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高中数学人教A版选修2-2课件:1.2.1几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)



1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

-1-

1 ,

1.会根据定义求函数 y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)= = () = 的导数. 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.

1.如何理解常数函数的导数为0的意义? 剖析:设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点 处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的 函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态.

2.如何分类理解和记忆基本初等函数的导数公式? 剖析:基本初等函数的导数公式可分为四类:第一类为幂函 数,y'=(xα)'=αxα-1(注意幂指数 α 可推广到全体实数);第二类为三角函 数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数 的相反数;第三类为指数函数,y'=(ax)'=axln a,当 a=e 时,y=ex 的导数 是 y'=(ax)'的一个特例;第四类为对数函数,y'=(logax)'= 的一个特例.
1 , ()′ ln 1 1 , ln

也可记为(logax)'= · logae,当 a=e 时,y=ln x 的导数是 y=logax 的导数 对于公式(ln x)'= , (e)′ = e很好记,但记忆公式(logax)'= = ln a 比较难,特别是 ln a 的位置易记混. 应区分公式的结构特征,找出它们的差异,熟练记忆公式.
1

题型一

题型二

题型三

用求导公式求函数的导数 【例1】 求下列函数的导数:

(1)y=10; (5)y=3x;

(2)y=x ; (6)y=log5x.

10

(3)y=

3

2 ;

(4) =

1
3

2

;

分析:解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式,再利 用公式求导. 解:(1)y'=10'=0. (2)y'=(x10)'=10x10-1=10x9.
2 (3)y'=( 3 )′

2 2 -1 2 -1 2 3 3 = = = 3 . 3 3 3 x 2 2 - 2- 1 2 -5 (4)y'=(x 3 )′ = ? 3 = ? 3 = 3 3

?

2 3
3

(5)y'=(3x)'=3xln 3. 1 (6)y'=(log5x)'= .
x5

x5

.

题型一

题型二

题型三

反思求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较复杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初 等函数,再选择合适的求导公式求解.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x-5; (2)y=4x; (3)y= ; (4)y=log7x; π (5)y=sin + .
2

解:(1)y'=-5x-6. (2)y'=4xln 4. (3)∵y= (4)y'=
1 2

1 · 4

1 · 8

=

7 8 , ∴

′ =

1 . ln7

7 -1 8 . 8

(5)∵y=sin

π + 2

= cos x,∴y'=-sin x.

题型一

题型二

题型三

用求导公式求切线的斜率(或方程) 【例2】 求曲线y=lg x在点M(10,1)处的切线的斜率和切线方程. 分析:所求切线斜率就是函数y=lg x在x=10处的导数.求出切线的 斜率后,再根据直线方程的求法求出切线方程.

解:∵y'=(lg x)'=

1 ,∴ ln10

′| = 10 = ? 10),

1 . 10ln10

∴曲线 y=lg x 在点 M(10,1)处的切线的斜率为 k= ∴切线方程为 y-1=
即 x-(10ln 10)y+10(ln 10-1)=0.
1 ( 10ln10

1 . 10ln10

反思求函数在某一点处的导数,需要先对原函数进行求导,再将 变量值代入导函数求解.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 过原点作曲线y=ex的切线,求切点的坐标及切线 的斜率. 解:因为(ex)'=ex,设切点坐标为(x0, e 0 ), 则过该切点的直线的斜率为e 0 , 所以所求切线方程为 y?e 0 = e 0 ( ? 0). 因为切线过原点,所以 ? e 0 = ?0 ·e 0 , 0 = 1. 所以切点坐标为(1,e),斜率为 e.

题型一

题型二

题型三

导数的综合应用 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐 标原点,试在直线AB下方的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大. 分析:解答本题的关键是寻求到直线x+2y-4=0的距离最大的点P, 可考虑用切线或直接用点到直线的距离公式求解.

题型一

题型二

题型三

解:方法一:因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要点P 到AB的距离最大,即只要点P是抛物线上平行于AB的切线的切点即 可.设P(x,y),由题意知,点P在x轴下方的图象上.

所以 y=-2 , 所以y'=?

1 1 1 .因为 kAB=? , 所以 ? 2

= ? , =

1 2

4. 由y2=4x(y<0),得 y=-4,所以点 P 的坐标为(4,-4).

题型一

题型二

题型三

方法二:设

2 0 , 4 0

, 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最
1 1 ( 5 4 0

大,只要使点 P 到直线 AB:x+2y-4=0 的距离最大即可.设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= 联立
1 2 40 +20 -4

+ 2-4 = 0, 消去x 解得 y=-4±4 2, 2 = 4, 因此 y0∈(-4-4 2, 4 2 ? 4). 当 y0=-4 时,d 最大,此时△PAB 的面积最大,所以点 P 的坐标为 (4,-4).
反思利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解 决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是正确确定所求 切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数求最值的方法 确定点P的坐标.

5

=

+ 4)2 -8 .

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 设点P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线 y=x的最小距离. 解:根据题意,设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点 P(x0,y0),该切点即为到直线y=x距离最近的点,如图所示.

则曲线 y=ex 在点 P(x0,y0)处的切线斜率为 1,即 y′| = = 1. 因为 y'=(ex)'=ex, 所以e 0 = 1, 得x0=0,代入 y=ex,得 y0=1,即 P(0,1).
|0-1| 利用点到直线的距离公式得最小距离为 2
0

=

2 . 2



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