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内蒙古包头市包头一中2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题



一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
? 1 ? 1.若集合 M ? ? y y ? 2 ?, P ? y y ? x ? 1 ,那么 M ? P ? ( x ? ?
A. (0,??) B. ?0,??) ? C. (1,??) D. ?1,??) ?

?

?



2. 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分 层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( A.6 B.8 C.10 ) D.12

3. 若 S n 为等差数列 ?a n ?的前 n 项和,S 9 ? ?36 , S 13 ? ?104 ,则 a5 与 a7 的等比 中项为( A. 4 2 ) B .

?4 2

C .

?2 2

D. 32 )

4.已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为( A.
1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.
11 5 )



) D.
37 16

6.下列判断错误的是(

2 2 A. “ am ? bm ”是” a ? b ”的充分不必要条件

2 2 B.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”

C.若 p, q 均为假命题,则 p ? q 为假命题
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D.若

? ~ B ? 4, 0.25 ?

,则 D? ? 1

7. 从点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC 两两成 60? 角,且分别与球 O 相切于 A, B, C 三 点, 若球的体积为 A. 2
4? ,则 OP 两点之间的距离为( 3

) D. 2

B. 3

C.1.5

?x ? y ? 6 ? 0 ? 8、已知 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3 , ?x ? 3 ?
则a的范围为 A. a ? 1 B. a ? ?1
2? 3



) D. a ? 1 或 a ? ?1 )

C. ?1 ? a ? 1

9.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ? B. 8 ?

?

C. 8 ? 2?

3 2? D. 3

4? ?? ? 10.设? ? 0 ,函数 y ? sin ??x ? ? ? 2 的图像向右平移 个单位 3 3? ?

(第 9 题图)

后与原图像重合,则 ? 的最小值是( A.
2 3


3 2

B.

4 3

C.

D. 3

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? 11. 已知 以 T ? 4 为 周期 的函 数 f ( x) ? ? , 其 中 m ? 0 . 若方程 ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ?
3 f ( x) ? x

恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
? 15 ? ? A. ? ? 3 ,3 ? ? ?


4 8 C. ( , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

D. 2, 7

?

?

x2 y2 x2 y2 12.若双曲线 2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(m>b>0 )的离心率之积大于 1,则 a b m b
以 a , b , m 为边长的三角形一定是( )

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A 等腰三角形

B

直角三角形

C

锐角三角形

D 钝角三角形

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若 (1 ? mx) 6 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ?a 6 x 6 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? ?a 6 ? 63 ,则实数 m 的值 为 . .

14. 若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则其共轭复数 z = 15.执行右边的程序框图,输出的 T= .
开始

S=0,T=0,n=0 是

T>S 否 S=S+5 n=n+2

(第 16 题图)

输出 T 结束

T=T+n

(第 15 题图) 16.如上图,在矩形 ABDC 中, AB ? 1, AC ? 2, O 为 AC 中点,抛物线的一部分在矩 形内,点 O 为抛物线顶点,点 B, D 在抛物线上,在矩形内随机地放一点,则此点 落在阴影部分的概率为 .

三、解答题(共 6 个小题,第 22 题 10 分,其余 12 分,共 70 分)
17. (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 :
?? ? m ? (sin ? x ? cos ? x , 3 cos ? x ), n ? (cos ? x ? sin ? x , 2sin ? x ),(其中? ? 0) ,

?? ? 函数 f ( x ) ? m ? n ,若 f ( x ) 相邻两对称轴间的距离为 ? .
2

(Ⅰ)求 ? 的值,并求 f (x) 的最大值及相应 x 的集合; (Ⅱ)在△ABC 中, a , b, c 分

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别是 A,B,C 所对的边,△ABC 的面积 S ? 5 3, b ? 4, f ( A) ? 1 ,求边 a 的长. 18. (本小题满分 12 分)盒子里装有 6 件包装完全相同的产品,已知其中有 2 件 次品,其余 4 件是合格品.为了找到 2 件次品,只好将盒子里的这些产品包装 随机打开检查,直到两件次品被全部检查或推断出来为止.记 ? 表示将两件次 品被全部检查或推断出来所需检查次数. (I)求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为 4 次的概率; (II)求 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 在 四 棱 锥

P ? ABCD

中 ,

?ABC ? ?ACD ? 90?



