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独立检验的基本思想及其初步应用


§1.2 独立检验的基本思想及其初步应用
滕州一中东校 韩霞

教材分析
本节课是选修 1-2 第一章第二节 “独立检验的基本思想及其初步应用”的第一节, 《数 在 学 3(必修) 》概率统计内容的基础上,通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及 其初步应用,使学生认识统计方法在决策中的作用.教科书通过探究“吸烟是否与患肺癌有 关系”引出了独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、条形图展示在吸烟人中患肺癌 的比例比不吸烟人中患肺癌的比例要高,使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能有关系.“吸 烟与患肺癌有关”这一直觉来自于观测数据,即样本.问题是这种来自于样本的印象能够在 多大程度上代表总体?来自于样本的结论 “吸烟与患肺癌有关” 能够推广到总体吗?为了回 答这个问题,就必须借助于统计理论来分析.在统计学中,独立性检验就是检验两个分类变 量是否有关系的一种统计方法.

课时分配
本节内容用 1 课时完成,主要介绍独立性检验的基本思想、方法及初步应用;会从列 联表(只要求 2 ? 2 列联表) 、条形图直观分析两个分类变量是否有关;会用 K 公式判断两个
2

分类变量在某种可信程度上的相关性.

教学目标
重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 难点:独立性检验的基本思想和随机变量 K 的含义. 知识点: 了解独立性检验的基本思想、 方法及初步应用; 会从列联表 (只要求 2 ? 2 列联表) 、 条形图直观分析两个分类变量是否有关;会用 K 公式判断两个分类变量在某种可信程度上 的相关性. 能力点:通过本节课的学习,让学生感受数学与现实生活的联系,体会独立性检验的基本思 想在解决日常生活问题中的作用. 教育点: 培养学生运用所学知识, 依据独立性检验的思想作出合理推断的实事求是的好习惯. 自主探究点: 运用数形结合的方法, 借助对典型案例的探究, 来了解独立性检验的基本思想, 总结独立性检验的基本步骤. 考试点:会用 K 公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性.
2 2 2

教具准备:多媒体辅助教学

课堂模式:以教师为主导,以学生为主体,合作探究式进行学习 一. 引入新课
师:5 月 31 日是世界无烟日.有关医学研究表明,许多疾病,例如:心脏病、癌症、脑血管
病、肺病等都与吸烟有关,吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.这些疾病与吸烟有 关的结论是怎样得出的呢?我们看下面一个问题: 为调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人,得到如下结果(单位: 人) 表1 吸烟与患肺癌调查表 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 患肺癌 总计

7775

42

7817

2099
9874

49
91

2148
9965

那么吸烟是否对患肺癌有影响呢?下面先来介绍一下与列联表相关的概念. 【设计意图】联系生活,引起共鸣,激发学生的学习兴趣.从生活的实例出发,让学生充分 体会数学与实际生活的联系,从而使得本节知识的形成更自然、更生动. 一、相关概念 1、分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量. 2、列联表:像表 1 这样列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.(高中阶段我们只研 究 2 ? 2 列联表) 问题 1:根据列联表中的数据,计算吸烟者和不吸烟者中患肺癌的比重各是多少? 学生活动,动手计算,做出相关结论. 在不吸烟样本中,有 0.54% 患肺癌;在吸烟样本中,有 2.28% 患肺癌.直观上可以得到结 论:吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异. 【设计意图】设置问题,引发学生的思考,激发学生的求知欲望.

二.探究新知
3、二维条形图: 将列联表中的数据输入到 Excel 表格中,将数据呈现到图形中 师用 Excel 表格演示: 借助二维条形图的展示, 使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关 系. 【设计意图】借助多媒体辅助教学进行演示,引导学生观察这两类图形的特征,并分析由图 形得出的结论. 师:通过分析数据和图形,我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌有关”.当对这个问题作 出推断时,我们不能仅凭主观意愿作出结论,那么这种判断是否可靠呢?

二、独立性检验 1、独立性检验的思想 把表 1 中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表: 表 2 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 患肺癌 总计

a
c

b
d

a?b c?d

b?d a?b?c?d 为了回答上述问题,我们先假设 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系. a c ? 则有: ,即 ad ? bc . a?b c?d
因此, ad ? bc 越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; ad ? bc 越大,说明吸烟与患肺 癌之间关系越强. 构造一个随机变量

a?c

n ? ad ? bc ? K ? (1) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) 2 若 H 0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系” ,则 K 应该很小.
2 2

根据表 1 中的数据,利用公式(1)计算得到 K 的观测值为

2

k?

9965 7775? 49 ? 42 ? 2099 2 ( ) ? 56.632 7817? 2148? 9874? 91

这个值到底能告诉我们什么呢? 统计学家经过研究后发现,在 H 0 成立的情况下, (2) P( K 2 ? 6.635) ? 0.01 问题 2:如何理解在 H 0 成立的情况下, (2)式的含义呢? 学生讨论总结:在 H 0 成立的情况下,K 的观测值大于 6.635 的概率非常小,近似为 0.01 , 是一个小概率事件. 【设计意图】学生活动:讨论式教学,运用群体的力量和团队精神解决问题,通过给学生思 考、探索的空间,培养学生的合作学习观念. 问题 3:结合(2)式,以及 K 的观测值 k ? 56.632 ,由这两个式子你能得到什么样的结 论呢? 教师启发,学生得出结论:这种判断会犯错误,但犯错误的概率不会超过 0.01 ,即我们有 99 % 的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.
2 2

上面这种利用随机变量 K 来判断“两个分类变量有关系”的方法,称为两个分类变量的独 立性检验. 【设计意图】生成概念,让学生初步体会独立性检验的基本思想. 以教师为主导,遵从学生 认识规律进行启发;以学生为主体,合作探究式进行学习.

