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导数及其应用同步练习及答案



第一章

导数及其应用

1.1 变化率与导数
1. 设函数 y ? f ?x ?,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为【 A. f ?x0 ? ?x ? B. f ?x0 ? ? ?x C. f ?x0 ? ? ?x D. f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? 】 】

/>2. 一质点运动的方程为 s ? 1 ? 2t 2 ,则在一段时间 ?1,2? 内的平均速度为【 A.-4 B.-8 C.6 D. -6 】 C. 5

3. 曲线 y ? x 2 ? 3x 在 x ? 2 处的切线的斜率为【 A. 7 B. 6

D.
?y 为 【 ?x

4 】

4. 在曲线 y ? x 2 ? 1 的图象上取一点(1,2)及附近一点 ?1 ? ?x,2 ? ?y ? ,则
1 1 1 ? 2 B. ?x ? ? 2 C. ?x ? 2 D. 2 ? ?x ? ?x ?x ?x 5. 将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 ? R ,则球体积的平均变化率为【 4 4 2 3 2 A. 4? R 2 ? ?R ? 4? R ? ? ?R ? ? ? ? ?R ? B. 4? R 2 ? 4? R ? ?R ? ? ? ?R ? 3 3

A. ?x ?



C. 4? R 2 ? ?R

D . 4? R 2 】 . .

6.某质点的运动方程是 s ? t? (2t ? 1)2 ,则在 t=1s 时的瞬时速度为 【 A.-1 B.-3 C.7 D.13 2 7.物体按照 s(t)=3t +t+4 的规律作直线运动, 则在 4s 附近的平均变化率为

8.已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? 3 (t秒, 米),则物体在时刻 t = 4 时的速度 v = s
t

9.求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率. 10. 求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程. 11.将原油精炼为汽油、 柴油、 塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热, 如果第 xh 时,原油的温度(单位: ? C )为 f (x) ? x 2 ? 7x ?15(0 ? x ?8) ,计算第 2h 时和第 5h 时,原油 温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

1.2 导数的运算
1. 函数 y = (2x+1) 3 在 x = 0 处的导数是 【 】 A.0 B.1 C.3 2 2.函数 y=x cosx 的导数为 【 】 A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=xcosx-x2sinx 3. 已知函数 f (x ) = a x 2 +c,且 f ?(1) =2 , 则 a 的值为 【 D.6



A.1

B. 2

C.-1

D. 0 【 】

4. 已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为 A.(x - 1)3+3(x - 1) B.2(x - 1)2 C.2(x - 1) 【 】

D.x – 1

5.若函数 f ( x) 的导数为 ?2 x 2 ? 1 ,则 f ( x) 可以等于 A. . ?2 x3 ? 1 B. x ? 1 C.. ?4x 】

2 D. ? x 3 ? x 3

6.函数 y ? sin(2 x2 ? x) 导数是【 A.. cos(2 x2 ? x)

B. 2x sin(2x2 ? x)

C. (4x ? 1)cos(2x2 ? x)

D. 4cos(2 x2 ? x) 】

7.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x2 ? 2x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于【 A. 0 B. ?4
? 1 x

C. ?2
t ?0

D. 2
f (1 ? 2t ) ? f (1) ? t

8. 若 f ( x) ? e

,则 lim

. .

9.设函数 f ?( x) ? 2x3 ? ax2 ? x , f ?(1) = 9,则 a ? 10.函数 y ? a 2x 的导函数是 11. 求下列函数的导数: (1)y =
1 x
2

.



(2)y = (2x2 – 5x + 2)ex;

(3)y =

1 2 1 ? 2 ? 3; x x x

(4) y ? ln x2 ? 1 .

1.3 导数在研究函数中的应用
1. 函数 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为【 A.
( 2 ?? ) ,

】 D.
(0, 2)

B.

(?? , 2 )

C.