?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平 面 ABCD , E 为 PD 的 中 点 ,
PA ? 2 AB ? 2 .

(Ⅰ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ; (Ⅱ) 若 F 为 PC 的 中 点 , 求 证 : 平 面 PAC ? 平 面 AEF ; (第 19 题图) (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的大小.
? 3? x2 y2 20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ?1, ? ,且其右 ? 2? a b

焦点与抛物线 C 2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合.(Ⅰ )求椭圆 C 的方程;
1

(II)直线 l 经过点 F 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,与抛物线 C 相交于 C、D 两点.
1 2



| AB | 的最大值. | CD |

1 21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx. 2 1 (Ⅰ )当 a ? b ? 时,求函数 f (x) 的最大值; 2 1 a (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? ( 0 ? x ? 3 )其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线 2 x 1 的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.
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22.(本题满分 10 分)已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与 x

? x ? 1 ? 2 cos ? 轴的正半轴重合, 且长度单位相同. C 的参数方程为 ? 圆 ( ? 为参数), ? y ? ?1 ? 2 sin ?
点 Q 的极坐标为 (2,
7? ) .(Ⅰ)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; 4

(Ⅱ)若点 P 是圆 C 上的任意一点, 求 P , Q 两点间距离的最小值.

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高三一模理科数学参考答案
一、 ABBBA DBCAC -i; BD 30; 1/3; 二、1 或-3;

三、解答题(共 6 个小题,第 22 题 10 分,其余 12 分,共 70 分)

17、解: (Ⅰ)? f ( x) ? cos 2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x cos ?x ? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? ??????3 ? 2 sin( 2?x ? )
6



? 又题意可得 T ? ? ,? ? ? 1,? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) 6 ? =1 时, f (x) 有最大值为 2, 当 sin(2 x ? )
6

??????4 分

? x ? {x | x ?

?
6

? k? , k ? Z }

??????6



? ( Ⅱ ) ? f ( A) ? 2 sin(2 A ? ) ? 1 6 分 ? 5? ?
?2A ? 6 ? 6 ,? A ? 3
c?5

? sin(2 A ?

?
6

)?

1 2

?0 ? A ? ?

??7

???????8


1 ? S ? bc sin ? 5 5 2 3

???????9

分 由余弦定理得:a2=16+25-2×4×5cos 12 分 18、解: (1)检查次数为 4 次包含两类情况:

? =21 ? a ? 21 3

????

C 21C 42 A33 1 ①前 3 次检查中有一个次品,第 4 次检查出次品,其概率为 P1 ? ? ----2 分 A64 5
②前 4 次检查全部是合格品,余下两件必是次品,其概率为 P2 ? 所以所求概率为 P1 ? P2 ?

A 44 1 ? ,----2 分 4 A 6 15

1 1 4 ? ? ,-------5 分 5 15 15

(2) ? 的可能取值为 2,3,4,5-----------6 分
1 1 C 22 C 4 A22C 2 1 2 P(? ? 2) ? 2 ? , P(? ? 3) ? ? , 3 15 15 C6 A6

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P(? ? 4) ?

1 A44 ? C 2C 42A33 4 ? , 4 15 A6

C 3C 1A 4 8 P(? ? 5) ? 4 2 4 ? . 4 15 A6
分布列如下表:

(一个 1 分)---------10 分

?
P

2

3

4

5

1 15

2 15

4 15

8 15
所 以

E? ? 2 ?

1 ?3 15

2 ? ? 4 15

4 ? 5 ? 15

8 64 ? ? --------12 分 15 15
3 , AC ? 2 ……1

19. 解: (Ⅰ)在 Rt ?ABC 中, AB ? 1 , ?BAC ? 60? ,∴ BC ?