2

类比:上面解决问题的想法类似于反证法,可以从与反证法思想比较的角度帮助学生理解上 面介绍的独立性检验的思想. 下表列出了二者的对应关系: 反证法原理 在一个已知假设下, 如 果推出一个矛盾, 就证 明了这个假设不成立. 独立性检验原理 在一个已知假设下,如果一个与该假 设矛盾的小概率事件发生,就推断这 个假设不成立.

学生活动:分组进行讨论,而后让学生总结二者的联系和区别 从上面的对比中,可以看出独立性检验的思想方法和反证法类似,不同之处有两个:其一是 在独立性检验中用有利于 H 1 的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾;其二是独立性检 验中的接受原假设 H 0 的结论相当于反证法中没有找到矛盾. 【设计意图】用类比的方法,帮助学生进一步理解独立性检验的思想,培养学生用联系的观 点看问题.

三. 理解新知
师:要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”?(师生共同回忆上述问 题的独立性检验的过程) 怎样判断 K 的观测值 k 是大还是小呢?这仅需确定一个正数 k0 , 如果 k ? k0 时, 就认为 “两
2

个分类变量之间有关系” ;否则就认为“两个分类变量之间没有关系”. 我们称这样的 k0 为一个判断规则的临界值. 在实际应用中,要在获取样本数据之前通过下表确定临界值:

P( K 2 ? k0 )
k0
0.05 3.841

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455
0.025 5.024

0.708
0.010 6.635

1.323
0.005 7.879

2.072

2.706

0.001 10 .828

2、独立性检验的基本步骤: ① 根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 ? ,查表 确定临界值 k0 ; ② 利用公式(1) ,由观测数据计算得到随机变量 K 的观测值 k ; ③ 如果 k ? k0 ,就推断“ X 与 Y 有关系” ,这种推断犯错误的概率不超过 ? ;否则就认为 在犯错误的概率不超过 ? 的前提下不能推断“ X 与 Y 有关系”. 【设计意图】教学生学会怎样运用临界值表.
2

四.运用新知
例 1、在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶,而另外 772 名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶.能够能否在犯错误的概率不会超过 0.01 的前提下认为“秃顶与患心脏病”有关系吗? 解:根据题目所给数据得到如下列联表: 患心脏病 秃顶 不秃顶 总计 214 451 665 不患心脏病 175 597 772 总计 389 1048 1437

根据联表 1-13 中的数据,得到

k?

1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451) 2 ? 16.373 ? 6.635 389 ?1048 ? 665 ? 772

因此,可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为秃顶与患心脏病有关系. 【设计说明】通过例题,巩固提高,熟练运用 K 公式进行独立性检验. 练习.有甲乙两个班级进行一门课程的考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后, 得到如下列联表: 优秀 甲班 已班 总计 10 7 17 不优秀 35 38 73 总计 45 45 90
2

能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为成绩与班级有关? 答案:不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为成绩与班级有关.

五.课堂小结
背景分析

二维条形图

列联表

分类变量之间关系 关系

独立性检验

【设计意图】通过归纳总结,进一步加深学生对独立性检验思想的理解.让学生复习列联表 的制作方法,运用独立性检验的思想解决实际问题.

六. 布置作业

必做: 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生, 将他们的身高和体重制成 2 ? 2 列联表,根据列联表的数据,可以有在犯错误的概率不会超 过 的前提下认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 超重 偏高 不偏高 合计 独立性检验临界值表 4 3 7 不超重 1 12 13 合计 5 15 20

P(k 2 ? k0 )
k0

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

独立性检验随机变量 K 值的计算公式: K2 ?
2

n(ad ? bc) 2 (其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n ? a?b?c?d )
选做: 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 附: P k 2 ? k0 ) ( 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 男 40 160 女 30 270

k0

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否在犯错误的概率不会超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供 帮助与性别有关? 【设计意图】作业的设计与例题相呼应,揭示了教与学的一致性. 答案:必做 0.025 选做: (1)14%(2)能在犯错误的概率不会超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人需要志

愿者提供帮助与性别有关

七.教后反思:
亮点是: 本节课通过对几个问题的设置,经过学生之间的讨论、互评,教师的引导帮助,使 得本节课的难点得以突破,学生通过总结也完善了自己的认知结构,从而对该部分的知识也 有了更深的体会.我在课堂上注重学生的主体参与,努力创设教师引导下的学生自主探究、 合作交流的学习方式, 通过课堂练习, 看到学生基本上能掌握用独立性检验思想解决实际问 题,课前制定的教学目标基本实现. 不足是:在解答过程中学生还暴露出计算的准确率比较底,以及求 K 时懒于计算,还有的借 助于计算器,计算方面还要不断加强训练.
2

八、板书设计
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一) 一、 有关概念 1、 分类变量 2、 列联表 二、独立性检验 1、独立性检验的思想 2、独立性检验的步骤 三、例题:


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