市第一次调研)根据右边程序框图,若输出 y 的值是 4,则输入的实数 x 的值 为

(A) 1 答案 D

(B) ?2

(C)

1或 2

(D) 1 或 ?2

8.下边方框中为一个求 20 个数的平均数的程序,则在横线上应填的语句为(



A. 9.有如下算法:

B.

C.

D.

第一步: 输入大于 1 的正整数 n 第二步: 判断 n 是否等于 2,若 n=2,则输出 n,结束;若 n>2,则执行第三步 第三步:依次从 2 到 n-1 检验能不能整除 n,若不能整除 n,则输出 n,结束;否则执行第 四步 第四步 输出“不满足条件” 这个算法如果输出 n 的值,那么这个 n 是 A.质数 B.奇数 C.偶数 D.一定是 2 ( A )

10. 执行右边的程序框图,若输出 y 的值为 2,则输入的 x 应该是(D) A. 2 或 3 C. 2 B. 2 或 ? 3 D. 2 或 ? 3 )

11. 计算机执行下面的程序段后,输出的结果是( B

a ?1 b?3 a ? a?b b ? a ?b
PRINT a , b

A.1,3

B.4,1

C.0,0

D.6,0

解答:B.4,1

1 12.如下图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 3 ,则空白
处的关系式可以是( )

1
3 A. y ? x ?x B. y ? 3 x C. y ? 3

3 D. y ? x

解答:C

二、填空题 13 .( 2009 杭 州 二 中 第 六 次 月 考 ) 如 上 图 所 示 算 法 程 序 框 图 中 , 令

a ? tan315? , b ? sin315? , c ? cos315? ,则输出结果为______.

? 答案 cos 315

14.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次, 第 i 次观测得到的数据为 下表所示:

ai ,具体如

i

1 40

2 41

3 43

4 43

5 44

6 46

7 47

8 48

ai

在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中 a 是这 8 个数据 的平均数),则输出的 S 的值是_

答案 7 15. 用秦九韶算法计算函数 f(x)= 2x +3x +5x - 4 当 x=2 时的函数值为 解答:62 16. 执行右边的程序框图,若输出 y 的值为 2,则输入的 x 应该是
4 3

62

.

2或? 3

三、解答题 17. 根据如图所示的程序框图,将输出的 x、y 值依次分别记为 x1 , x2 ,?, xn ,?, x2008 ;

y1 , y2 ,?, yn ,?, y2008

(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式 xn ; (Ⅱ)写出 y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}的一个通项公式 yn,并证明你的结论; (Ⅲ)求 zn ? x1 y1 ? x2 y2 ? L ? xn yn (n ? N * , n ? 2008). 解: (Ⅰ)由框图,知数列 {xn } 中,x1 ? 1, xn?1 ? xn ? 2 ∴ xn ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1(n ? N*, n ? 2008) (Ⅱ)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80. 由此,猜想 yn ? 3n ?1(n ? N*, n ? 2008). 证明:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2 ∴ yn?1 ? 1 ? 3( yn ? 1) ∴ ??5 分 ??2 分 ??3 分

yn ?1 ? 1 ? 3, y1 ? 1 ? 3. yn ? 1

∴数列{yn+1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列。??7 分 ∴ y n +1=3·3n 1=3n ∴ y n =3n-1( n ? N *, n ? 2008 ) ??8 分


(Ⅲ)zn= x1 y1 ? x2 y 2 ? ? ? xn y n =1×(3-1)+3×(32-1)+?+(2n-1) n-1) (3 2 n =1×3+3×3 +?+(2n-1) -[1+3+?+(2n-1)] ??9 分 ·3 2 记 Sn=1×3+3×3 +?+(2n-1) n,① ·3 ??10 分 2 3 n+1 则 3Sn=1×3 +3×3 +?+(2n-1)×3 ② 2 3 n ①-②,得-2Sn=3+2·3 +2·3 +?+2·3 -(2n-1) n+1 ·3 2 n n+1 =2(3+3 +?+3 )-3-(2n-1) ·3

3(1 ? 3 n ) ? 3 ? (2n ? 1)·n ?1 = 3n?1 ? 6 ? (2n ? 1)·n?1 ? 2(1 ? n)·n?1 ? 6 3 =2× 3 3 1? 3
∴ S n ? (n ? 1)·n?1 ? 3. 3 又 1+3+?+(2n-1)=n2 ∴ zn ? (n ?1) ? 3n?1 ? 3 ? n2 (n ? N*, n ? 2008) . ??12 分 ??13 分 ??14 分

18. (1) 将下面的 程序框图改写为程序语句。(2)将上面的程序语句改写为程序框图。

解答:



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