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极坐标系与参数方程



极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1、极坐标系的概念,及互化公式 2、直线的极坐标方程 ①过极度点倾斜角为 ? 的直线②过 (a, b) 且与极轴垂直的直线

③过 (b, ? ) 且平行于极轴直线
2

④过 (a,? ) 且与极轴垂直的直线

⑤过( ? 0,?0 ) 且与极轴成 ? 角的直线
<

br />3、圆的极坐标方程 ①圆心在极点半径为 ? 的圆 ②圆心在 (a,0) ,半径为 a 的圆

1

③圆心在 (a, ? ) ,半径为 a 的圆 ④圆心为 (?0 ,?0 ) ,半径为 ? 的圆
2

二、参数方程 1、圆心为 (a, b) 半径为 ? 的圆的参数方程 2、椭圆 x 2 ? y2
a b
2 2

? 1 的参数方程

3、过 P ( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程
? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y0 ? t sin ?

t 的几何意义:
设直线上点 P 1 ,P 2 对应参数为 t1 , t 2 则 P 1 ,P 2 中点对应参数 t1 ? t2
2

p1 p2 ? t2 ? t1

直线上任一点 P 对应参数为 t 则
p0 p = t

1、 (2011 北京理 3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的 极坐标系是 (A) (C)
(1, ) 2

?

(B)

(1, ? ) 2

?

(1,0)

(D)(1, ? )
2

2、 (2011 安徽理 5) ? 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为( )
3

(A)2 (C)
1?

(B)
?2
9

4?

?2
9

(D)

3

3、 (2011 湖南理 9)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程 为? ?
x ? cos ? , ( ? 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相 ? y ? 1 ? sin ?

同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,曲线 C2 的方程为 ? ? cos? ? sin? ? ? 1? 0,则 C1 与 C2 的交点个数 为 。

4、 (2011 陕西理 15C) (坐标系与参数方程选做题)直角坐 标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,设点 A,B 分别在曲线 C1 : ? ? 线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最小值为 5、 (2011 天津理 11)已知抛物线 C 的参数方程为 ?
? x ? 8t 2 , ? y ? 8t .

x ? 3 ? cos?

? y ? 4 ? sin ?

( ? 为参数)和曲

(t 为

参数) ,若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的的焦点,且与圆 2 ? x ? 4 ? ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r =

6、 (2011 江苏 21C)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ? 的右焦点,且与直线 ? ?
x ? 5cos ? (? ? y ? 3sin ?

为参数)

x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普 ?y ? 3?t
3

通方程.

7、 (2010 上海理 16)直线 l 的参数方程是 ? ? 的方向向量是 d 可以是 ( (A)(1,2) (C)(-2,1) (B)(2,1) (D)(1,-2) )

x=1+2t

? y=2-t

(t ? R) ,则

l

8、 (2010 广东文 15)在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线
? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1的交点的极坐标为

9、 (2012 广东文 14)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? 2 t ?x ? 1? ? 2 C2 : ? (t ? x ? 5 cos ? ? ? ? y ? ? 2 t 是参数) C2 : ? (? 是参数, 0 ? ? ? )和 , ? ? y ? 5 sin ? 2 ? ? 2

它们的交点坐标为

10、 (2012 湖南理 9)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: x=t+1 Y= 1-2t (t 为参数)与曲线 C2 :x=asin y=3cos
? ?

( ? 为参数,a>0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a 等于 11、 (2010 课标全国理 23)坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? ?
x ? 1 ? t cos ? . ? y ? t sin ? ,

(t 为参数) ,圆 C2 : ? ?
4

x ? cos ? , ? y ? sin ? ,

(? 为

参数), (Ⅰ)当 ? = ? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标;
3

(Ⅱ)过坐标原 点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点, 当 ? 变化时, P 点轨迹的参数方程, 求 并指出它是什么曲线;

12、 (2011 课标全国理 23)坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中,射线 ? ? ? 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点
3

??? ?

???? ?

的交点为 B,求 AB .

13、 (2012 课标全国理 23)坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程式(为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的极坐标方程式 p=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C, D依逆时针次序排列,点A的极坐标为。 (Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求的取值范围。

5

14、 (2010 辽宁理 23)坐标系与参数方程

已知 P 为半圆 C:

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上

的点,点 A 的坐标为(1,0) 为坐标原点,点 M 在射线 OP ,O 上,线段 OM 与 C 的弧 的长度均为 ? 。
3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

15、 (2011 辽宁理 23)坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ? 参数) ,曲线 C2 的参数方程为 ? ?
x ? cos ? (? 为 ? y ? sin ?

x ? a cos ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) , ? y ? b sin ?

在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:

θ= ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距
离为 2,当 ? = ? 时,这两个交点重合.
2

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II) 设当 ? = ? 时, 与 C1, 2 的交点分别为 A1, 1, ? = ? ? l C B 当
4 4

时,l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

16、 (2012 辽宁理 23)坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 。
6

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1, C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1, C2 的交点坐标(用 极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。

17、 (2011 江苏 21C)坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 求过椭圆 ? ? 的右焦点,且与直线 ? ? 方程.
x ? 5cos ? (? ? y ? 3sin ?

为参数)

x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通 ?y ? 3?t

18、 (2012 江苏 21C)在极坐标中,已知圆 C 经过点 P ? 圆心为直线 ? sin ? ? ? 程.
? 3 ?? 3 2

2,

? 4

?,

?

与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方

19、 (2011 福建理 21(2) )坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的 参数方程为 ?x ?
? 3cos? (?为参数) . ? y ? sin?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐 标为(4,π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;
2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离
7

的最小值.

20、 (2012 福建理 21(2) )坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分 别为(2,0) ( 2 ,
3 ? , ) ,圆 3 2

C 的参数方程



(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方 程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。

8



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