(?? , 0 )

2.下列结论中正确的是【 】 A. 导数为零的点一定是极值点 B. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 C. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 D. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 3.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x3 , x ? [0,1] 的最大值是【 A.1 B.
1 2

】 D.-1

C.0

4.设 a ? R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则【 A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?
1 3



D. a ? ?

1 3

5. 函数 f ( x) ? 2x2 ? ln x 的递增区间是【
1 A. (0, ) 2 1 1 B. (? , 0)及( , ??) 2 2


1 C. ( , ??) 2 1 1 D. (??, ? )及(0, ) 2 2

6.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,且 f ' (1) ? 0 若满足(x-1) f ?(x) >0,则必有【 A.f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)?2f(1) D.f(0)+f(2)?2f(1) 】 】



7.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为【 A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1 或 a>2 D.a<-3 或 a>6 3 8. 已知函数 y=-x 2-2x+3 在区间 [a , 2] 上的最大值为 3 , 则 a 等于【 4 3 1 1 1 3 A. - B. C. - D. - 或- 2 2 2 2 2 9.函数 y= f (x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时, 有极值 10, 那么 a , b 的值为 10.函数 f ( x) ? x ln x?? x ? 0) 的单调递增区间是 .

.

11. 已知 f (x) ? x 3 ? 3bx ? 2c , 若函数 f ( x ) 的一个极值点落在 x 轴上, 求 b 3 ? c 2 的值. 12. 已知函数 f (x) ? ?x 3 ? 3x 2 ? 9x ? a, (1) 求 f ( x ) 的单调递减区间; (2) 若 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20, 求它在该区间上的最小值. 13.设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

1.4 生活中的优化问题举例
1.把总长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 m2 . 2.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成_____和___. 3.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大 4.有一边长分别为 8 与 5 的长方形, 在各角剪去相同的小正方形, 把四边折起作成一个无盖

小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少? 5.学校或班级举行活动, 通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向 张贴的海报,要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm.如何设 计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 6. 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用 材料最省? 2 7.某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? x 3 (万元),已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 75 k 足: P 2 ? ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少件时总利润最大? x 8.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线 上,求这种矩形中面积最大者的边长. 9. 一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费 30 元,每千册书存放一年要耗库费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每 次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少? 10.请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱, 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示).试问当 帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最 大? 【注: V柱体 ? S底 ? h, V锥体 ? S底 ? h 】 11.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房.经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位: 元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 )
建筑总面积
1 3

1.5 定积分的概念
1. 求由 y ? e x , x ? 2, y ? 1 围成的曲边梯形的面积时, 若选择x为积分变量, 则积分区 【 A. [0, e 2 ] B. [0,2] C. [1,2] D. [0,1] 】 】

2.已知自由落体运动的速率 v ? gt ,则落体运动从 t ? 0 到 t ? t 0 所走的路程为【 A.
gt0 3
2

B. gt0

2

C.

gt0 2

2

D. 】 D.2

gt0 6

2

3. 曲线 y ? cos x(0 ? x ? A.4 4. ? (e x ? e ? x )dx =【
0 1

3? ) 与坐标轴围成的面积是【 2 5 B. C.3 2

】 C.
2 e

A. e ?

1 e

B.2e

D. e ?

1 e

5.曲线 y ? ex 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【
9 A. e 2 4



B. 2e 2

C. e2

D.

e2 2

6.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为将弹簧拉长 6cm,所耗费的功是【 A.0.18 B.0.26 C.0.12 D.0.28



7.将边长为 1 米的正方形薄片垂直放于比彼一时为 ? 的液体中,使其上距液面距离为 2 米,则该正方形薄片所受液压力为【 A. ? x?dx
2 3

】 C. ? x?dx
0 1

B. ? ?x ? 2??dx
2 1
n ??

D. ? ?x ? 1??dx
3 2

8.将和式 lim(

1 1 1 ? ? .........? ) 表示为定积分 n ?1 n ? 2 2n

. .

9.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为

10.设物体的速度 v 与时间 t 的函数关系为 v=v(t),那么它在时间段[a,b]内的位移 s 用定 积分表示为 . 11.计算定积分 ò ( x + 1)dx .
1 2

12. 一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于 速度的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功.

1.6 微积分基本定理
1.下列各式中,正确的是【 A. ? f / ( x)dx ? f / (b) ? f / (a)
a b

】 B. D.

?

b

a

f / ( x)dx ? f / (a) ? f / (b)
b

C.

?

b

a

f / ( x)dx ? f (b) ? f (a)

?

a

f / ( x)dx ? f (a) ? f (b)


2.已知自由落体的运动速度 v ? gt( g 为常数), 则当 t ? ?1,2? 时, 物体下落的距离是 【 A.
1 g 2

B. g

C.

3 g 2

D. 2 g 】 D.2

a 1 3.若 ? (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2, 则 a 的值是【 1 x A.6 B.4 C.3

4. A.

?
1 4

1

0

x 2 dx 等于【
B.


