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函数与数列复习



轻沙走马路无尘 ------函数与数列复习 刘 忠(江西省永丰中学特级教师) (本文发表于《数学专页》2010 年 1 月 13 日) 高考第一轮复习是以“教学要求”为目标,即以“基础知识熟悉、思想方法理清、解题技能掌握、能 力素质到位”为目标,不仅关注高考的热点,而且重视高考的冷点.而高考第二轮复习则是以“考试要求” 为目标,更多地注重主干知识、主要方法,更多地注重数学思想和

数学能力,在知识梳理中形成知识网络、 在方法的掌握中形成技巧、在思想的形成中提高能力. 对于函数与数列, 由于数列是特殊的函数, 因此在熟悉函数与数列的情况下, 研究两者的联系与区别、 研究如何将两者的联系与区别灵活应用于解题过程中,就显得非常重要了. 一、函数 函数是数学的主线,它除了本身的基础性和综合性之外,还具有重要的工具性. 因此,熟悉函数知识、 树立函数思想、掌握函数应用,是解决函数问题的主要策略. 高考数学中的函数部分,除了有“函数概念及其性质的综合题”以外,还有“函数与其它知识的综合 题”. 1、函数概念及其性质的综合题 函数的主要内容包括函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、反函数、图像及其对 称性等,它们的综合运用有一定难度,熟悉函数知识、熟记相关结论是解决问题的关键. 例 1 已知函数 y ? f ? 2 x ? 1? 是定义在 R 上的奇函数, 函数 y ? g ? x ? 的图像与 y ? f ? x ? 的图像关于直 线 x ? y ? 0 对称,若 x1 ? x2 ? 0 ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 等于( A.-1 B.1 C.2 ) D. -2 解 ∵ y ? f ? 2 x ? 1? 是奇函数,∴ f ? ?2x ? 1? ? ? f ? 2x ? 1? ,即 f ? ?1 ? x ? ? ? f ? ?1 ? x ? , ∴ y ? f ? x ? 的图像关于点 ? ?1,0? 对称,∴ y ? g ? x ? 的图像关于点 ? 0, ?1? 对称. 1/8 又∵ 评析 g ? x1 ? ? g ? x2 ? x1 ? x2 ? ?1, ∴ g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?2 ,故选 D. ? 0 ,∴ 2 2 这 是 一 道 函 数 “ 内 部 ” 的 综 合 题 , 解 题 过 程 中 包 括 “ 若 y ? f ? x ? 1? 是 奇 函 数 , 则 ”、 “图像关于直线 y ? x 对称的函数 y ? g ? x ? f ? ? x ? 1? ? ? f ? x ? 1?(注意 :不是 f ? ? x ? 1? ? ? f ? x ? 1? ) 与 y ? f ? x ? 互为反函数” 、 “满足条件 f ? ?1 ? x ? ? ? f ? ?1 ? x ? 的函数 y ? f ? x ? 的图像关于点 ? ?1,0? 对称” 和“ y ? g ?x ? 的图像关于点 ? 0, ?1? 对称,且 是解决不了问题的. 2、函数与其它知识的综合题 函数与其它知识的综合题,通常是以中高档题的形式出现,如常见的: (1)函数与方程(不等式)的综合题 对函数 y ? f ? x ? 而言, f ? x ? ? 0 就是其对应的方程, f ? x ? ? 0 等就是其对应的不等式,函数或方程或 不等式等问题的解决通常是相互联系和相互转化的. 2 ? 例 2 已知 f (t ) ? log 2 t , t ? ? ? 2,8? ,对于值域内的所有实数 m,不等式 x ? mx ?


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