极坐标系与参数方程

极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1、极坐标系的概念，及互化公式 2、直线的极坐标方程 ①过极度点倾斜角为 ? 的直线②过 (a, b) 且与极轴垂直的直线

③过 (b, ? ) 且平行于极轴直线
2

④过 (a,? ) 且与极轴垂直的直线

⑤过（ ? 0,?0 ) 且与极轴成 ? 角的直线

3、圆的极坐标方程 ①圆心在极点半径为 ? 的圆 ②圆心在 (a,0) ，半径为 a 的圆

1

③圆心在 (a, ? ) ，半径为 a 的圆 ④圆心为 (?0 ,?0 ) ，半径为 ? 的圆
2

二、参数方程 1、圆心为 (a, b) 半径为 ? 的圆的参数方程 2、椭圆 x 2 ? y2
a b
2 2

? 1 的参数方程

3、过 P ( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程
? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y0 ? t sin ?

t 的几何意义：
设直线上点 P 1 ，P 2 对应参数为 t1 ， t 2 则 P 1 ，P 2 中点对应参数 t1 ? t2
2

p1 p2 ? t2 ? t1

直线上任一点 P 对应参数为 t 则
p0 p = t

1、 （2011 北京理 3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的 极坐标系是 (A) (C)
(1, ) 2

?

(B)

(1, ? ) 2

?

(1,0)

(D)(1， ? )
2

2、 （2011 安徽理 5） ? 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为（ ）
3

（A）2 (C)
1?

(B)
?2
9

4?

?2
9

（D)

3

3、 （2011 湖南理 9）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程 为? ?
x ? cos ? , （ ? 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相 ? y ? 1 ? sin ?

同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴） 中，曲线 C2 的方程为 ? ? cos? ? sin? ? ? 1? 0，则 C1 与 C2 的交点个数 为 。

4、 （2011 陕西理 15C） （坐标系与参数方程选做题）直角坐 标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，设点 A，B 分别在曲线 C1 ： ? ? 线 C2 ： ? ? 1 上，则 | AB | 的最小值为 5、 （2011 天津理 11）已知抛物线 C 的参数方程为 ?
? x ? 8t 2 , ? y ? 8t .

x ? 3 ? cos?

? y ? 4 ? sin ?

（ ? 为参数）和曲

（t 为

参数） ，若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的的焦点，且与圆 2 ? x ? 4 ? ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切，则 r =

6、 （2011 江苏 21C）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 ? ? 的右焦点，且与直线 ? ?
x ? 5cos ? （? ? y ? 3sin ?

为参数）

x ? 4 ? 2t （ t 为参数）平行的直线的普 ?y ? 3?t
3

通方程．

7、 （2010 上海理 16）直线 l 的参数方程是 ? ? 的方向向量是 d 可以是 （ (A)(1,2) (C)(-2,1) (B)(2,1) (D)(1,-2) ）

x=1+2t

? y=2-t

(t ? R) ，则

l

8、 （2010 广东文 15）在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中，曲线
? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1的交点的极坐标为

9、 （2012 广东文 14）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? 2 t ?x ? 1? ? 2 C2 : ? (t ? x ? 5 cos ? ? ? ? y ? ? 2 t 是参数） C2 : ? (? 是参数， 0 ? ? ? ）和 ， ? ? y ? 5 sin ? 2 ? ? 2

它们的交点坐标为

10、 （2012 湖南理 9）在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： x=t+1 Y= 1-2t (t 为参数)与曲线 C2 ：x=asin y=3cos
? ?

( ? 为参数，a＞0 ) 有一个公共点在 X 轴上，则 a 等于 11、 （2010 课标全国理 23）坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? ?
x ? 1 ? t cos ? . ? y ? t sin ? ,

（t 为参数） ，圆 C2 : ? ?
4

x ? cos ? , ? y ? sin ? ,

(? 为

参数)， （Ⅰ)当 ? = ? 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
3

（Ⅱ）过坐标原 点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A,P 为 OA 的中点， 当 ? 变化时， P 点轨迹的参数方程， 求 并指出它是什么曲线;

12、 （2011 课标全国理 23）坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
? x ? 2cos ? （ ? 为参数） ? ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点，P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中，射线 ? ? ? 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点
3

??? ?

???? ?

的交点为 B，求 AB .

13、 （2012 课标全国理 23）坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程式（为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式 p＝２.正方形ＡＢＣＤ的顶点都在Ｃ２上，且Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为。 （Ⅰ）求点Ａ，Ｂ，C，D 的直角坐标； （Ⅱ）设 P 为 C1 上任意一点，求的取值范围。

5

14、 （2010 辽宁理 23）坐标系与参数方程

已知 P 为半圆 C：

（ ? 为参数， 0 ? ? ? ? ）上

的点，点 A 的坐标为（1,0） 为坐标原点，点 M 在射线 OP ，O 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度均为 ? 。
3

（I）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标； （II）求直线 AM 的参数方程。

15、 （2011 辽宁理 23）坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1 的参数方程为 ? ? 参数） ，曲线 C2 的参数方程为 ? ?
x ? cos ? （? 为 ? y ? sin ?

x ? a cos ? （ a ? b ? 0 ， ? 为参数） ， ? y ? b sin ?

在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：

θ= ? 与 C1，C2 各有一个交点．当 ? =0 时，这两个交点间的距
离为 2，当 ? = ? 时，这两个交点重合．
2

（I）分别说明 C1，C2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； （II） 设当 ? = ? 时， 与 C1， 2 的交点分别为 A1， 1， ? = ? ? l C B 当
4 4

时，l 与 C1，C2 的交点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积．

16、 （2012 辽宁理 23）坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆 C1 : x2 ? y2 ? 4 ，圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 。
6

(Ⅰ)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 分别写出圆 C1, C2 的极坐标方程， 并求出圆 C1, C2 的交点坐标(用 极坐标表示)； (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。

17、 （2011 江苏 21C）坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中， 求过椭圆 ? ? 的右焦点，且与直线 ? ? 方程．
x ? 5cos ? （? ? y ? 3sin ?

为参数）

x ? 4 ? 2t （ t 为参数）平行的直线的普通 ?y ? 3?t

18、 （2012 江苏 21C）在极坐标中，已知圆 C 经过点 P ? 圆心为直线 ? sin ? ? ? 程．
? 3 ?? 3 2

2，

? 4

?，

?

与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方

19、 （2011 福建理 21（2） ）坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的 参数方程为 ?x ?
? 3cos? （?为参数） . ? y ? sin?

（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位， 且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐 标为（4，π ） ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；
2

（II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离
7

的最小值.

20、 （2012 福建理 21（2） ）坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为几点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点 M，N 的极坐标分 别为（2,0） ( 2 ，
3 ? , ) ，圆 3 2

C 的参数方程

。

（Ⅰ）设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方 程； （Ⅱ）判断直线 l 与圆 C 的位置关系。

8