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2015高考一轮复习人教A数学第三章三角函数与解三角形人教A数学第三章第四节


第四节

函数y=Asin(ω x+φ )的图象及 三角

函数模型的简单应用 领航 怎么考 备考 考什么
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能 画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数

A、ω、φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重 要函数模型,会用三角函数解决一些简单 的实际问题. 2.结合三角恒等变换考查y=Asin(ωx+φ)的 性质及简单应用是考查的热点.

1.“五点法”作图及图 象的变换是考查的重 点. 3.主要以选择题、解答

题为主.

二、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点, 如下表所示

[基础自测自评] x 1.函数 y=sin 2的图象的一条对称轴的方程是( π A.x=0 B.x= 2 C.x=π D.x=2π )

x π x 【解析】 由2= 2 +kπ得 x=π+2kπ.故 x=π是函数 y=sin 2的 一条对称轴.

【答案】 C

2.(教材习题改编)已知简谐运动
? ? ?|φ ?

?π f(x)=2sin? ? ?3

? ? x+φ? ?

π? ? |< 2 ?的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ ? ) π B.T=6,φ= 3 π D.T=6π ,φ= 3

分别为(

π A.T=6,φ= 6 π C.T=6π ,φ= 6

【解析】

最小正周期为 T=

2π =6; π 3

π 1 由 2sin φ=1,得 sin φ=2,φ= 6 .

【答案】 A

3.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π )个单位后,得到函 数
? π y=sin? ? x- 6 ? ? ? ?的图象,则 ?

φ 等于(

)

π A. 6 7π C. 6

11π B. 6 5π D. 6
? ? ? ? π? π 11π? ? ? ? ? ? ? 依题意得 y=sin?x- ?=sin?x- +2π?=sin?x+ , 6? 6 6 ? ? ? ? ? ? ? 11π 11π? ? ? 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 后 得 到 y = sin ?x+ = 6 ? ? ?

【解析】 故 将 y = sin x

? π? ? sin?x- ? 的图象. 6? ? ?

【答案】 B

? π 4.(教材习题改编)y=2sin? ?2x- 4 ?

? ? ?的振幅为________,频率和初 ?

相分别为________、________.

【答案】

2

1 π

π -4

5.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区 间[-π ,0]上的图象如图所示,则 ω=________.

【解析】

2π 观察函数图象可得周期 T= 3 ,又由函数, 2π

y=Asin(ωx+φ)得 T=

ω



2π 2π 则 T= 3 = ,所以 ω=3. ω

【答案】 3

考向一

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (2012· 浙江高考)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横

坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向 下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

[答案] A

[巧练模拟] 1.(2013· 三明模拟)要得到函数 =cos 2x 的图象( ) π B.向右平移12个单位 π D.向左平移12个单位
? π? ? 2?x+ ? . 12? ? ?
? π y=cos? ?2x+ 6 ? ? ? ?的图象,只需将函数 ?

y

π A.向右平移 6 个单位 π C.向左平移6个单位

【解析】

? π? ? y=cos?2x+ ? =cos 6? ? ?

【答案】 D

2. (2013· 郑州模拟)要得到函数 y=cos 2x 的图象, 只需将函数 y=sin 2x 的图象沿 x 轴( ) π B.向左平移 4 个单位 π D.向左平移 8 个单位

π A.向右平移 4 个单位 π C.向右平移 8 个单位

【解析】

∵y=cos

? π? ? 2x=sin?2x+ ? ,∴只需将函数 2? ? ?

y=sin 2x 的图象

π 沿 x 轴向左平移 4 个单位, 可得 y=sin
? π? ? 2?x+ ? =cos 4? ? ?

2x,故选 B.

【答案】 B

3.(2013· 徐州模拟)已知函数

? π f(x)=sin? 2 x + ? 3 ?

? ? ?. ?

(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象.

【解】

π π π (1)由 2kπ- 2 ≤2x+ 3 ≤2kπ+ 2 (k∈Z)得

5π π kπ- 12 ≤x≤kπ+12(k∈Z)
? 5π π? ? ∴所求单调增区间为?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z). 12 12? ? ?

π π 7π (2)∵0≤x≤π,∴ 3 ≤2x+ 3 ≤ 3 .列表如下: x 0 π 12 π 2 π 3 7π 12 3π 2 5π 6 π

π 2x+ 3

π 3 3 2

π



7π 3 3 2

y

1

0

-1

0

画出图象如图所示.

