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【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习回归训练 第一部分 微专题训练-第9练 用导数研究函数的性质


【回归训练】 一、 填空题
ln x 1. 若函数f(x)= x 在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴,则f(x0)=

. .

2. 若曲线f(x)=ax3+lnx存在平行于x轴的切线,则实数a的取值范围是

3. 若 a>0,b>0, 且 函 数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处 有 极 值 , 则 ab 的 最 大 值 为 .

4. 已知函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与 x轴交点的横坐标为xn,则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012= .

3 5. 若 函 数 f(x)= x +ln x 在 区 间 (m,m+2) 上 单 调 递 减 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围



.

6. 如果f'(x)是二次函数,且f'(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ),那么曲 线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α 的取值范围是 . .

7. 若函数f(x)=x-a x 在区间上单调递增,则实数a的最大值为

8. 若 不 等 式 |ax3-ln x| ≥ 1 对 任 意 x ∈ (0,1] 都 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

二、 解答题 9. 已知函数f(x)=x2+aln x. (1) 当a=-2e时,求函数f(x)的单调区间和极值;
2 (2) 若函数g(x)=f(x)+ x 在区间上是减函数,求实数a的取值范围.

10. 已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.
1

(1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 求实数a的值.

a 11. 已知a∈R,函数f(x)= x +ln x-1.

(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2) 求f(x)在区间(0,e]上的最小值.

2

第9 练
【方法引领】 利 用 导 数

用导数研究函数的性质















? ?求单调区间:注意定义域的限制 ?单调性 ? ?解恒成立问题:注意研究函数的单调性 ? ? ?极值和最值:注意极值和最值的区别与联系 ?由单调性、极值或最值求参数:注意转化与化归思想、分类讨论思想 ? ? ?

3

第9练
1 1. e

用导数研究函数的性质

2. (-∞,0) 3. 9 4. -1 5.
?π π? ? , ? 6. ? 3 2 ?

7. 2

? e2 ? ? , ?? ? 3 ? 8. ?
9. (1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞).
2e 2(x- e)(x ? e) x 当a=-2e时,f'(x)=2x- x = ,

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: (0, e ) 单调递减 0 极小值 ( e ,+∞) + 单调递增

x

e

f'(x) f(x)

所以 f(x) 的单调递减区间是 (0, e ); 单调递增区间是 ( e ,+ ∞ ), 极小值是 f( e )=0.
4

2 a 2 2 (2) 由g(x)=x +aln x+ x ,得g'(x)=2x+ x - x ,
2

2 又函数g(x)=x2+aln x+ x 为区间上的单调减函数,则g'(x)≤0在上恒成立, a 2 2 2 即不等式2x+ x - x ≤0在上恒成立,即a≤ x -2x2在上恒成立. 2 2 设φ (x)= x -2x ,显然φ (x)在上为减函数,

63 ? ? 63 ? -? ,- ? 2 ?. 所以φ (x)的最小值为φ (4)=- 2 .所以实数a的取值范围是 ?

10. (1) f(x)=ax3-4ax2+4ax,f'(x)=3ax2-8ax+4a.令f'(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0.
2 因为a≠0,所以3x2-8x+4=0,所以x= 3 或x=2. 2 因为a>0,所以当x∈ -∞, 3 或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的单调增 2 区间为 -∞, 3 或(2,+∞); 2 2 当x∈ 3 ,2 时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调减区间为 3 ,2 . 2 (2) 因为当x∈ -∞, 3 时,f'(x)>0; 2 当x∈ 3 ,2 时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,

2 2 所以函数f(x)在x= 3 时取得极大值,即a· 3

-2 2=32,解得a=27.

5

1 11. (1) 当a=1时,f(x)= x +ln x-1,x∈(0,+∞),
1 1 x -1 1 2 2 所以f'(x)=- x + x = x ,x∈(0,+∞).因此f'(2)= 4 .

1 即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 4 . 1 又f(2)=ln 2- 2 ,

所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
1 1 y- ln 2- 2 = 4 (x-2),

即x-4y+4ln 2-4=0.
a 1 x-a a 2 2 (2) 因为f(x)= x +ln x-1,所以f'(x)=- x + x = x .

令f'(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当 x ∈ (a,e] 时 ,f'(x)>0, 函数 f(x) 在区间 (a,e] 上单调递增 , 所以当 x=a 时 , 函数 f(x)取得最小值ln a. ③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,当x∈ (e,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(e,+∞)上单调递增,
a 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值 e .

综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a;
6

a 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为 e .

7


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