1 2
1 0

C.
1

1 3

D.2
17 ,那么 f (x) 的解析式是【 6

5. f (x) 是一次函数,且 ? f ( x)dx ? 5, ? xf ( x)dx ?
0



A. 4 x ? 3 C. ? 4 x ? 2 6. 计算定积分: ? 2 ( x ? sin x)dx =
0

B. 3 x ? 4 D. ? 3 x ? 4
?

.

7. 计算下列定积分: (1) ? (4 x ? x 2 )dx ;(2) ? 2? cos2 xdx .
?1 3

?

?

2

8. 计算 ?

4

2

1 dx . x

9. 计算 ? e 2 x dx .
0

1

10.求曲线 y ? ?x 3 ? x 2 ? 2x 与 x 轴所围成的图形的面积.

1.7 定积分的简单应用
1.由 y ? A. ln 2
1 , x 轴及 x ? 1, x ? 2 围成的图形的面积为【 x 1 B. lg 2 C. D.1 2



2.由曲线 y ? f ( x)( f ( x) ? 0), x ? ?a, b?, x ? a., x ? b(a ? b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积 S = 【 】 A. ? f ( x)dx
a b

B. ?? f ( x)dx
a

b

C. ?

? f ( x) ? a? dx a
b

D. ?

b

a

? f ( x) ? b? dx

3. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位 置 6cm 处,则克服弹力所做的功为【 】 A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J 4. 给出以下命题:⑴若 ? f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ?
a b 2? 0

sin xdx ? 4 ;⑶f(x)的原函数为


F(x), F(x)是以 T 为周期的函数, ? f ( x)dx ? ? 且 则
0

a

a ?T T

其中正确命题的个数为 【 f ( x)dx ; D. 0

A. 1

B. 2

C. 3

1 5.一质点做直线运动,由始点起经过 t s 后的距离为 s = t4- 4t3 + 16t2,则速度为零的时 4 刻是【 】 A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与 8s 末 D.0s,4s,8s 末

6.一物体在力 F ( x) ? 4 x ? 1 (单位:N)的的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1m 处运动 到 x=3m 处, 则力 F ( x) 所作的功为【 A. 10J B. 12J C. 14J
1 0

】 D. 16J .

7.已知 f (x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2? f (t )dt ,则 f (x) =

8.一质点在直线上从时刻 t =0 秒以速度 v(t ) ? t 2 ? 4t ? 3 (米/秒) 运动, 则该质点在时刻 t =3 秒时运动的路程为 .

9. 一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒)的速度作变速直 线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程?

10. 求曲线 y ?

1 和 y ? x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积. x

11.求抛物线 y ? x 2 与直线 y ? x, y ? 2 x 所围图形的面积.

参考答案 第一章 导数及其应用
125 16

1.1 变化率与导数
1.D 2.D 3. A 4.C
2 2

5.B 6.B 7. 25 ? 3?t
2

8.

2 2 x0 ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 9. ?y ? ( x0 ? ?x) ? x0 ,所以 ? ? ? 2 x0 ? ?x ?x ?x ?x

所以 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x . 10. y? |x ?1 ? lim
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 ? lim ? 2, ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

所以,所求切线的斜率为 2,因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 . 11.在第 2h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (5) 根据导数定义,
?
f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
?x ?0

所以 f ?(2) ? lim

?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?x?0

同理可得: f ?(6) ? 3. 在第 2h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 3,说明在 2h 附近,原油温度大 约以 3 ? C/h 的速率下降,在第 5h 附近,原油温度大约以 3?C/h 的速率上升.

1.2 导数的运算
2 (或 ? 2e ?1 ) e 11. 【解析】利用导数公式及运算法则进行运算.

1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.C

7.B 8. ?
2 x3

9.6 10.

y ? 2a x ln a

(1)y = x –2 ,y′= –2x –2 – 1 = – 2x –3 = – (或 y′= (
1 x )? ? 2 ? ( x 2 )? x
4

)= –2x –3 = –

2 x3

.

(2) = (2x2 – 5x + 2) ′ex + (2x2 – 5x + 2) (ex) ′ )y′

= (4x – 5) ex + (2x2 – 5x + 2) ex = (2x2 – x – 3) ex (3)y′ = ( )? ? ( = (x –1) ′ + (2x –2) ′ + = –x –2 – 4x –3 –3x –4 =–
1 x
2

1 x

2 x
2

)? ? (

1 x3

)?