考向二

三角函数图象的对称性 π (2012· 新课标高考)已知 ω>0,0<φ<π ,直线 x= 4 和 x

5π = 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( ) π π A. 4 B. 3 π 3π C. 2 D. 4 ?5π π? ? [听课记录] 由题意可知函数 f(x)的周期 T=2×? =2π,故 - ? 4? ? 4 ? π π ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),令 x+φ=kπ+ 2 ,将 x= 4 代入可得 φ=kπ π π + 4 ,∵0<φ<π,∴φ= 4 .

[答案] A

[巧练模拟] 4.(2012· 陕西高考)函数
? π ? f(x)=Asin?ωx- 6 ? ? ? ? +1(A >0,ω ?

>0)

π 的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设
? π α∈? 0 , ? 2 ? ? ?α ? ? ?,f? ? ?2 ? ? ?=2,求 ?

α 的值.

【解】

(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 , ∴最小正周期 T=π, ∴ω=2,
? π? ? 故函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x- ? +1. 6? ? ? ?α? ? π? ? ? ? (2)∵f? ?=2sin ?α- ? ?+1=2, 2 6 ? ? ? ? ? π? 1 ? 即 sin?α- ? = 2, 6? ? ?

π π π π ∵0<α< 2 ,∴- 6 <α- 6 < 3 , π π π ∴α- 6 = 6 ,故 α= 3 .

考向三

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 (2012·湖 南 高 考 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx +

? π φ)? x ∈ R , ω > 0 , 0 < φ < ? 2 ?

? ? ?的部分图象如图所示. ?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数
? ? π? π? ? ? ? g(x)=f?x- ?-f?x+ ? 的单调递增区间. 12? ? 12? ? ?

[听课记录] (1)由图象知,周期

?11π 5π? ? ? T=2? =π, - 12 ? ? 12 ?

2π ∴ω= T =2. ? 5π ? ? ? ∵点? , 0 ?在函数图象上, ? 12 ? ? ? ?5π ? 5π ? ? ? ? ∴Asin?2× +φ?=0,即 sin? + φ ?=0. 12 ? ? ? 6 ? π 5π 5π 4π 又∵0<φ< 2 ,∴ 6 < 6 +φ< 3 . 5π π 从而 6 +φ=π,即 φ= 6 . π 又点(0,1)在函数图象上,∴Asin 6 =1,得 A=2. ? π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+ ? . 6? ? ?

? ? ? π? ? ? ? π? (2)g(x)=2sin?2?x- ?+ ? 12? 6 ? ? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ? ? π? -2sin?2?x+ ?+ ?=2sin 2x-2sin?2x+ ? 3? 12? 6 ? ? ? ? ? ?1 ? 3 ? =2sin 2x-2? cos 2 x ? sin 2x+ ? 2 ?2 ?

=sin 2x- 3cos 2x =2sin
? π? ? ? ?2x- ?. 3? ?

π π π 由 2kπ- 2 ≤2x- 3 ≤2kπ+ 2 , π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+ 12 ,k∈Z. 所以函数
? π 5π? ? g(x)的单调递增区间是?kπ- ,kπ+ ? ,k∈Z. 12 12 ? ? ?

[巧练模拟] 5.(2013· 南京模拟)已知函数 y=f(x)
? f(x)=Atan(ωx+φ)? ?ω ?

π? ? >0,|φ|< 2 ?, ?

的部分图象如图,则

?π ? ? f? ? ?=________. ?24?

3 1 【解析】 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于8π-8π= ?3 ? 2 1 1 ? ? π= π, 即周期为 π, 所以, ω = 2. 由题意可知, 图象过定点 ?8π,0?, 8 4 2 ? ? ? ? 3 3 3 ? 所以 0=Atan?2×8π+φ? ,即 π+ φ = k π ( k ∈ Z ) ,所以, φ = k π- ? 4 4π ? ? 1 1 (k∈Z),又|φ|<2π,所以,φ=4π.再由图象过定点(0,1),所以,A= ? ?1 ? ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1.综上可知,f(x)=tan?2x+4π?.故有 f?24π?=tan?2×24π+4π? = tan ? 3π ? ? ? ? ? ? = 3.

【答案】

3

6.(2013· 太原模拟)已知函数 y=sin(ωx+φ 分图象如图所示,则 φ=________.

? π )? ω > 0 , 0 < φ ≤ ? 2 ?

? ? ?的部 ?

3 7 1 【解析】 据图象知4T=8π-8π,解得 T=π,故 ω=2,即 f(x) ?π? ?π ? π π ? ? ? ? =sin(2x+φ), 又由图象可知 f? ?=sin? +φ?=1, 又 0<φ≤ 2 , 故 φ= 4 . ?8? ?4 ?

