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浙江省诸暨市牌头中学全国高中数学联赛模拟试题(一)新人教A版



浙江省诸暨市牌头中学全国高中数学联赛模拟试题(一)新人教 A 版
选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 方程 6×(5a2+b2)=5c2 满足 c≤20 的正整数解(a,b,c)的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)5

x2 y? x ? 1 (x∈R,x≠1)的递增区间是 函数
(A)x≥2 (C)x≤0 (B)x≤0

或 x≥2 (D)x≤ 1 ? 2 或 x≥ 2

过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B, 使△AOB(O 为原点)的面积最小, 则 l 的方程为 (A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0

? ?? 0, ? ? 2 ? 上有两个不同的实数解 x,则参数 a 的取值范围是 3 ? 若方程 cos2x+ sin2x=a+1 在
(A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 (A)42 (B)45 (C)48 (D)51 在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中,满足条件 a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5 的排 列的个数是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16 填空题: (每小题 9 分,共 54 分)

1 1、表示不大于 x 的最大整数,则方程 2 ×=19x+99 的实数解 x 是
2、设 a1=1,an+1=2an+n2,则通项公式 an= 3、数 799 被 2550 除所得的余数是 . .



5 ? 4、在△ABC 中,∠A= 3 ,sinB= 13 ,则 cosC=



5、设 k、?是实数,使得关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+k2-1=0 的两个根为 sin?和 cos?, 则?的取值范围是 . 6、数

?5 ?

24

?

2n

(n∈N)的个位数字是



(20 分) 已知 x、y、z 都是非负实数,且 x+y+z=1.

-1-

求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确定等号成立的条件. (20 分) 求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x2+(a+2002)x+a=0 的两根皆为整数. 试求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0 有三个整数根. (20 分) 试求正数 r 的最大值,使得点集 T={(x,y)|x、y∈R,且 x2+(y-7)2≤r2}一定被包含于另 一个点集 S={(x,y)|x、y∈R,且对任何?∈R,都有 cos2?+xcos?+y≥0}之中. 第一试 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D

二、填空题:

181 1587 1、 38 或 38 ; ?

2、7×2n-1-n2-2n-3;

3、343;

5 3 ? 12 26 ; 4、

? 5、{?|?=2n?+?或 2n?- 2 ,n∈Z}

;6、1(n 为偶数) ;7(n 为奇数) .

x? y?z?
三、证略,等号成立的条件是

1 3或

1 ? ?x ? y ? 2 ? ? ?z ? 0



1 ? ?x ? z ? 2 ? ? ?y ? 0



1 ? ?y ? z ? 2 ? ? ?z ? 0



四、 (1)a 的可能取值有 0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040; (2)a 的 可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax= 4 2 .

-2-

第二试 一、 (50 分) 设 a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z 是复数,且 z2-(a-c)z-b=0.

求证: 二、 (50 分)

a 2 ? b ? ?a ? c ?z ?1 ac ? b

的充分必要条件是(a-c)2+4b≤0.

如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 均是锐角,D 是 BC 边上的内点, 且 AD 平分∠BAC, 过点 D 分别向两条直线 AB、 AC 作垂线 DP、DQ,其垂足是 P、Q,两条直线 CP 与 BQ 相交与点 K.求证: AK⊥BC;

A P K B D Q C

2S AK ? AP ? AQ ? △ ABC BC ,其中 S△ ABC 表示△ABC 的面积.
三、 (50 分)

给定一个正整数 n,设 n 个实数 a1,a2,…,an 满足下列 n 个方程:

? i ? j ? 2 j ? 1 ( j ? 1,2,3,?, n)
i ?1

n

ai

4



确定和式

S ??
i ?1

n

ai 2i ? 1 的值(写成关于 n 的最简式子) .

-3-

参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D

二、填空题:

181 1587 1、 38 或 38 ; ?

2、7×2n-1-n2-2n-3;

3、343;

5 3 ? 12 26 ; 4、

? 5、{?|?=2n?+?或 2n?- 2 ,n∈Z}

;6、1(n 为偶数) ;7(n 为奇数) .

1 ? 1 ? 1 ? ?x ? y ? ?x ? z ? ?y ? z ? 2 ? 2 ? 2 1 ? x? y?z? ? ? ? y ? 0 z ? 0 z ? 0 3 或? 三、证略,等号成立的条件是 或? 或? .
四、 (1)a 的可能取值有 0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040; (2)a 的 可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax= 4 2 . 第二试

z?
一、证略(提示:直接解出 利用反证法证明必要性) .

a ? c ? ? ?a ? c ? ? 4b ? i 2 ,通过变形即得充分性成立,然后
2

二、证略(提示:用同一法,作出 BC 边上的高 AR,利用塞瓦定理证明 AR、BQ、CP 三线共点,

2 S △ ABC 从而 AK⊥BC;记 AR 与 PQ 交于点 T,则 BC =AR>AT>AQ=AP,对于 AK<AP,可证∠APK
<∠AKP) .

S ??
三、

?2n ? 1?2

1

?1


-4-



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