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第四次:高中文科数学平面向量知识点整理



高中文科数学平面向量知识点整理
1、概念 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 向量表示:几何表示法 AB

;字母 a 表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y).向量
??? ? ??? ? ? ? ? 的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | .

( | a |?

?

?2 ? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。 )

零向量:长度为 0 的向量。a=O ? |a|=O.

【例题】1.下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条 件是它们的起点相同,终点相同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)
? , ,/ c 若 ABCD 是平行四边形, 则 AB ? DC 。 (5) 若 a ?bb, c 则a ?c 。 (6) 若 a / bb
??? ? ???? ??? ? ??? ?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

? ?? ?



则 a // c 。其中正确的是_______

? ?

? ? ?? ? ? 2.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | =_____
2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连 ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

C
? a
?

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?

? b

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .
-1-

? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则. AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) (1)① AB ? BC ? CD ? ___;② AB ? AD ? DC ? ____; ③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____
4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ;
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?

?

? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; ? ? ? ? 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

1 ??? MN ,则点 P 的坐标为_______ 3 ? ? ? ? ? ? 5、 向量共线定理: 向量 a a ? 0 与 b 共线, 当且仅当有唯一一个实数 ? , 使 b ? ?a . 设
【例题】 (1)若 M(-3,-2) ,N(6,-1) ,且 MP ? ?

???

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ( b ? 0 ) ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 。 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,
【例题】 (1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 6、向量垂直: a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【例题】(1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?

7、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵ 性质 :设 a 和 b 都 是非零 向量 ,则 ① a ? b ? a ?b ? 0 . ②当 a 与 b 同 向 时,

? ?

? ?

??

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? a ? b ? a b ; 当 a 与 b 反 向 时 , a ? b ? ? a b ; a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a . ③

-2-

? ? ? ? a ?b ? a b .
⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ?

? ?

? ?

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?

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? ?

? ?

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?

? ?

? ?

?2

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a⊥b ? a〃b=0 ? x1x2+y1y2=0.
则 a∥b ? a=λb(b≠0) ? x1y2= x2y1.?

?

设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? ; (注 | a ? b |?| a || b | ) 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
(1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________
? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? 2, b ? 5, a ?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____
?

? ??

? ??

? ??

( (3)已知 a ? (? ,2? ) ,

?

b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______

?

?

8、 b 在 a 上的投影:即 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。 【例题】 已知 | a |? 3 ,| b |? 5 , 且 a ? b ? 12 , 则向量 a 在向量 b 上的投影为______
? ?
? ?

?

?

?

2013 年全国各地高考文科数学试题:平面向量
一、选择题 1 . (20 13 年高考辽宁卷 (文) ) 已知点 A

?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
( ) C. ? ? , ?

??? ?

A. ? ,- ?

?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

??? ? 2 . (2013 年高考湖北卷(文) )已知点 A( ?1, 1) 、 B(1, 2) 、C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在
???? CD 方向上的投影为

( B.



A.

3 2 2

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2
( )

3 (大纲卷)已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n? , 则? =
-3-

B. ? 3 C. -2 D. -1 4 . (湖南)已知 a,b 是单位向量,a〃b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

A. ?4

5 . (2013 广东卷(文) )设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命

?

?

?

?

题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 A. ? 2 B.2 B. 2 C .3 C. ? 2 或 2 D.4 ( ) D.0 ( )
6 . (2013 年高考陕西卷(文) )已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?





7 . (辽宁卷(文) )已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a

?

3

? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
1 a

A. b ? a

3

B. b ? a 3 ?
3

C. b ? a ? b ? a ?
3

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a
( )

8 . (福建卷(文) )在四边形 ABCD 中, AC

? (1,2), BD ? ( ?4,2) ,则该四边形的面积为
C .5 D.10

A. 5
二、填空题

B. 2 5

9 .四川卷(文) )如图,在平行四边形 ABCD 中 , 对 角 线 AC 与

??? ? ???? ???? O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _____________.

BD 交 于 点

10. (2013 年高考天津卷(文) )在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中

???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为______. 点. 若 AC·
11. (重庆卷(文) ) OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实数

??? ?

??? ?

k ? ____________.

-4-

12 . ( 山东卷(文) ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 OA ? ( ?1, t ) , OB ? (2, 2) , 若

??? ?

??? ?

?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为______
13. (浙江卷(文) )设 e1.e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x.y∈R..若 e1.e2 的夹角为

? , 6

|x| 则 的最大值等于_______. |b|

14. (安徽(文) )若非零向量 a, b 满足

? ?

? ? ? ? ? ? a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______.

15. (上海高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别

为 a1 、 a2 、 a3 ; 以 C 为 起 点 , 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 c1 、 c2 、 c3 . 若

??

?? ?

?? ?

??

?? ?

??

?? ?? ? ?? ? ?? i, j, k , l ??1, 2,3? 且 i ? j, k ? l ,则 ai ? a j ? ck ? cl 的最小值是______ __.

?

??

?