【答案】

π 4

考向四 质的综合

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性

(2011· 重庆高考改编 ) 设函数 f(x) = sin xcos x - 3cos(x + π )cos x(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; π 3 (2)若函数 y=f(x)的图象向右平移 4 个单位,再向上平移 2 个单位, ? π? ? 平移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在?0, ? 上的最大值. 4? ? ?

1 [听课记录] (1)f(x)=2sin 2x+ 3cos2x 1 3 =2sin 2x+ 2 (1+cos 2x) ? π? 1 3 3 3 ? =2sin 2x+ 2 cos 2x+ 2 =sin?2x+ ? + 2. 3? ? ? 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. ? π? 3 ? (2)依题意 g(x)=f?x- ? + 2 4? ? ?
? ? ? π? 3 3 ? ? ? π? =sin?2?x- ?+ ?+ 2 + 2 4? 3? ? ? ? π? ? =sin?2x- ? + 3. 6? ? ? ? π ? π? π π? ? ? ? 当 x∈?0, ?时,2x- 6 ∈?- , ? ,g(x)为增函数, 4? 6 3? ? ? ? ? ?π? π? 3 3 ? ? ? ? 所以 g(x)在?0, ?上的最大值为 g? ?= 2 . 4? ? ?4?

[巧练模拟] 7.(2013· 济南模拟)已知函数
?π f(x)=Asin? ? ?3 ? ? x+φ?,x∈R,A>0,0 ?

π <φ< 2 .y=f(x)的部分图象如图所示,P,Q 分别为该图象的最高点和 最低点,点 P 的坐标为(1,A).

(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= 3 ,求 A 的值.

【解】

2π (1)由题意得,T= =6. π 3
?π ? ? y=Asin? x+φ? ?的图象上, ?3 ?

因为 P(1,A)在 所以

?π ? ? sin? +φ? ?=1. ?3 ?

π π 又因为 0<φ< 2 ,所以 φ= 6 .

π π 3π (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A),由题意可知 3 x0+ 6 = 2 , 得 x0=4, 所以 Q(4,-A). 2π 如图,连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= 3 , RP2+RQ2-PQ2 由余弦定理得 cos ∠PRQ= 2RP·RQ A2+9+A2-(9+4A2) 1 = =- 2. 2A· 9+A2 解得 A2=3. 又 A>0,所以 A= 3.

答题模板(四)

三角函数图象与性质综合问题答题模板
?π f(x)=sin? ? ?4

设函数

π π? ? x- 6 ?-2cos2 8 x+1. ?

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 =g(x)的最大值.
? 4? ? x∈?0,3? ?时,y ? ?

【规范解题】 π π π π π 3 (1)f(x)=sin 4 xcos 6 -cos 4 xsin 6 -cos 4 x = 2 ?π π 3 π π? ? sin 4 x-2cos 4 x= 3sin? x- ? ?, 4 3 ? ? 故 f(x)的最小正周期为 T= 2π =8. π 4

(2)在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点为(2 -x,g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上, 可知 g(x)=f(2-x) = = =
?π π? ? 3sin? (2-x)- ? 3? ?4 ? ?π π π? ? 3sin? - x- ? . 4 3? ?2 ? ?π x? ? 3cos? x+ ? . 3? ?4 ?

π π π 2π 4 当 0≤x≤3时, 3 ≤ 4 x+ 3 ≤ 3 ,
?π π? 1 1 ? ∴-2≤cos? x+ ? ≤ , 3? ?4 ? 2 ? 4? ? 因此 y=g(x)在区间?0,3? ?上的最大值为 ? ? π 3 g(x)max= 3cos 3 = 2 .

【模板建构】 第一步:化成统一形式 将函数 f(x)化为 Asin(ωx+φ)的形式; 第二步:求 f(x)的最小正周期 2π 利用公式 T= 求 f(x)的最小正周期; |ω | 第三步:求 g(x)的解析式 利用代入法求 g(x)的解析式并化为 Acos(ωx+φ)的形式; 第四步:求 g(x)的最值 利用三角函数的单调性求 g(x)的最大值.

【特点提醒】

在具体问题中,我们面对的往往不是简单的正弦函数

、余弦函数而是需要变形处理的三角函数,这些三角函数式大都可以转 化成形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数加以解决;化简时,主要应用三角恒 等变换知识进行等价变形,然后根据函数y=Asin(ωx+φ)+k的有关性质 解题.


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