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山东省潍坊市2015届高三高考模拟训练(三)数学(理)试题


2015 年高考模拟训练试题

理科数学(三)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 6 页,满分 150 分.考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码 上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的 标号;非选择题答案使用 0.5 毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔 迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题。每小题 5 分。共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则 z 在复平面内对应的点的坐标是 A.

? 4, 2 ?

B.

? 2, ?4?

C.

? 2, 4 ?

D.

? 4, ?2?

2 2.已知集合 M ? x x ? 1 ? 1 ,集合 N ? x x ? 2 x ? 3 ,则 M ? CR N ?

?

?

?

?

A. C.

? x 0 ? x ? 2? ? x ? 1 ? x ? 0或2 ? x ? 3?

B.

? x ? 1 ? x ? 2?

D. ?

3.下列结论中正确的是 A.“ x ? 1 ”是“ x ? x ?1? ? 0 ”的充分不必要条件 B.书籍随机变量 ? 服从正态分布 N ?51 , ? , 且P ? 4 ? ? ? 6? =0.7,则P ?? ? 6? =0.15 C.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化 D.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人.为了 解该单位职工的健康情况,应采用系统抽样的方法从中抽取样本 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

2 ? ?6 3 11 ? C. 6
A.

11 ? 3 2 ? 6? D. 3
B.
1

5. 已 知 函 数 f

? x? ? s i n? x?? ? 0 ? 的图象与直线 y ?1 的相邻交点之间的距离为
6

? ? , f ? x ? 的图象向左平移 个单位后,得到函数 y ? g ? x? 的图象.下列关于 y ? g ? x? 的
说法正确的是 A.图象关于点 ? ?

? ? ? , 0 ? 中心对称 ? 3 ?

B.图象关于 x ? ?

?
6

轴对称

C.在区间 ? ?

? 5? ? ? , ? 上单调递增 ? 12 6 ? ?

D.在区间 ? ?

? ? ?? 上单调递减 , ? 6 3? ?

6.a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则 cos ? a? ? ? ? 的结果是 A. cos ? C. sin ? B. ? cos ? D. ? sin ?

7. 在 ?ABC中,a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 所对的 边, 若函数 f ? x ? ?

1 3 x ? bx 2 ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? x ? 1 3

有极值点,则 ? B 的范围是 A. ? 0,

? ?

??
? 3?

B. ? 0,

? ?

??
3? ? ?

C. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

D. ? , ? ? ?3 ?

??

8.已知偶函数 f ? x ? ,当 x ? ?0,

? ?? 时f ? x ? ? x sin x, 设a ? f ? cos1? , b ? f ? cos 2 ? , c ? ? 2? ?

f ? cos3? ,则 a, b, c 的大小关系为
A. a ? b ? c C. c ? b ? a B. c ? a ? c D. a ? c ? b

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右两个焦点,若双曲线右支上 a 2 b2 uu u r uuu r uuu r 存在一点 P,使 OP ? OF2 ? F2 P ? 0 (O 为坐标原点) ,且 PF1 ? 3 PF2 ,则双曲线
9.设 F1 , F2 分别是双曲线

?

?

的离心率为
2

A.

2 ?1 2 3 ?1 2

B.

2 ?1

C.

D.

3 ?1

10. 定 义 域 是 R 的 函 数 , 其 图 象 是 连 续 不 断 的 , 若 存 在 常 数

? ? ? ? R? 使 得

f ? x? ? ? ? ? f? ? x ? 0 对任意实数都成立,则称 f ? x ? 是 R 上的一个“ ? 的相关函数”.
有下列关于“ ? 的相关函数”的结论:① f ? x ? =0 是常数函数中唯一一个“ ? 的相关函 数” ;② f ? x ? ? x2 是一个“ ? 的相关函数” ;③“

1 的相关函数”至少有一个零点; 2

④若 y ? e x 是“ ? 的相关函数” ,则 ?1 ? ? ? 0 .其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

注意事项: 将第 II 卷答案用 0.5mm 规格的黑色签字行答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
a 1 ? ? 2 11.若二项式 ? a x ? ? 的展开式中的常数项为 ?160,则?0 ? 3x ? 1? dx ? ______. x? ?

6

12.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4, a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ? ______. 13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的个小正 方形(如图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相 同,且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所 有涂法共有__________种. 14.设 x ? R ,对于使 f ? x ? ? M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值叫做 f ? x ?
2 的上确界.例如 f ? x ? ? ? x ? 2x, x ? R 的上确界是 1.若 a, b ? R , 且a ? b ? 1,则 ?
?

1 2a

?

2 的上确界为_________. b

3

?sin ? x, x ? ?0, 2? , ? 15.对于函数 f ? x ? ? ? 1 有下列 4 个结论; f x ? 2 , x ? 2, ?? , ? ? ? ? ? ?2
①任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ?,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 恒成立;
? ② f ? x ? ? 2kf ? x ? 2k ? k ? N ,对于一切 x ??0, ??? 恒成立;

?

?

③函数 y ? f ? x ? ? ln ? x ?1? 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f ? x ? ?

k ?5 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ? , ?? ? . x ?4 ?

则其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? 2sin x, ? cos x ? , b ?

?

3 cos x, 2cos x , f ? x ? ? a ? b ? 1 .

?

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期,并求当 x ? ? (II)将函数 f ? x ? 的图象向左平移 A,B,C 的对边分别为 a, b, c,若g ?

? ? 2? ? 时 f ? x ? 的取值范围; , ?12 3 ? ?

? 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象.在 ?ABC 中,角 3

? A? ? ? 1, a ? 2, b ? c ? 4,求?ABC 的面积. ?2?

17. (本小题满分 12 分) 某校开设 8 门样本课程,其中 4 门课程为人文科学,4 门为自然科学,学校要求学生在高 中三年内从中选修 3 门课程.假设学生选修每门课程的机会均等. (I)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (II)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学、2 门自然科学,若该同学通过人 文科学课程的概率都是

4 3 , 自然科学课程的概率都是 , 且各门课程通过与否相互独立, 5 4

用 ? 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数, 求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望 E ? .

4

18. (本小题满分 12 分) 如图, 一四棱锥 A ? BCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O, G、 H 分别是 AE、 BC 的中点, AB 是圆 O 的直径, 四边形 DCBE 为平行四边形,且 DC ? 平面 ABC. (I)证明:GH//平面 ACD; (II)若 AC ? BC ? BE ? 2 ,求二面角 O ? CE ? B 的余 弦值.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,向量 a ? ? Sn ,1? , b ? ? 2 ? 1, ? ,满足条件 a ? ? b ,其
n

? ?

1? 2?

中 ? ? R且? ? 0 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 ?1? (II)设函数 f ? x ? ? ? ? ,数列 ?bn ? 满足条件 b1 =2,f ? bn ?1 ? ? n? N? ? , ? f ? ?3 ? bn ? ?2?
cn ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 Tn . an

x

20. (本小题满分 13 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A,过点 A 与 a 2 b2

AF2 垂直的直线交 y 轴负半轴于点 Q,且 2 F1F2 ? F2 Q ? 0 . (I)求椭圆 C 的离心率; (II)若过 A,Q,F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (III)在(II)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点, 在 x 轴上是否存在点 P ? m,0? ,使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在, 求出 m 的取值范围;如果不存在,说明理由.

uuuu r uuu r

5

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x, a ? R . 2

(I)若 f ?1? ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ax ?1 恒成立,求整数 a 的最小值; (III)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

6

7

8

9



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