(x –3) ′

x4 (4)可看成 y ? ln u, u ? v , x

?

4
3

?

3

.

v = x2 + 1 复合而成.
1 1 ? ? ? ? ? yx ? yu ? uv ? vx = ? v 2 ? (2 x) u 2 1 ? 1 1 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 x x2 ? 1 2
? x x ?1 ? x ?1
2 2

1

?

x . x ?1
2

1.3 导数在研究函数中的应用
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C

?a ? 4 ?a ? ?3 1 7. D 8.D 9. ? 10. [ , ??) 或? e ?b ? ?11 ?b ? 3

11.

f ?(x) ? 3x 2 ? 3b , 设 f ( x ) 的极值点为( m,0) , 则 f (m) ? 0, f ?(m) ? 0 所以
? 3 ?m ? 3b ? 0 ? 2c ? 0 , 所以 ? bm ? 3bm ? 2c ? 0,2bm ? 2c ? 0, 所以 (bm) 2 ? c 2 , ? 2 ?3m ? 3b ? 0 ?

b 2 (?b) ? c 2 , 所以 b 3 ? c 2 ? 0.
12. (1) f ?(x) ? ?3x 2 ? 6x ? 9. 令 f ?(x) ? 0 ? x ? ?1或 x ? 3, 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (??, ? 1) , (3, ? ?) . (2) 因为 f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a, f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a, 所以 f (2) ? f (?2) . 因为在 (?1, 3) 上 f ?( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 [?1, 2] 上单调递增, 又由于
f ( x ) 在 [?2, ? 1] 上单调递减, 因此 f (2) 和 f ( ?1) 分别是 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值和

最小值, 于是有 22 ? a ? 20 ? a ? ?2 . 故 f (x) ? ?x 3 ? 3x 2 ? 9x ? 2, 因此 f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7 , 即函数 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最小值为 ? 7 . 13. (1) f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx , f ' ? 0? ? 1, f ? 0? ? 0 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 为 y ? x.

(2)由 f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx ? 0 ,得 x ? ?

1 ? k ? 0? , k

1? ? 若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k? ? ? 1 ? 当 x ? ? ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? 1? ? 若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k? ? ? 1 ? 当 x ? ? ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?

(3)由(2)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? ?1 , k

即 0< k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 若 k ? 0 ,则当且仅当 ?
1 ? 1, k

即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ??1,0? ? ? 0,1? .

1.4 生活中的优化问题举例
1. 16 2.
a 2 a 2

3.

3 R 2 5 ) 2

4.(1)正方形边长为 x,则 V=(8-2x)· (5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)(0<x<

5 V′=4(3x2-13x+10)(0<x< ),V′=0 得 x=1 根据实际情况,小盒容积最大是存在的, 2 ∴当 x=1 时,容积 V 取最大值为 18. 128 5.设版心的高为 xdm,则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 x 128 512 S ( x)? ( x 4 ) ( ? ?2 ) ? 2 8x 2 ? ? 1 ? ? 8 , 求导数,得 x . 0 x x 512 512 128 128 S ' ( x) ? 2 ? 2 .令 S ' ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? 16( x ? ?16 舍去).于是宽为 ? ?8. x x x 16

当 x ? (0,16) 时, S ' ( x) <0;当 x ? (16, ??) 时, S ' ( x) >0. 因此, x ? 16 是函数 S ( x) 的极小值,也是最小值点.所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小. 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小.

S ? 2?R 2 6. S=2 ?Rh + 2?R ? h= 2?R
2

?V(R)=

1 1 S ? 2?R 2 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .

7.25 8.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y) ,且 x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y) , 在 x 轴上的两个顶点为(-x,0)(x,0) 、 ,其中 0< x <2. 设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x2) ,0< x <2. 2 3 ,易知 由 S′(x)=8-6 x2=0,得 x = 3 4 x = 是 S 在(0,2)上的极值点, 3 即是最大值点, 2 8 3和 . 所以这种矩形中面积最大者的边长为 3 3 9.假设每次进书 x 千册,手续费与库存费之和为 y 元, x 由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即 ,故有 2 150 x 4500 y = × 30+ × 40,y′=- 2 +20, x 2 x 9000 令 y′=0,得 x =15,且 y″= 3 ,f″(15)>0, x 所以当 x =15 时,y 取得极小值,且极小值唯一, 150 故 当 x =15 时,y 取得最小值,此时进货次数为 =10(次) . 15 即该书店分 10 次进货,每次进 15000 册书,所付手续费与库存费之和最少. 10.设正六棱锥的高为 x m,则正六棱锥底面边长为 32 ? x2 (单位:m).
3 于是底面正六边形的面积为(单位:m2) S ? 6? (?9 : 4 33 2 ? x 22 ?9 ) ? x ) ( 2

.

