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人教A版数学必修二第二章第一课时导学案2.1.1


§ 2.1.1 平面
学习目标
1. 2. 3. 4. 了解平面的描述性概念; 掌握平面的表示方法和基本画法; 掌握平面的基本性质; 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P40~ P43,找出疑惑之处) 引入: 平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪 些性质呢?

二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:平面的概念与表示 问题:生活中哪些物体给人以平面形象?你觉得平面可以拉伸吗?平面有厚薄之分吗?
新知 1:平面(plane)是平的;平面是可以无限延展的;平面没有厚薄之分. 问题:通常我们用一条线段表示直线,那你认为用什么图形表示平面比较合适呢?

新知 2:如上图,通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母 ? , ? , ? 来表示,也可 以用平行四边形的四个顶点来表示,还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面 ? ,平 面 ABCD ,平面 AC 等. 规定: ①画平行四边形, 锐角画成 45 °, 横边长等于其邻边长的 2 倍; ②两个平面相交时, 画出交线,被遮挡部分用虚线画出来;③用希腊字母表示平面时,字母标注在锐角内. 问题:点动成线、线动成面.联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系怎么表示?直线 和平面呢? 新知 3: ⑴点 A 在平面 ? 内, 记作 A ? ? ; 点 A 在平面 ? 外, 记作 A ? ? .⑵点 P 在直线 l 上, 记作 P ? l ,点 P 在直线外,记作 P ? l .⑶直线 l 上所有点都在平面 ? 内,则直线 l 在平面 ? 内(平面 ? 经过直线 l ),记作 l ? ? ;否则直线就在平面外,记作 l ? ? . 探究 2:平面的性质 问题:直线 l 与平面 ? 有一个公共点 P ,直线 l 是否在平 面 ? 内?有两个公共点呢?

新知 4: 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.用集合符 号表示为: A ? l, B ? l, 且 A ?? , B ?? ? l ? ? 问题:两点确定一直线,两点能确定一个平面吗?任意三点能确定一个平面吗?

新知 5: 公理 2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面 ABC . 问题:把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点 B ?为什么?

新知 6:公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公 共直线.如下图所示:

平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l ,记作 ? ? ? l .公理 3 用集合符号表示为 P ? a , 且 P ? ? ? ? ? ? l ,且 P ? l

※ 典型例题 例 1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

例 2 如图在正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,判断下列命题是否正确,并说明理由: ⑴直线 AC 在平面 ABCD 内; ⑵ 设 上 下 底 面 中 心 为 O, O ? , 则 平 面 A A? C? C与 平 面 C? D? O ? BB? D?D 的交线为 OO? ; B? ⑶点 A, O, C ? 可以确定一平面; A? ⑷平面 AB?C ? 与平面 AC ?D 重合.

D
A
O

C

B

※ 动手试试 练 用符号表示下列语句,并画出相应的图形: ⑴点 A 在平面 ? 内,但点 B 在平面 ? 外; ⑵直线 a 经过平面 ? 外的一点 M ; ⑶直线 a 既在平面 ? 内,又在平面 ? 内.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面的特征、画法、表示; 2. 平面的基本性质(三个公理); 3. 用符号表示点、线、面的关系. ※ 知识拓展 平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中 公理 1 可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理 2 用来确定一个平面,判断两平面重 合,或者证明点、线共面;公理 3 用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下面说法正确的是( ). ①平面 ABCD 的面积为 10cm 2 ② 100 个平面重合比 50 个平面重合厚③空间图形中虚线都是 辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列结论正确的是( ). ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线,可以确定一个 平面③经过两条平行直线,可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

3. 如图在四面体中,若直线 EF 和 GH 相交,则它们的交点一定( ). A.在直线 DB 上 B.在直线 AB 上 E C.在直线 CB 上 D.都不对 4. 直线 l1 , l2 相交于点 P ,并且分别与平面 ? 相交于 A 点 A, B 两点,用符号表示为____________________. 5. 两个平面不重合,在一个面内取 4 点,另一个面内取 3 点, F 这些点最多能够确定平面_______个.

D
G C

B

H

课后作业
1. 画出满足下列条件的图形: ⑴三个平面:一个水平,一个竖直,一个倾斜; ⑵ ? ? ? l , AB ? ? , CD ? ? , AB ∥ l , CD ∥ l .

2. 如图在正方体中, A 是顶点, B, C 都是棱的中点,请作出经过 A, B, C 三点的平面与正 方体的截面.


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