16 . (课标Ⅱ卷(文) ) 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2,E 为 CD 的 中 点 , 则

??? ? ??? ? AE ? BD ? ________.
17 . (课标 Ⅰ 卷) 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b , 若 b ? c
?

? 0 ,则

t ? _____.
18. (2013 年高考北京卷(文) )已知点 A(1, ?1) , B (3, 0) , C (2,1) .若平面区域 D 由所有满足

??? ? ??? ? ??? ? 1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 1) 的点 P 组成,则 D 的面积为__________. AP ? ? AB ? ? AC(
2012 高考文科试题:平面向量

一、选择题
1.全国文 9】?ABC 中,AB 边的高为 CD , 若C B ? a ,CA ? b ,a ? b ? 0 ,| a |? 1 ,| b |? 2 ,

? ? ? ? ?

??? ?

? ? ?

?

?

2? 2? 3? 3? 4? 4? b (C) a ? b (D) a ? b 3 3 5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? 2.【2012 高考重庆文 6】设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |?
则 AD ? (A) a ? b (B) a ? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10

????

1? 3

1? 3

3.【2012 高考浙江文 7】设 a,b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得 b=λa D.若存在实数λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

? ? ? ? a b b 都是非零向量, 4. 【四川文 7】 设a 、 下列四个条件中, 使 ? ? ? 成立的充分条件是 ( |a| |b|



-5-

A、 | a |?| b | 且 a // b

?

?

? ?

B、 a ? ?b

?

?

C、 a // b

? ?

D、 a ? 2b

?

?

6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a 〃b = 1,则 x = (A) —1 (B) —

1 2

(C)

1 2

(D)1

9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=(x-1,2) ,b=(2,1) ,则 a⊥b 的充要条件是 A.x=-

1 2

B.x-1

C.x=5

D.x=0

10.【2012 高考天津文科 8】在△ABC 中, ? A=90°,AB=1,设点 P,Q 满足 AP = ? AB , AQ =(1- ? ) AC , ? ? R。若 BQ (A)
1 3

?

?

?

?

?

?
? CP

=-2,则 ? = C)
4 3

(B)

2 3

(D)2

二、填空题
1.【新课标文 15】已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 3. 【湖南文 15 】如图 4 ,在平行四边形 ABCD 中 , AP ⊥ BD ,垂足为 P , AP ? 3 则

? ?

?

? ?

?

??? ? ??? ? AP?AC =

.

4. 【2012 高考浙江文 15】 在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3, BC=10, 则A BA C ? 9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=(1,0) ,b=(1,1) ,则 (Ⅰ)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。

?? ? ? ?

=________.

2011 高考文科平面向量 一. 选择题:
??? ? 则 BC ? (

??? ? ??? ? 1.(安徽卷 2)若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,

) D. (-3,-7)

B. (-1,-1) C. (3,7) ? ? 8.(海南卷 9)平面向量 a , b 共线的充要条件是( )
A. a , b 方向相同 C. ?? ? R ,

A.

(1,1)

?

?

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0
-6-

?

?

? ? b ? ?a

?

?

?

??? ? ??? ? 10.(湖南卷 7)在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? (

)

A. ?

3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

D.

3 2

2) , B(?1, , ,且 ? 2) , C (31) 11. (辽宁卷 5 )已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,
???? ???? BC ? 2 AD,则顶点 D 的坐标为( )

? 7? A. ? 2, ? ? 2?

1? ? B. ? 2, ? ? 2? ?

2) C. (3,

3) D. (1,

12. (山东卷 8 )已知 a, b, c 为 △ ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,向量
o s B ? bc o s A c s i n ? C 若m ? n , 且ac m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) .

, 则角 A, B

的大小分别为(
π π A. , 6 3


2π π , 3 6 π π C. , 3 6 1 3 π π D. , 3 3

B.

15.(重庆 4)若点 P 分有向线段 AB 所成的比为- ,则点 B 分有向线段 PA 所成的比是

??? ?
1 2

??? ?

(A)二.

3 2 填空题:

(B)-

(C)

1 2

(D)3

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线, 1.(全国二 13)设向量 a ? (1
则? ? . .

2. (北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , 且 a ? b ? 4, 那么 a ? b 的值为

4.(湖南卷 11)已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?2,0) ,则 a ? b =_____________________. 5.(江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 7.(江西卷 16)如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题:

?

?

?

?

? ?

. .

??? ? ??? ? ??? ? A. AC ? AF ? 2BC

E

D

??? ? ???? ? ??? ? B. AD ? 2 AB ? 2 AF
??? ? ???? ???? ??? ? C. AC ? AD ? AD ? AB
F

C

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? D. ( AD ? AF ) EF ? AD( AF ? EF )
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .A、B、D

A

B

8.(陕西卷 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
-7-

,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c .②若 a ? (1
③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60? . 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号)

9. (上海卷 5) 若向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 2 且 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

?

?

? ? ? , 则 a?b ? 3



10. ( 天 津 卷 14 ) 已 知 平 面 向 量 a ? (2, 2) , 若 c ? a ? (a ? 4) , b ? (?1, b )b , 则

c ?



-8-



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