分 在 Rt ?ACD 中, AC ? 2 , ?CAD ? 60? ,∴ CD ? 2 3 , AD ? 4 …………2 分 1 1 1 1 5 ∴ S ABCD ? AB ? BC ? AC ? CD ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 …………3 分 2 2 2 2 2 1 5 5 则V ? ? 3?2 ? 3 …………………………………………4 分 3 2 3 (Ⅱ)∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ PA ? CD …………………………5 分 又 AC ? CD , PA ? AC ? A , ∴ CD ? 平面 PAC ……………………6 分 ∵ E 、 F 分别为 PD 、 PC 中点, ∴ EF / / CD ∴ EF ? 平面 PAC ……………………7 分 ∵ EF ? 平面 AEF ,∴平面 PAC ? 平面 AEF …………8 分 (Ⅲ)取 AD 的中点 M ,连结 EM ,则 EM / / PA , ∴ EM ? 平面 ACD ,过 M 作 MQ ? AC 于 Q , 连接 EQ ,则 ?EQM 为二面角 E ? AC ? D 的平面角。……………………10 分 ∵ M 为 AD 的中点, MQ ? AC , CD ? AC ,

EM 1 3 1 1 ∴ MQ ? CD ? 3 ,又 EM ? PA ? 1 ,∴ tan ?EQM ? , ? ? 2 2 MQ 3 3
故 ?EQM ? 30? 即二面角 E ? AC ? D 的大小为 30? …………………………12 分。
20. 解: )解法 1:由抛物线方程,得焦点 F (1, 0) ,? c ? 1. ………1 分 (Ⅰ 故 a2 ? b2 ? c2 ? 1 ①

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又椭圆 C1 经过点 M (1, ) ,∴

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b



由①消去 a 2 并整理,得, 4b 4 ? 9b 2 ? 9 ? 0 ,解得 b 2 ? 3 ,或 b 2 ? ? ② 从而 a 2 ? 4 . 故椭圆的方程为 解 法 : 由 抛

3 (舍去) , 4

x2 y 2 ? ?1 . 4 3
物 线 方 程 ,

……………4 分 得 焦 点 ,

2

F (1, 0)

3 3 ? c ? 1. ? 2a ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? 4, ? a 2 ? 4, b 2 ? 3. 2 2
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

……………4 分

(Ⅱ 当直线 l 垂直于 x 轴时, )① 则 A(1, ), B (1, ? ), C (1, 2), D(1, ?2) ?

3 2

3 2

3 ? . CD 4

AB

…5 分

② 当直线 l 与 x 轴不垂直,设其斜率为 k (k ? 0) ,则直线 l 的方程为

? y ? k ( x ? 1), ? y ? k ( x ? 1) 由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ? 4



(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

显然 ?1 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .

x1 ? x2 ?

8k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

4(k 2 ? 3) 3 ? 4k 2

所以, | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
2

8k 2 2 16(k 2 ? 3) 12(1 ? k 2 ) ? 1? k ? ( ) ? ? . ……………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
由?

? y ? k ( x ? 1), 2 ? y ? 4x



k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0

显然 ? 2 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 C ( x3 , y3 ) , D ( x4 , y4 ) .

? k ? 0, ? x3 ? x4 ? 2 ?

4 , k2

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4 4(1 ? k 2 ) . ……………10 分 由抛物线的定义,得 | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? 4 ? 2 ? k k2
? AB 12(1 ? k 2 ) k2 3k 2 3 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 3 4 CD 3 ? 4k 4(1 ? k ) 3 ? 4k 4? 2 k
AB CD
取得最大值

综上,当直线 l 垂直于 x 轴时, 21.

3 . ……………………………12 分 4

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x 0 取得最大值 ,所以 a ≥ ???8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
所以 a ≥ (?

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因 为 h(1) ? 0 , 所 以 方 程 ( * ) 的 解 为 x2 ? 1 , 即

m ? m 2 ? 4m ?1 , 解 得 2

m?

1 ?????12 分 2

22. (1) C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 , 圆 展开得 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 化为极坐标方程 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? 0 (2) Q 的直角坐标为 ( 2 ,? 2 ) , 点 且点 Q 在圆 C 内, (1) 由 知点 C 的直角坐标为 (1,?1) 所以 | QC |? 2 ? 2 ,所以 P, Q 两点间距离的最小值为 | PQ |? 2 ? (2 ? 2 ) ?

2

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