帐篷的体积为(单位:m3) :
V ( x) ? 3 3 3 3 ?1 ? (9 ? x2 ) ? x ? 1? ? (9 ? x 2 )(3 ? x) ? (? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 27) (1 ? x ? 3) 2 2 ?3 ? 2

求导数,得 V ?( x) ? ?

3 3 2 ( x ? 2 x ? 3) ; 2

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-3(不合题意,舍去),x=1.

当 0<x<1 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 1<x<3 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数. 所以当 x=1 时,V(x)最大.即当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大. 11.设楼房每平方米的平均综合费用为 f ( x) 元,则
f ? x ? ? ?5 6 0 4 8? ? x? f ? ? x ? ? 48 ? 2 1 6? 1 0 0 0 0 0 10800 ? ? 5? 0 x ? 8 6 4 ? x ? 1 0 ,x? Z ? 2000 x x

10800 , x2

令 f ? ? x? ? 0 得

x ? 15

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 因此当 x ? 15 时, f ( x) 取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层.

1.5 定积分的概念
1.B 2.C 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8.
1 ?0 1 ? x dx
1

9.

?

1

0

(1 ? x 2 )dx

10. s =

ò

b

v(t )dt

a

11.所求定积分是 x = 1,x = 2,y = 0与y = x + 1 所围成的梯形面积, 即为如图阴影部分面积,
2 5 5 面积为 .即: ò (x + 1)dx = . 1 2 2

y

O

1

2

x

12. 物体的速度 V ?

dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 .媒质阻力 Fzu ? kv2 ? k (3bt 2 ) 2 ? 9kb2t 4 ,其中 k 为比 dt
1

a 例常数,k>0.当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 ,又 ds=vdt,故阻力所作的功为 b
Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv 2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0 t1 t1 t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b . 7 7

1.6 微积分基本定理
1.C 2.C 3.D 8. 9. ?
0

4.C

5.A 6. ?

2

8

?1

7. (1)

20 3

(2)

π 2

?
1

4

2

1 4 dx ? ln x 2 ? ln 4 ? ln 2 ? ln 2 . x 1 1 1 1 1 e 2 x dx ? ? e 2 x d (2 x) ? e 2 x ? (e 2 ? 1) . 0 2 0 2 2

10. 首先求出函数 y ? ?x 3 ? x 2 ? 2x 的零点: x1 ? ?1 , x2 ? 0 , x3 ? 2 .又易判断出在 (?1 , 0) 内, 图形在 x 轴下方,在 (0 , 2) 内,图形在 x 轴上方,所以所求面积为

A??

?

0 ?1

(? x 3 ? x 2 ? 2 x)dx ?

? (? x
0

2

3

? x 2 ? 2 x)dx ?

37 . 12

1.7 定积分的简单应用
1.A 2.B 3.D 4.B 5.D 6.C 7. x ? 1 8. 0 米
3 9.∵当 0 ≤ t ≤ 时, v(t ) ? 2t ? 3 ≤ 0 ; 2

3 当 ≤ t ≤ 5 时, v(t ) ? 2t ? 3 ≥ 0 .∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程 2
5 9 9 29 (米). S ? ? (3 ? 2t )dx ? ? 3 (2t ? 3)dx = ? (10 ? ) ? 4 4 2 2 3 2 0

10. 曲线 y ? 1 和 y ? x 2 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 x y=-x+2 和 y=2x-1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是
3 . 4

?y ? x2, ?y ? x2, 11.解两个方程组 ? 和? 得抛物线与两直线的交点分别为 (1,1) 与 (2,4) .故所求面 ?y ? x ? y ? 2x

积为 S ? S1 ? S 2 ? ? (2 x ? x)dx ? ? (2 x ? x 2 )dx ?
0 1

1

2

7 . 6

? 7.7 ?103 (J) .

作 者 责任编辑

于华东 庞保军



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